二项式定理中常考的几种题型

二项式定理中常考的几种题型一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。1. 求常数项例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（ ）A. 45iB. 45iC. 45D. 45解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。 2. 求有理项例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。故展开式中所有的有理项为3. 求幂指数为整数的项例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（ ）A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。4. 求系数最大的项例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又 设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为_。解：对于二项式的展开式中要得到常数项需10r=5，则r=5所以常数项为例6 （2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（ ）A. 74B. 121C. 74D. 121解：的展开式中，含的项为，故选D。三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。例7 （2006年北京卷）在的展开式中，的系数是_。（用数字作答）解：令，得r=1所以的系数为。四、求展开式中的系数和在涉及到求展开式中所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题时，通常可以根据题目的结构特征，选择“赋值法”来加以解决。例8 （2004年天津卷）若，则=_（用数字作答）。解：取x=0，得取x=1，得故=2003+1=2004五、近似计算、证明整除及求余数问题近似计算要首先注意精确度，然后选取展开式中前几项进行计算。用二项式定理证明整除及求余数问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式来展开，常采用“配凑法”，“消去法”，结合整除的有关知识来解决。例9 （2002年全国卷）据2002年3月5日九届人大五次会议政府工作报告：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十五”期间（2001年2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（ ）A. 亿元B. 亿元C. 亿元D. 亿元解：设到“十五”末我国国内年生产总值为A，由复利公式或等比数列通项公式，得A= 故选C例10 除以100的余数是_。解：92901（M为整数）=100M8210081。所以除以100的余数是81。六、考查与其它知识交汇型问题在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势。二项定理