3.1交比与调和比

3 1交比与调和比 一 共线四点的交比 交比 最根本的射影不变量 定义 1 共线四点P1 P2 P3 P4的交比 P1P2 P3P4 等于两个单比 称P1 P2为基点偶 P3 P4为分点偶 1 1 之比 即 3 1交比与调和比 一 共线四点的交比 1 2 定理1 1基点偶与分点偶交换 交比的值不变 即 1 3 一 共线四点的交比 定理1 2 3 1交比与调和比 推论 1 4 1 5 一 共线四点的交比 3 1交比与调和比 定理1 3 1 6 一 共线四点的交比 3 1交比与调和比 1 7 例 已知 和 求 的值 3 1交比与调和比 一 共线四点的交比 定理1 一直线上的无穷点分其上任何两点的单比等于 引理已知两不同的普通点 为直线AB上一点 则 且 3 1交比与调和比 一 共线四点的交比 则 3 1交比与调和比 一 共线四点的交比 定理1 5若共线四不同点 1 11 验证它们共线 并求 AB CD 的值 例2已知 3 1交比与调和比 一 共线四点的交比 为a ib i 1 2 3 4 则 3 1交比与调和比 一 共线四点的交比 定理1 6设共线四点Pi的坐标 1 12 定理1 7设四个不同的共线点中的三点及其交比值为已知 则第四点必惟一确定 3 1交比与调和比 一 共线四点的交比 4 调和比 调和 1 调解使和好 调和对立的观点2 配合得适当 和谐色彩调和3 折中 妥协4 混和 搀和5 调味非调和之有异6 调味品 3 1交比与调和比 一 共线四点的交比 4 调和比 定义1 2若 P1P2 P3P4 1 则称 3 1交比与调和比 一 共线四点的交比 交比值 1叫做调和比 点偶P1 P2 与P3 P4 相互 调和分离 点偶P1 P2 与P3 P4 相互 调和共轭 点P4为P1 P2 P3的第四调和点 3 1交比与调和比 一 共线四点的交比 推论相异四点P1 P2 P3 P4可按某次序构成调和比 这四点的6个 交比值只有3个 定理1 8若 P1P2 P3P4 1则P4为 无穷点的 P3是线段P1 P2的中点 3 1交比与调和比 二 线束中四直线的交比 定义1 3设a b c是线束S中的三直线 则 叫做a b c三直线的单比 称a b为基线 c为分线 3 1交比与调和比 二 线束中四直线的交比 定义1 4设p1 p2 p3 p4是线束中四直线 则 1 13 叫做p1 p2 p3 p4的交比 其中称p1 p2为基线偶 p3 p4为分线偶 二 线束中四直线的交比 设线束S p 中四直线pi被任一直线s截于四点Pi i 1 2 3 4 则 3 1交比与调和比 定理1 9 3 1交比与调和比 二 线束中四直线的交比 4 调和比 定义1 5若 p1p2 p3p4 1 则称 交比值 1叫做调和比 线偶p1 p2与p3 p4 相互 调和分离 线偶p1 p2 与p3 p4 相互 调和共轭 线p4为p1 p2 p3的第四调和线 3 1交比与调和比 二 线束中四直线的交比 定理1 10交比经中心射影后不变 定理1 11若a b a 1b a 2b是四条不同的普通共点直线l1 l2 l3 l4的齐次坐标 则 为a ib i 1 2 3 4 则 3 1交比与调和比 推论设共点四线li的坐标 1 15 二 线束中四直线的交比 3 1交比与调和比 二 线束中四直线的交比 例 已知四直线l1 l2 l3 l4的方程顺次为 求证四直线共点 并求 l1l2 l3l4 l1l2 l3l4 3 1交比与调和比 二 线束中四直线的交比 例 已知共点四直线l1 l2 l3 l4的方程顺次为 求 l1l2 l3l4 例 求证 一角的两边与这个角的内外角平分线调和共轭 完全四点形与完全四线形 完全四点形ABCD 完全四线形abcd 顶点 4个 边 6条 对边 没有公共顶点的边 3组 对边点 对边的交点 3个 对边三点形XYZ 边 4条 顶点 6个 对顶 不在同一边上的顶点 3组 对顶线 对顶的连线 3条 对顶三线形xyz 请课后画图 熟悉图形及名称 今后将专门研究其重要性质 我们来看看 有可能 以直线AB截此四直线 得 只要有 AB PZ 1 以点Y分别与上述等式两边的四点相连 据定理2 6可得 也就是 注意到A B P Z四点互异 必有 AB PZ 1 证毕 再以直线CD截此四直线 得 1 3完全四点形与完全四线形的调和性 1 3完全四点形与完全四线形的调和性 定理1 12完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离 定理1 12 完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离 如图 经过三个对边点X Y Z各有一个调和直线组 比如X 如图 在三条对顶线x y z上各有一个调和点组 比如x 此二定理说明 上述两图中各有三个调和元素组 推论1在完全四点形的对边三点形的每条边上 有一个调和点组 其中一对为对边点 另一对为该边与第三组对边的交点 推论1 通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组 其中一对为对顶线 另一对为该顶点与第三对对顶的连线 比如经过顶点T 有 此二推论说明 上述两图中又各有三个调和元素组 比如在边t上 有 1 3完全四点形与完全四线形的调和性 推论2在完全四点形的每条边上有一个调和点组 其中一对为顶点 另一对中一个为对边点 一个为该边与对边三点形的边的交点 推论2 通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组 其中一对为边 另一对中 一条为对顶线 一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线 比如经过顶点a b 有 此二推论说明 上述两图中又各有六个调和元素组 比如在边AB上 有 1 3完全四点形与完全四线形的调和性 第四调和元素的作图 例7已知直线l上相异三点P1 P2 P3 求作第四调和点P4 分析 利用推论1 构造一个完全四点形 以l为其对边三点形的一边 P1 P2是对边点 使第三对对边中 一条过P3 则另一条与l的交点即为P4 解 作法 1 在l外任取一点A 连AP1 AP2 2 过P3作直线分别交AP1 AP2于B D 3 连P1D P2B交于C 4 连AC交l于P4为所求 证明 略 请自行补出 注1 上述实际上也是利用推论2作图 注2 本例引申 1 3完全四点形与完全四线形的调和性 第四调和元素的作图 例7已知直线l上相异三点P1 P2 P3 求作第四调和点P4 注2 本例引申 1 给定三点如图 如何作图 2 给定共点三直线如图 求作第四调和直线 3 给定共点三直线如图 求作第四调和