2.2.2平方根2.doc

2.2.2 平方根（二）【教学重点与难点】教学重点：平方根的概念和性质.教学难点：对平方根概念的理解.【学情分析】学生认知基础：在第一课时，学生已经学习了算术平方根，初步认识了有关平方根的知识，在此基础上，引导学生思考互为相反数的两个数的平方相等，从而引出一个正数的平方根有两个，学习难度不大.活动经验基础:互为相反数的两个数的平方相等这一知识点学生已经具备，可能部分学生忘记，但经过小组合作、同伴交流可以有效弥补，因此开展合作交流活动相对来说比较容易.【教学目标】（1）了解平方根的概念，会进行有关平方根的运算；理解平方根与算术平方根的区别和联系.（2）在具体问题中抽象出平方根的概念，培养学生的抽象概括能力.（3）明确平方根与算术平方根的区别和联系，发展学生学习数学的能力.【教学方法】教材是通过与算术平方根作比较引出平方根的概念，沟通算术平方根与平方根的关系，教学时可按照教材设计逐步进行展开，有利于学生对知识的形成和掌握，在合作交流的基础上总结出平方根的概念和性质【教学过程】一、创设问题情境，引入新课（设计说明：前一节课已经学习了算术平方根，采取问题引入法，既可以有效地复习回顾上一节课的知识，也起到了承上启下的作用.）教师提出思考问题1：请同学们回顾上节课我们学习的算术平方根的概念和性质.学生独立思考、回答：若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作x=，而且也是非负数，比如正数32=9，则3叫9的算术平方根，9叫3的平方问题2：除3之外，还有没有其他数平方也等于9呢？答案是肯定的，学生对这问题基本上可以解决.问题3：平方等于4的数有几个？平方等于0.06的数有几个？根据学生对以上问题的回答，师生共同归纳出：因为互为相反数的平方相等，所以平方等于某一个正数的数都有两个，零的平方等于零，在互为相反数的两个数中，正的叫做算术平方根，那负的呢？也就是，(3)2=9，则3叫9的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.，引入课题.（教学说明：采用问题引入方式可以激发学生学习的欲望，带着这一问题进入下环节，欲寻找答案必须跟随老师的步法循序渐进的开展，点明了本节课主要要研究的问题之一，可以有效提高课堂效率.）二、讲授新课1平方根的概念（设计说明：通过平方根概念之前的讨论说明，加上和算术平方根的对比，学生总结出平方根的概念比较容易，也符合学生的认知心理.）教师提出：（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？（2）平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？学生：平方等于9的数有两个，平方等于的数有两个，由此可知平方等于0.64的数也有两个.教师：根据上一节课的内容，我们知道了3是9的算术平方根，是的算术平方根，那么3，叫9、的什么根呢？请大家认真看书后回答.学生：3，分别叫9、的平方根.由此引导学生进一步思考：那是不是说3叫9的算术平方根，3也叫9的算术平方根，即9的算术平方根有一个是3，另一个是3呢？答案显然是不对的.从而总结得出平方根的定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根，也叫二次方根，所以，3和3的平方都等于9，由定义可知3和3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和3，9的算术平方根只有一个是3.（教学说明：这部分的教学设计遵循了学生的认知规律，从已知到未知，也渗透了逆向思维的思想.在教学过程中，可以让学生对比算术平方根的概念写出平方根的概念，如果学生有困难，教师可以适时地加以引导.）2平方根的性质（设计说明：对平方根性质的探讨，设计问题串的方式引导学生进行思考，从正数、零、负数这三个方面进行，体现分类讨论的思想.）思考问题1：(1)一个正数有几个平方根.(2)0有几个平方根?(3)负数呢？学生独立思考得到：互为相反数得两个数的平方是同一个数，零的平方是零，没有实数的平方是负数，因此根据平方根的概念可得：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.教师强调：正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根“”，另一个是“-”，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作：“”，读作：正、负根号a.问题2：你能用符号表示这个性质吗？让学生先独立思考，再组内讨论，师生共同总结出:时，有两个平方根；时，只有一个平方根；时，没有平方根.求一个数a的平方根的运算，叫开平方，其中a叫被开方数.开平方运算与平方运算互为逆运算，所以我们可以通过平方运算来求一个数的平方根.拓展应用：若有意义，则x范围是_.(答;有意义，则说明2x+1是非负数，可得.)（教学说明：一个正数进行开平方运算会有两个结果，学生对此可能会出现理解上的困难，因为他们过去遇到的运算结果都是唯一的，教学时要结合具体例子让学生理解；负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的前五种运算中不会出现（0作除数的除外），教学时可多通过实例说明. 是分情况阐述平方根的性质，在实际应用中也可以分两种情况来进行.通过对性质的分析，也可以得出以前学过的平方运算和现在的开平方运算实际上是互逆的.在教学实际中可向学生介绍分类讨论的数学思想方法.）3平方根与算术平方根的联系与区别（设计说明：为使学生更好地理解平方根的概念，加深印象，设计了平方根与算术平方根的对比教学.）教师：我们学习了算术平方根、平方根的概念，它们之间到底有什么联系和区别呢，你是怎么理解的呢？让学生展开讨论，师生共同概括出算术平方与平方根的区别和联系：联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根、算术平方根都是0.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示为.(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.巩固应用：若正方形的边长是a,面积为S，那么（ ）A.S的平方根是aB.a是S的算术平方根 C.a= D.S= （答案：B .A平方根应该有两个，C中a不能是负的，D应该是 =. ）（教学说明：在教学过程中切忌满堂灌，应该引导学生有目的地进行分析、总结，帮助学生加深对二者的理解.）三、例题示范例：求下列各数的平方根.(1)64；(2)；(3)0.0004；(4)(25)2；(5)11.解：（1）；（2）（3）（4）（5）.补充例题（1）的平方根是（ ）A.3 B.3 C.D. （答案C，学生要仔细读题.）（2）(11)2的平方根是A.121 B.11 C.11 D.没有平方根（答案：C） （3）、一个正数的平方根是2a1与a+2，则a=_，这个正数是_；考查对平方根概念的理解，2a1与a+2时互为相反数的，从而得到a=1.四、巩固训练（设计说明：全面巩固对平方根的概念的理解，灵活运用平方根的性质.）随堂练习：1.求下列各数的平方根：1.44，0，8，441，196，1042.填空：(1)25的平方根是_；(2) =_；(3)()2=_.（教学说明：随堂练习可以在课堂上作为检测学生对知识的掌握程度，使教师更好地了解学生学习情况.）五、.提高训练（设计说明：在充分理解平方根概念的基础上，通过一组练习导出关于平方根很重要的一个性质.）(1)()2等于多少？()2等于多少？(2)()2等于多少？(3)对于正数a，()2等于多少？这三个问题的解决：64，7.2，a，同学们会发现结果和根号内的被开方数一样，于是我们可以大胆猜想：()2= a（a0）（教学说明：从具体例子出发归纳()2= a（a0），可以培养学生的归纳概括能力，教学中也可以直接根据算术平方根的定义得出，或者在学生归纳出结论之后要求学生根据概念说理，本结论反映了开平方运算与平方运算的互逆性.对于前面性质中已经作了介绍.）六、归纳小结问题1：本节课我们学习了哪些知识？归纳总结:正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根为算术平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.平方和开平方是互为逆运算的，开平方时一定要保证这个数是非负数.问题2：学习了