成都四七九外地生自主招生考试--数学复习案.doc

第一讲 因式分解与配方一、因式分解公式基本公式：； ； 二、常见的因式分解的模式；三、方法要领1、观察各因式在“次数”、“系数”、“项数”上的“诱惑”2、联想相关分解公式的结构，合理换元、配方、整合因式、主元引导、巧妙转化；3、三次因式分解常结合观根法与特值尝试解决。经典范例问题1、因式分解 原式=注：观根法因式分解。【变式】问题2、 令 ， 注：换元简化表达式。【变式】问题3、将因式分解。原式=注：选主元因式分解。【变式】将因式分解。原式=注：选主元因式分解。问题4、设为实数，则的最小值是 【变式】设x、y为实数。求证：。证：。【变式】问题5、若多项式 含因式 和 ，求 的所有根。【变式】设两个因式是x+1，x+2。求a、b。解：是的根。【变式】设n为1100间的整数，能分解为两个一次式之积。这样的n有_个。解： 设（p0，q0) p=1，2，3,9。故n有9个值。【变式】为何值时，二次三项式是完全平方式； 问题6、方程的整数解有_对。解：或 ，即有一对。若ab，a、b为正整数，为整数，且，则=（ ）AB或C1 D1或7解： 。 ab，且a、b为正整数。或7或1。 故选（D）。设为正整数。是质数，则=_。解： n=3.问题7、中，求证：。解： 【变式】若ABC三边满足，则ABC是 三角形。问题8、设。求。解：【变式】若，求x+y。解：两式相加。； 。问题9、。则M一定是（ ） A正数B负数C0D整数【变式】设为正整数。求xy.。解：。x=1，2，,10.经检验，x=6或8时，y=6或4。xy=36或32。【变式】方程的整数解有_对。解：或 ，即有一对。问题9、设，则a、b大小关系（）A ab.B a=b.C a0。分子有理化。+2 问题5、已知。求。解：，。【变式】已知。求值。解： ，问题6、已知是整数，求满足条件的正整数a的和。解： 或或198 1002+198=1200。【变式】求比大的最小整数。解：设，则，xy=1，。又0ybc B、bcaC、cabD、cba解法1：用特值法，取r=4，则有a=，b ，c cba，选D解法2：a，b c解法3：r41c abb.B a=b.C ab.D 不定.解：设2004=m，2002=n，同理，b=1，故选B。10.化简的结果是（ ）、； 、； 、； 、答案：解：，因此原式11. 已知（a+b）(b+c)(c+a)=345求abc 解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加得2（a+b+c）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式 得a=2k, b=k, c=3kabc =213 12.己知，求证：a2b2c2=1证明：由己知a-b= bc= b-c= ca= 同理ab= abbcca1即a2b2c2=113.化简解：用带余除法得，原式111114.若实数x、y满足则xy。解法1：假设xya，则yax解法2：易知化简得：15.已知：ABC中，ABAC，点P在中位线MN上，BP，CP的延长线分别交AC，AB于E，F. 求证：有定值，分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a,b,c来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明.证明：设MP为t, 则NP=at.MNBC，.即；= c 是定线段，是定值. 即有定值.16.求值：解：设n为正整数，则 令n=1，3，5，7，9，相乘得原式=221。第三讲方程掌握二次方程基础判别式，根概念，韦达定理，求根公式，重点是特定问题研究技巧。问题1、已知关于x的一元二次方程。(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为x1、x2，且满足，求m的值问题2、设、是的两根，求。解：，注：用根定义“降次”。【变式】设=（ A ）A1B5C1或5D2【再变】关于x的方程的根有（ A ）A1个B2个C3个D0个问题3、解方程解：方程两边同时乘以3，得：设原方程化为 即 而没有实数解。【变式】如果方程较大的根为M，方程较小的根为m，求Mm的值。解：可分解成可分解成，问题4、已知方程的两根也是方程的根，其中均为整数，则=_7_【变式】已知：点在直线上，且，求的值。解、【再变】已知且为正整数，求的值。解： 设因此，为方程的两个根.解此方程，得若则是方程的两个根，但其方程无正整数解，故取不成立。若则是方程的两个根，解此方程得符合条件.所以所以问题5、设，且，求。解： （*）a、b是两根。 注：形如（*）两个同型式应用韦达定理。【变式】设，且。求。解： 是两根。， 问题6、设m、n是有理数。有一根是。求m+n。法1：，是两根。m=4，。m+n=3.法2： m+n=3.注：法1 体会有理方程无理成对出现 法2 用根概念。【变式】k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？（k21）x26(3k1)x+72=0 ；kx2+(k22)x(k+2)=0.解：用因式分解法求得两个根是：x1=，x2=.由x1是整数，得k+1=1, 2, 3, 4, 6, 12.由x2是整数，得k1=1, 2, 3, 6.它们的公共解是：得k=0,2,2,3,5.根据韦达定理x1,x2,k都是整数，k=1，2.（这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,1,2,2，分别代入原方程检验，只有当k=2和k=2 时适合.问题7、 三边长a、b、c，满足，。求周长。解：b、c是 （*），则a=6。（*）为 b=c=4， 周长=a+b+c=14。注：构造二次方程使用判别式。问题7、关于x的方程，有且仅有一个公共实根。求m及公共根。解：设公根。则 若，代入原方程，知：（进一步检验两方程有唯一公根）若，代入原方程无实根。注：“公共根”按概念构造方程组。问题8、设a、b、c满足（1）求a的范围。 （2）对满足方程组(*)的任意a值，都有解：(1) b、c是 解之得(2)令则【变式】设a、b为正整数。，且（1） （2）有一个公共根，求。解：（1）两根为，。（2）两根为，。 ，。若，则， 或 =20。若，同理可得=20。问题9、方程的解是_.解: 填 理由：原方程可化为整理有通分得即(ll-2x)解这个方程，得经检验是原方程的解【变式】若关于x的方程只有一个解，试求k的值与方程的解，解: 原方程化简得当时，原方程有惟一解当时，式的故总有两个不同的实数根，按题设原方程只有一个解，因此必有一个根是原方程的增根，从原方程知道增根只可能是0或1显然，0不是的根，故是方程的根，代入得由韦达定理得原方程的根为所以，当时，方程的解为当方程的解为问题10、已知是方程的一个根，求a的值以及方程另外的根，解: 依题意，有移项 两边平方，解得经检验，是方程的根把代入方程中，得 当时，两边同除以x一1，得 两边平方，移项，两边再平方，得 解得经检验，是方程的根故或是方程的根综上，方程的另一根为2【变式】设实数x，y，z满足则的值分别为_解: 填9，8,7理由：将方程移项、配方，得由非负数的性质，知解得问题11、当为整数时，关于的方程是否有有理根？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由. 解：因为为整数，帮 由 而为2的倍数，故必可表示为的形式，即为奇数. 但奇数的平方应为的形式。 不是完全平方式. 原方程无有理根.【变式】设方程的两个根分别是一个等腰三角形的腰长和底边长，如果符合要求的三角形只有一个，求的取值范围。 解：设方程有两个正根，则 解得 若，则符合条件的三角形只有一个（等边三角形），则. 若此时分两种情况：（1）这时以为底，为腰可作等腰三角形，以为底，为腰也可作等腰三角形。即符合条件的三角形有两个，不符合题意，舍去。（2）这时只能以为底，为腰等腰三角形，符合题意，所以由算术平方根性质，得又 综上所述，的取值范围是问题11、解方程解，两边同除以原方程变成：设方程变为当时，当时，原方程的根是，【变式】解方程 .解，方程两边同除以得；则方程变为；，当当原方程的解为强化训练题1 若，是方程的两个不等的实数根，则是( )，A正数 零 C负数 D不大于零的数2 若且有及则的值是( ) 3 若方程的两个根为它也是方程的两个根，则的值为_4 设x，y，为实数，且满足则的值为_5已知实数满足方程组则 .13. 由得，把代入，可得.因此，是一元二次方程的两个实数根，易求得这两个实数根分别为3和，所以.6 若关于x的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是_.7 设m是整数，且方程的两根都大于而小于则_.8设等腰三等形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围9 方程的解为_.10方程的解为_.11 方程的解是 _12 解方程13 若关于的方程有解，则实数m的取值范围是_.14 方程的所有根的和为_15 绝对值方程有_个不同的实数根16、已知三个实数满足方程组，试求方程的根。 17、设，为互不相等的实数，且满足关系式， ，求的取值范围解法1：由2得，所以当时， 又当时，由，得， ， 将两边平方，结合得，化简得 ，故 ，解得，或所以，的取值范围为且，15分解法2：因为，所以，所以 又，所以，为一元二次方程的两个不相等实数根，故，所以当时， 另外，当时，由式有，即，或，解得，或所以，的取值范围为且，18、已知关于的二次方程，（为自然数，且）当时，此方程的两根记作，当时，此方程的两根记作，当时，此方程的两根记作，求的值19、解方程 解：由得代入方程得解得 解得经检验，都是原方程的根。20、要使方程组有正整数解，则的值为多少？解：由方程得，将其代入方程中，得整理成关于的一元二次方程为实数，即为正整数，时，（舍去），这时时，（舍去），这时的值为时，方程有正整数解.第四讲 函数掌握二次函数的三种解析式（一般式，顶点式，交互式）图象及性质应用。（一）图象与解析式问题1、做下列函数图象。（1） （2）（3）解：（1），（2）（3）注：含绝对值函数一般化为分段函数。【变式】二次函数=（ D ）AB1CD1【再变】当时，函数的最大值减去最小值的差是 ；16（二）二次不等式求解问题2、求下列不等式解（1） （2）注：求根、画图时解不等式之关键。【变式】已知函数和为常数）则不论为何值，这两个函数的图像（ B ）A只有一个交点 B只有二个交点 C只有三个交点 D只有四个交点问题3、二次函数交轴于交轴于C点，（1）求m； （2）在x轴下方是否存在抛物线上的点P。使ABP面积等于5？若存在，则求出P点坐标；若不存在，说明理由。解(1) 由y=0 知又x1x10由AB2=12CO+1得 9m2+16m=24m+1解之得m=1(2)由S=5 知y= 2 【变式】如图设（a0）的图象经点A（0，2），与x轴交于B，C。且BC=5，ABAC。求二次函数解析式。解：由，B（1，0），C（4，0）。设，A点代入得，注：将几何条件合理转化时解题关键。二次函数三种表达式合理选择也是一项基本功。问题4、二次函数图象的顶点坐标为，且在x轴上截得弦长为6。（1）求解析式（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使QABABC，若存在，求Q点坐标；若不存在，说明理由。解：（1）设二次函数，由y=0，知，|AB|=6，知。（2）ACB是等腰三角形，CM=，MB=3，由ABCAQB而知，。设Q（x，y），B（7，0） tan60又，解得，另外Q关于x=4对称点也满足。【变式】已知点M，N的坐标分别为(0，1)，(0，-1)，点P是抛物线上的一个动点。(1)判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的位置关系；(2)设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：PNM=QNM（2） 区间根问题5、设关于x的方程，两个不等实根满足，求a范围。解：设，注：已知二次方程根的范围，一般转化为二次函数图象及性质求解。问题6、关于x的方程的两根，且，。求m范围。解：设，则。【变式】已知A，B的坐标分别为(1，0)，(2，0)，若二次函数y=x2+(a-3)x+3的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是问题7、设二次函数的图象与轴交于不同的两点（1）证明： （2）若，求p的范围解：(1)由，得(2) 由（3） 综合应用问题8、设m、n均为正整数，且m2，二次函数图象与x轴的两个交点距离为d，且对一切实数t，都有，求m，n。解：y=0， ，由得， 或。例8、已知a0，且。求最小值。解：设，由a0，。抛物线图开口向下与x轴交于A（），B（）。 ，不妨设。 对称轴， , ，当，b=0，c=1成立。 最小值为4。法2：设，则， ， 。问题9、当时，恒有。求m范围。解：设，对称轴，当时，当时，当时，由，综上m0。注：求二次函数区间最值注意分类讨论。问题10、如图，在直角坐标平面内，为坐标原点，点的坐标为（1，0），点在轴上且在点的右侧，过点和作轴的垂线，分别交二次函数的图像于点和。直线交于，直线交轴于点，记点的横坐标分别为，点的纵坐标为。（1）请你验证以下的两个命题成立：；数值相等关系：；（2）请你研究：如果将上述命题的条件“点的坐标为（1，0）”改为“点的坐标为（，0）（）”，其它条件不变，结论是否成立？（3）如果将上述命题的条件“点的坐标为（1，0）”改为“点的坐标为（，0）（）”，又将条件“”改为“”，其它条件不变，那么和有怎样的数值关系？解：（1）由已知条件可得点的坐标为（2，0），点的坐标为（1，1），点的坐标为(2,4)。由点C的坐标为(1，1)易得直线OC对应的函数解析式为yx，所以点M的坐标为(2，2)因此，从而证得结论成立，对结论证明方法有如下两个：方法一：设直线CD的函数解析式为ykx+b，则直线CD对应的函数解析式为y3x-2；由上述可得，点H的坐标为(0，-2)，yH-2，xCxD2，xCxD-yH，即结论成立；方法二：又根据题意，可证OCHMCD，得CHCM2所以，YH-2，证得成立 (2)方法同(1)，由已知得B(2t，0)、C()、D(2t，4t2)，直线OC对应的一次函数的解析式为ytx，故M(2t，2t2)。所以，结论仍然成立 (3)然后可求得直线CD对应的一次函数的解析式为问题11、已知二次函数，为非负整数，它的图象与轴交于A、B，其中点A在点左边，点B在原点右边. （1）求这个二次函数的解析式； （2）若一次函数的图象经过点A与这个二次函数的图象 交于点C，且，求一次函数的解析式. 解：抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点分别在原点的两边， 关于x的方程：有两个异号的实数根。m=0或m=1把m=0,1分别代入m2+4m-3q B、pq C、pq D、p、q大小关系不能确定3、设坐标平面内，A(0,4),B(3,0)，平面内一直线L，A到L的距离为3，B到L的距离为2，这样的直线L有（ D）A1条B2条C4条D3条4、如果两点：，那么。已知：，在内求一点，使最小，则点的坐标是 ；5、设直线y=kx+k-1和直线y=(k+1)x+k(k是正整数)及x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S3+的值是6、二次函数,则的变化范围是（ A ）A0S2B0S3C1S2D1S0,y20.在 设过C(1,3)、D(3,1)两点的直线CD的解析式是y=kx+b. 直线CD的解析式y=-x+4.(3)假设双曲线上存在一点P，使得,这个点应是的平分线与双曲线的交点，证明如下：的平分线上,强化训练题1、已知：，则的值等于（ B ）A B0 C1 D22、设，求z最大值。解：x、y为两根，3、解关于x的方程。解：，原方程化为，x=3.4、设。求最大值。解：又 最大为15。5、 已知b、c为整数，两根都大于且小于0。求b、c。解：6、一次函数（为正整数）的图象与轴、轴的交点是A、B，O为原点.设面积是，则等于多少？解：、为正整数. 7、设满足：（1）（2）当时，恒成立。（3）当时，最大值为2。求a、b、c。解：由（1）（3），由（2） 时，达到最小值。 . b=0，a=2。8、设，方程两根，且（1） 当时，证：；（2） 设对称轴，证：。解：（1）设，当时，又， ，。又 = 。 为证。（B） ， 为两根。 ，。9、已知二次函数的图象经过两点P，Q.（1）如果都是整数，且，求的值.（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求ABC的面积.解：点P、Q在二次函数的图象上，故，解得，. （1）由知解得.又为整数，所以，.(2) 设是方程的两个整数根，且.由根与系数的关系可得，消去，得，两边同时乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整数，所以后面三组解舍去，故.因此，二次函数的解析式为.易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以ABC的面积为.10、函数的自变量取自然数，且对任意的自然数和都有求的值.解：令得 由已知取自然数，令得将代入得：第六讲 三角形相似与全等目标：解决三角形、四边形为背景的求值、证明问题。基础模型再现-相似图形的不同“造型”： 一、三角形的边长与角度的基本计算问题问题1、如图，ABC中，ABC=60，P是ABC内一点，APB=BPC=CPA。PA=8，PC=6.求PB。解：ABP与BCP中，BAP=60-ABP=PBC，又APB=CPB=120 ，ABPBCP， BP=。注：寻相似得线段关系。问题2、如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，ACBD于P，且，则。解：由ADBBAC知，设AD=3x，则BC=4x，AB=， 。问题3、如图，ABCD是正方形，E、F分别是AB、BC中点，连EC与BD交于G，EC与FD交于H，求EG:GH:HC。解：过G作GMBC交FD于M，EBGGCD，知，令GH=2x，HC=3x，则EG=GC= EG:GH:HC=5:4:6。注：反复使用相似寻找线段比。问题4、ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若AC、BC上的中线BE，AD垂直交于O，则c用a、b表示为_.解：设OE=x，则BO=2x，设OD=y，则AO=2y，则， ，c=2ED=注：中线（重心）及Rt是本题关键。问题5、DE是ABC中位线，M是DE中点，CM延长线交AB于N，求。解：过E作ERAB交NC于R，则DNMMER， DN=RE=AN，又，。注：面积关系是解题关键。【变式】已知的三边分别为,它们所对的角分别为.若，则_6_ 问题6、如图，ABC中，C=90，CAB=30，AC=BC=AD求证：BD=CD证法一：如图，过C作CEAD于E，过D作DEBC于FCAD=30，ACE=60，且CE=AC，AC=AD，CAD=30，ACD=75，FCD=90ACD=15，ECD=ACDACE=15CEDCFD，CF=CE=AC=BC，CF=BF RtCDFRtBDF，BD=CD证法二：如图，作AEB，使AEBC为正方形，连结ED BAD=45CAD=4530=15，EAD=EAB+BAD=60，又AD=AC=AE，ADE是等边三角形， ED=AD=AC=EB，DEB=90AED=30ACDEBD，CD=BD 【变式】如图所示，在ABC中，点D是BC延长线上的点，点F是AB延长线上的点.的平分线交BA延长线于点E，的平分线交AC延长线于点G.若CE = BC = BG，求的度数.解答 设. 因为，所以. 故.由，得。由，可知又，所以。二、位置关系与数量关系的证明问题问题1、设P是等边ABC的边BC上的任一点，连AP、AP的垂直平分线交AB、AC于M、N。求证：。证： MN为AP中垂线，MPN=MAN=60， 又BMP=120MPB，CPN=120MPB， MBPPCN，。注：寻相似证比例关系。问题2、ABC和均为正三角形，BC与中点均为D，求证：。证：连结AD，则ADBC， 又， ， 。问题3、ABC中，AD、CE是高，且交于点F，P、Q分别是BF、AC的中点。求证：PQ垂直平分ED。证：RtAEC中，Q为中点，同理，EQ=DQ。同理：EP=PD，又PQ=PQ，EPQDPQ，PQ垂直平分ED。注：转化是关键。问题4、ABC中，AB=AC，ADBC于D，E、G分别为AD、AC边中点，DFBE于F。证：FG=DG。证： ， EDBFED。 ，又AEF=90+EBDFDC=90+FDE=90+EBDAEF=FDCAEFCDFAFE=CFDAFC=90FG=，又DG=，FG=DG。三、综合能力提升型问题问题1、如图，在四边形中，求四边形的面积。【变式】如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，若，则图中阴影部分的面积为( C)A B C D【再变】平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AM=9，BD=12，AD=10，则平行四边形ABCD面积是72。如图，四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=900，BEAD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=( C )A2B3CD矩形ABCD中，CEBD于E，BE=2，DE=8，ACE=，则tan=（ C ）AB CD2问题2、已知菱形的边长为，,为上一动点，在上，满足条件，判断的形状，并求的面积的最小值。解：如图，作在在分别过点B、E作CD的垂线，同理可得又即当时，即点E为AD中点时，有最小值，最小值为问题3、如图，在中，在的延长线上，且，求的长及的面积。问题4、如图所示，在ABC中，A=900，ADBC于DB的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点(1)求证：AHEF；(2)设AHF、BDE、BAF的周长为cl、c2、c3，试证明：，并指出等号成立时的值解：（1）BAC=900，ADBC，A