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3 4生活中的优化问题举例 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题称为优化问题 优化问题有时也称为最值问题 解决这些问题具有非常重要的现实意义 一般地 函数的单调性与导数的关系 在某个区间 a b 内 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 知识回顾 2 一般地 求函数y f x 的极值的方法是 解方程 当时 1 如果在附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么是极大值 口诀 左负右正为极小 左正右负为极大 1 导数的单调性 重点 能从实际问题的不同情景出发 建立与之相对应的函数关系 难点 对问题深入细致的分析 完成数模转换 教学重 难点 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128dm2 上下两边各空2dm 左 右两边各空1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空白面积最小 例1 海报版面设计 解 设版心的高为xdm 则版心的宽为dm 此时四周空白面积为 求导数 得 当x 0 16 时 当x 16 时 因此 x 16是函数S x 的极小值点 也是最小值点 所以 当版心高为16dm 宽为8dm时 能使四周空白面积最小 令解得x 16 x 16舍去 于是宽为 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是分 其中r 单位 cm 是瓶子的半径 已知每售出1mL的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm 那么瓶子半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大和最小 例2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润是 令 我们不用导数工具 直接从函数的图象上观察 你能发现什么 从图象上容易看出 当r 3时 f 3 0 即瓶子的半径是3cm时 饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等 当r 3时 利润才为正值 这是一个典型的数学建模过程 利用导数解决优化问题的基本思路 建立数学模型 解决数学模型 作答 温馨提示 用导数解决实际问题 要特别注意在实际问题中变量的取值范围 解决优化问题的一般步骤 1 审题 2 建模 3 解模 4 回归 课堂小结 实际问题转化数学模型 求解数学问题 数学结果还原到实际问题之中 解决优化问题的步骤 课堂练习 从长8cm 宽5cm的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形 做一个无盖的箱子 问剪去的正方形边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 8cm 5cm x 解 设剪去的正方形的边长为xcm 则箱子容积为 令 得 舍
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