土体本构模型

土体本构模型 本构关系 材料的应力 应变 时间 关系 本构模型 反映材料的应力 应变 时间 关系的数学模型 即数学表达式 当然 这种数学表达式可能很复杂 而且包括一系列的数学表达式 1 应力和应变 一 应力和应变分量的几种表示方法 1 一般分量 土体中一点的应力状态 可以用处于该点的正六面体单元的表面上的6个 9个 应力分量来表示 即3个正应力分量 3个剪应力分量写成矩阵形式为 应力偏量 1 矩阵或向量表示法 偏应力 1 应力和应变 一 应力和应变分量的几种表示方法 1 一般分量 图5 1中表示了单元体上的这6个应力分量 相应地 也有6个应变分量 以矩阵表示为 1 矩阵或向量表示法 1 应力和应变 图5 1 2 张量表示法如果某些量依赖于坐标轴的选取 并且 当座标变换时 它们的变换具有某种指定的形式 则这些量总称为张量 一点的应力分量就总称为应力张量 在进行公式推导时 一般尽量用一种表示方法 矩阵或张量 不宜混用 1 应力和应变 2 张量表示法 注意 在进行公式推导时 一般尽量用一种表示方法 矩阵或张量 不宜混用 在弹性力学中 法向应力和应变以拉为正 压为负 而土体一般不能受拉 土力学中讨论的地基应力 土压力等 都是以压为正 拉为负 因此 土力学中 应力应变分量的正负规定就与弹性力学相反 即正面上的负向应力为正 负面上的正向应力为正 不仅正应力如此 剪应力也如此 以保持一致 并能套用弹性力学公式 注意 1 应力和应变 2 主应力应变分量 在正六面体单元中可以找到3个互相垂直的面 其上剪应力为0 只作用有正应力 这样的面叫正应力面 所作用的正应力叫主应力 3个面上的主应力按大小排列 分别为大主应力 中主应力和小主应力 1 应力和应变 应力状态表示方法之一 主应力 方向余弦主应力与坐标轴的选择无关 应变也可用三个主应变分量表示 矩阵形式 将坐标系的三个轴顺着三个主应力方向放 分别以1 2 3表示 如图5 2所示 再对这个坐标系的8个挂限分别作等倾面 8个挂限的等倾面围成了一个正八面体 这些等倾面叫八面体面 根据力的平衡关系可以推得正八面体面上的正应力和剪应力分别为 3 八面体应力和应变 图5 2 1 应力和应变 剪应力 OCT作用在八面体面上还有个方向问题 这决定于中主应力接近大主应力还是小主应力 与应力相应 还有八面体面上的应变 正应变和剪应变分别为 1 应力和应变 在土体本构模型理论中 常常也用球应力 偏应力以及 或 作为应力分量 球应力也称为平均正应力以p表示 4 球应力 偏应力及相应应变 偏应力又叫广义剪应力 以q表示 1 应力和应变 注意 这里的偏应力和Sij的区别 建议这里不用偏应力 注意 此式也可用6个应力分量表示 p和q也可以用八面体应力来表示 如下 另外 p 反映了复杂应力状态下受剪的程度 因此常用来表示剪应力 当时 如轴对称的三轴仪试样受力情况 1 应力和应变 可以推知相应的应变分量 类比 体积应变 偏应变 其中表示了复杂受力状态下的剪切变形 对于轴对称三轴试样的变形 有 1 应力和应变 球应力和偏应力 以及相应的应变分量 实际上与八面体应力和应变是等效的 仅仅是系数不同 但在分析能量时 要简单得多 可以推得 延伸 体积变形能 形变能 1 应力和应变 对于一组确定的p和q 可以有许多种主应力分量的组合 解是不确定的 因此 要有第三个分量 第三个分量常取应力罗德 Lode 参数 式中 为三个应力摩尔圆的直径 见图5 3 1 应力和应变 还有一个参数b也反映了中主应力接近大主应力的程度 若 b 1 若 b 0 图5 3 相应地 也有应变罗德参数 1 应力和应变 5 应力不变量 第一应力不变量 第二应力不变量 第三应力不变量 此外 还有下面两个偏应力不变量 它们须与第一应力不变量 相结合形成三个独立的应力分量 1 应力和应变 第二偏应力不变量 第三偏应力不变量 不随坐标轴的选取而改变 表示一点应力状态的方法 二 应力空间和应力路径 1 应力和应变空间 为了表示应力状态 表示各应力分量的数值 常常以应力分量为坐标轴形成一个空间 叫做应力空间 该空间内的一点的几个坐标值就是相应的应力分量 如果应力分量取三个主应力 和 以三个主应力分量为坐标轴构成一个直角坐标系 叫主应力空间 这个空间内一点有三个坐标值 就代表了实际土体中一点的某种应力状态 图5 4中的M点代表了应力状态 和 1 应力和应变 图5 4 1 应力和应变 弹塑性力学 Pi平面为过原点与空间主对角线垂直的平面 平面 在主应力空间内 法线与空间主对角线重合的等倾面 被叫做 面 所谓空间主对角线 就是与3个坐标轴的夹角都相等的线 主应力空间中 在该线上有 区别 八面体面是几何空间 长度坐标系 内的面 面是在应力空间内的面 两者坐标系不同 物理概念不同 再者 八面体面在几何空间内的八个挂限都有 而 面只存在于应力空间内的第一挂限和与其相对的挂限 其它挂限内的等倾面并不是 面 空间主对角线也只存在于这两个挂限 1 应力和应变 利用 面可以较好地反映应力状态 图5 4中点M的坐标代表主应力分量 通过M点作 面 它到原点的距离为 在 面上 M到空间主对角线的距离 它们分别与应力分量p和q有关 而点M在 面内的方位可反映第三个分量 将图5 4中的三个主应力坐标轴 以及代表应力状态的点M投影到 面上 如图5 5所示 1 应力和应变 在该面上放一个二维的直角坐标系 令Y轴与 2轴重合 X轴在 1的那一侧 定义到X轴的转角 叫应力罗德角 它就是与第三应力分量有关的参数 可以证明 它与罗德参数间的关系为 1 应力和应变 应力空间还可以用其他形式的应力分量为坐标 如果以 和 六个应力分量为坐标 则应力空间是六维空间 无法用图形表示 仅可以作抽象的理解 p q平面 1 应力和应变 如果忽略第三应力不变量或应力罗德角对变形的影响 可以只用 两个分量来构成二维的应力空间 叫p q平面 如图5 6所示 在后面的本构模型理论中 常常会用到这种 平面 图5 6 1 应力和应变 图5 6 1 应力和应变 表示应力状态或应力路径也有优点P204 二维问题中 类比 与应力空间相应 以应变分量为坐标轴形成一个空间 叫做应变空间 该空间内的一点的几个坐标值就是应变分量 图5 8所示为主应变空间 它的三个坐标轴分别为 和 图5 8 1 应力和应变 2 应力路径 在应力空间内 代表应力状态的点移动的轨迹 叫应力路径 它表示应力变化的过程 或者加荷的方式 1 应力和应变 图9 1 应力和应变 设土体中一点初始应力状态如图5 9应力空间内 点所示 受力后变化到 从 到 可以有各种方式 如 和 按比例增加 初期 增加得多 和 增加得少 而后期反过来 对于某种加荷方式 代表应力状态的点将从 沿某种轨迹移动到 加荷过程中 不同的加荷方式可以用不同的应力路径来表示 更常用的是用p q平面的应力路径 1 应力和应变 与其相应 当然也有应变路径 普通三轴应力状态下p q 三 应力应变关系矩阵 广义虎克定律 增量形式 三 应力应变关系矩阵 广义虎克定律 D D D 三 应力应变关系矩阵 复杂应力状态下的应力应变关系是多元化的 要表示出多元素与多元素之间的关系 就要用张量或矩阵 常用到的增量形式的应力应变关系的矩阵为 式中 D 叫刚度矩阵 如果应力和应变分量取一般形式 各有6个分量 则矩阵 D 为6 6 共36个元素 如果用主应力和主应变分量 则矩阵 D 为3 3 共9个元素 二维问题的应力分量为 应变分量为 因此其矩阵 D 也是3 3的 将上式展开可写成 1 应力和应变 对于任一元素Dij 其意义为 要产生单位应变增量而其它应变增量为0时 在应施加的应力增量中的分量即为Dij 显然 Dij的值愈大 材料愈难变形 表示材料刚度愈大 1 应力和应变 应力应变关系也可写成相反的形式 即 式中 C 叫柔度矩阵 对于二维问题 将其展开 可写成 在复杂受力条件下 建立土的应力应变关系 实际上就是要给出矩阵 C 或 D C 或 D 互为逆矩阵 1 应力和应变 Cij越大 材料越软 2 土体三维变形的试验 三轴仪应力变形试验 三轴仪的构造示意如图5 10所示 图5 10 仪器构造 中间为圆柱形土样 其下为透水石 透水石放在三轴仪底座上 试样顶部也放有透水石再上面是金属的试样帽 试验时 土样的上下两端与透水石接触处 分别放置滤纸 试样外侧包有薄橡皮膜 膜的下端扎紧于底座 上端扎紧于试样帽 所谓压力室就是能够施加水压力或气压力的密室 侧向为有机玻璃筒 上部为金属顶盖 下部固定于底座 其间设有密封圈防止漏水 顶盖的中央为一金属活塞杆传递竖向荷载 2 土体三维变形试验 实验原理 试验时在压力室中充水并加压 这一压力叫围压 围压通过橡皮膜从侧向传到试样上 也通过试样帽从竖向作用给土样 此时试样受各向相等的压力 小主应力 待固结稳定后再用加压设备竖向加荷 土样上增加的竖向应力叫偏应力q 轴向附件应力 此时竖向应力为大主应力 1 q 由于土样是圆柱形的 故中主应力 2 在加竖向荷载时 可以用测微表量测试样的竖向变形量 由此可推得轴向应变 a L0 式中L0为初始试样高度 2 土体三维变形试验 三轴仪中的试样是圆柱形的 其受力和变形是轴对称的 它有两个方向的应力和 同时测得两种应变和 由它们可推出侧向应变 2 土体三维变形试验 缺陷 三轴仪试样的应力变形状态是轴对称的 而实际工程问题中土体应力应变状态往往并非轴对称的 因此需要有相应的试验设备来研究更加复杂的应力状态 2 土体三维变形试验 2 平面应变试验 岩土工程许多问题可以简化为平面应变问题 平面问题注意 1 三个方向的尺寸 小主应力方向尺寸应较小 试样才能达到破坏 2 试验仪器中难以处理的问题 不同方向的加荷板打架 2 土体三维变形试验 3 真三轴试验 真三轴仪的试样为立方体 从三个方向分别施加三个主应力分量 由于加荷方式的不同 产生了不同型式的真三轴仪 三个方向全为刚性板加荷 2 土体三维变形试验 方向为刚性板加荷 另两方向为气压或液压柔性加荷 方向柔性加荷 而和方向为刚性板 图5 12是河海大学的真三轴仪示意 属于第 种类型 图5 12 a 整体结构 b 加荷与变形示意 2 土体三维变形试验 实验原理 2方向的传力块B是由多层金属板与橡皮相间复合而成 在竖向该传力块可与试样同步压缩 而在 2向靠金属板传力保持刚性 竖向荷载由试样和传力块共同承担 但荷载 2 土体三维变形试验 传感器只量测试样上的荷载 从而可算得 1 传压块B上下有滚轮 可适应试样在 2向的变形 这样 2方向的加荷板不要予留空隙 可使 2均匀作用于试样 且试样自始至终规整 小主应力则用气压施加 4 空心扭剪仪 a 空心圆柱试样 b 扭剪仪整体结构 图5 13 2 土体三维变形试验 外室 为什么是空心而不用实心 仪器所用的试样为空心的圆柱体 如图13 a 所示 仪器的整体结构如图13 b 所示 试样被包在内外橡皮膜之中 该仪器可以对试样施加 种荷载 径向内压力 径向外压力 竖向压力 z和环向扭剪应力 根据内外径向应力可以推算出环向应力 2 土体三维变形试验 注意 研究变形与研究强度的土工仪器各有哪些 3 土体三向变形的主要规律 利用前面所讲的一些土体应力变形试验的仪器进行试验研究可以揭示土体变形的许多规律 这是建立本构模型的依据 1 非线性和非弹性 图5 15 a 是金属和混凝土等坚硬材料的轴向拉压曲线 图5 15 b 为土的三轴试验得出的轴向应力 与轴向应变之间的关系曲线 与金属材料不同的是 初始的直线阶段很短 对于松砂和正常固结粘土 几乎没有直线阶段 加荷一开始就呈非线性 这种非线性变化的产生 是因为除弹性变形以外还出现了不可恢复的塑性变形 土体是松散介质 受力后颗粒之间的位置调整 在荷载卸除后 不能恢复 形成较大的塑性变形 图15 a 金属 b 土体 3 土体三向变形的主要规律 如果加荷到某一应力后再卸荷 曲线将如图16所示 为加荷段 为卸荷段 卸荷后能恢复的应变即弹性应变 不可恢复的那部分应变为塑性应变 图16 3 土体三向变形的主要规律 经过一个加荷退荷循环后 再加荷 将如图16中的 段所示 它并不与 线重合 而存在一个环 叫回滞环 回滞环的存在表示退荷再加荷过程中能量消耗了 要给以能量的补充 再加荷还会产生新的不可恢复的变形 不过同一荷载多次重复后塑性变形逐渐减小 非线性和非弹性是土体变形的突出特点 弹性 塑性 粘性 流变性 3 土体三向变形的主要规律 弹性 塑性 粘性能够恢复的变形 不能恢复的变形 状态随时间而变化的性质 3 土体三向变形的主要规律 剪胀性和塑性体积应变 土体受力后会有明显的塑性体积变形 图17为土样在三轴仪中逐步施加各向相等的压力 后 再卸除所得到的 与体积应变之间的关系曲线 图17 3 土体三向变形的主要规律 可见存在不可恢复的塑性体积应变 而且它往往比弹性体积应变更大 这一点与金属不同 金属塑性变形是由于晶格之间的错动滑移而造成的 只有形状改变 不产生体积变化 金属是很密实的材料 晶格间没有可压缩的孔隙 因此被认为是没有塑性体积变形的 土体的塑性变形也与颗粒的错位滑移有关 这种错动滑移不仅在受剪时发生 受压时也存在 在各向相等的压力作用下 从宏观上来说 是不受剪切的 但在微观上 颗粒间有错动 3 土体三向变形的主要规律 剪切也会引起塑性体积变形 在三轴仪中对土样施加偏压力的同时 减小围压 并令 使球应力 保持不变 所得出的应力 应变曲线将如图19所示 尽管体积应力 不变 但图中仍有体积应变 此时测得的体积应变完全是剪切造成的 在图19 中 体积应变随偏应力增大而增大 剪切引起的体积收缩 叫剪缩 软土和松砂常表现为剪缩 3 土体三向变形的主要规律 图5 19 a b 3 土体三向变形的主要规律 在图19 中 开始阶段为剪缩 以后曲线向上弯曲 为负的体积应变 即体积膨胀 这种现象叫做剪胀 紧密砂土 超固结粘土 常表现为剪胀 3 土体三向变形的主要规律 a 松砂 b 密砂 图5 20 3 土体三向变形的主要规律 砂土受剪所产生体积变形可用图20来说明 假定土体沿水平向受剪切 对于松砂 受剪后某些颗粒填入原来的孔隙 体积减小 对于密砂 原来的孔隙体积较小 受剪时一些颗粒必须上抬才能绕过前面的颗粒产生错动滑移 于是体积膨胀 塑性剪应变 土体受剪发生剪应变 剪应变的一部分与骨架的轻度偏斜相对应 荷载卸除后能恢复 是弹性剪应变 另一部分则与颗粒之间的相对错动滑移相联系 荷载卸除后不能恢复 为塑性剪应变 不仅剪应力能引起剪应变 体积应力也会引起剪应变 三轴仪中的土样在应力和下变形稳定后 保持不变而降低 见图21 a 则会发现 随着减小 轴向应变不断增大 直至最后达到破坏 3 土体三向变形的主要规律 a 单元体应力变化 c 应力路径 3 土体三向变形的主要规律 b 摩尔圆变化 d 剪应变 等q试验 在这一应力变化过程中 应力摩尔圆直径不变 位置不断向左移动 如图21 b 摩尔圆从 移动到 当围压降到一定值 摩尔圆与库仑破裂线相切 土样剪坏 这时剪应变已发展到很大数值 由此可见 球应力的变化确实引起了不可恢复的剪应变 这种应力变化可以用图21 c 中 坐标系中的线段 来表示 还可点绘出剪应变 s随球应力 减小而增加的关系曲线 如图21 d 中的 段 3 土体三向变形的主要规律 硬化和软化 三轴试验测得的轴向应力 与轴向应变 的关系曲线有两种形态 图22 所示曲线有一直上升的趋势直至破坏 这种形状的应力应变关系叫硬化型 软土和松砂表现为这种形态 图22 a 3 土体三向变形的主要规律 图22 所示曲线前面部分是上升的 应力达到某一峰值后转为下降曲线 即应力在降低 而应变却在增加 这种形态叫做软化型 紧密砂和超压密粘土表现为这种形态 图22 b 3 土体三向变形的主要规律 将 转换为 点绘 曲线 其形式与图22也相似 存在硬化和软化两种形式 对于其他剪切试验 如直剪 单剪 得出的 关系曲线也有硬化和软化的区别 3 土体三向变形的主要规律 应力路径对变形的影响 岩土材料存在较大的塑性变形 沿不同的应力路径加荷 各阶段的塑性变形增量不同 累积起来 就有不同的应变总量 这就是应力路径对变形的影响 图23 a b 3 土体三向变形的主要规律 虚线 表示排水试验的有效应力路径 实线 表示先做不排水试验 其有效应力路径为 达到接近破坏的 点后 排水固结 保持 不变而 增加 应力路径为 两种应力路径初始和终了应力状态相同 两种路径所对的轴向应变 大不同 实线 因 点接近破坏线 必然产生较大的轴向应变 最终 必然较大如图23 中的 线所示 虚线远离破坏线 其轴向应变必然较小 如图23 中的 1线所示 3 土体三向变形的主要规律 应力历史对变形的影响 应力历史指历史上的应力路径 由于塑性变形不可恢复 历史上发生的变形将保存和积累起来 它无疑会影响今后的变形 图24中 两点具有相同的应力 然而 点处于初始加荷曲线上 点处于再加荷曲线上 两点对应不同的 它们所处应力 应变关系曲线的斜率也不同 如果施加同样的荷载增量 则对应 状态的土体应变增量大 而对应 状态的土体应变增量小 因 两点有着不同的应力历史 加荷后就有不同的变形 超固结土比正常固结土变形小 也是这个缘故 3 土体三向变形的主要规律 图24 3 土体三向变形的主要规律 又如 压缩试验中 Pc的影响 图24中 两点具有相同的应力 然而 点处于初始加荷曲线上 点处于再加荷曲线上 两点对应不同的 它们所处应力 应变关系曲线的斜率也不同 如果施加同样的荷载增量 则对应 状态的土体应变增量大 而对应 状态的土体应变增量小 因 两点有着不同的应力历史 加荷后就有不同的变形 超固结土比正常固结土变形小 也是这个缘故 各向异性 地基土一般是水平向成层 由于土沉积过程中水平和竖直方向条件不同 土的结构存在着差异 使土体在许多方面表现为各向异性 应力 应变关系也不例外 这种叫原生各向异性 此外 各向应力状态不同 还能引起新的各向异性 重塑土本来不存在土体结构上的两向差异 但只要各向应力不等 在应力 应变关系上就会表现为各向异性 称为应力引起的各向异性 次生各向异性 3 土体三向变形的主要规律 a b 图25应力引起的各向异性 3 土体三向变形的主要规律 平面应变条件下 从大主应力和小主应力方向分别加载 刚度矩阵或柔度矩阵为非对称 C12C21 C11 C22 3 土体三向变形的主要规律 8 固结应力对变形的影响 高压三轴试验资料表明 土体在高围压 固结应力 下的变形性状与低围压情况下有所不同 主要有如下三个方面 1 强度包线不呈直线 而是呈向下微弯的曲线 如图28 a 所示 这表示有效强度指标随着固结压力的增加而降低了 为了反映这种变化 可以用折线来代替曲线 也就是在不同的压力范围用不同的强度指标 如图28 b 所示 压力低于 A 用1 压力高于 A 用2 3 土体三向变形的主要规律 8 固结应力对变形的影响 3 土体三向变形的主要规律 f0Df如何确定 2 有些土 如紧密砂 在低压力下受剪时体积会发生膨胀 而在高压力下 所有土都表现为剪缩 如图29中所示的 v a曲线 3 软化现象一般也是在低压力下表现出来的 在高压下 通常 1 3 a曲线是硬化型的 如图29所示 3 土体三向变形的主要规律 图29不同围压下的应力 应变曲线 3 土体三向变形的主要规律 3 土体三向变形的主要规律 9 中主应力对变形的影响 中主应力对强度影响平面应变条件下测定的摩擦角比轴对称条件下大3 5度 中主应力对应力 应变曲线有影响 b 0 b 0 5 b 1 0 4 弹性非线性模型 引言 实际工程中的初始应力状态 应力增量和应力路径是千变万化的 试验无法模拟这种复杂的变化 因此 必须通过假定 推理 验证 建立某种符合实际变形规律的数学计算方法 数学模型 将少量的特定条件下试验得出的结果推广到一般 运用于工程 这种数学模型就是本构模型 4 弹性非线性模型 引言 线性弹性模型 广义虎克定律 4 弹性非线性模型 线性弹性模型 广义虎克定律 用E v v 0 5 不能反映剪胀 用K G 其取值基本没有限制 能反映剪胀 4 弹性非线性模型 线性弹性模型 广义虎克定律 用E v v 0 5 不能反映剪胀 实际土体的泊松比会不会 0 5 0 5意味着什么 0 5 4 弹性非线性模型 引言 线性弹性模型 广义虎克定律 4 弹性非线性模型 引言 4 弹性非线性模型 引言 假定土体为线弹性材料会有较大误差 因此提出非线性弹性模型 式中只含有两个参数 弹性模量E和泊松比 它随应力状态变化 通过试验得出弹性参数随应力而变化的规律 从而建立相应公式 4 弹性非线性模型 弹性模量E和泊松比 体积变形模量K和剪切模量G它随应力状态变化 通过试验得出弹性参数随应力而变化的规律 从而建立相应公式 三 应力应变关系矩阵 2个独立参数 一 弹性参数的确定 1 弹性模型E 由应力应变全量的广义虎克定律 当 2 3 0时 因此 4 弹性非线性模型 一 弹性参数的确定 1 弹性模型E 对于粘性土 做无侧限压缩试验 此时 2 3 0 加竖向应力 测相应的应变 见图32 a 点绘出轴向应力 与轴向应变的关系曲线 如图32 b 所示 曲线上的点A所对应的大主应力 1 大主应变 故弹性模量 它是曲线在点A处的割线的斜率 故称割线模量 以Es表示 4 弹性非线性模型 4 弹性非线性模型 b 割线模量 a 图32 c 泊松比 对于增量广义虎克定律 用Et和 t分别表示模量和泊松比 则无侧限压缩试验时 自然有 因此 曲线的切线斜率 就等于增量关系中的弹性模量 称切线模量 4 弹性非线性模型 2 泊松比 写出广义虎克定律的另一个式子 做无侧限压缩试验 而 故 量测侧向膨胀应变 它就是 点绘关系曲线 见图32 c 则线上一点割线的斜率就等于全量的泊松比 叫割线泊松比 以 s表示 自然 曲线的切线斜率具有切线泊松比的意义 以 t表示 4 弹性非线性模型 它用于反映增量的应力应变关系 图32 c 4 弹性非线性模型 复杂应力状态下E v的定义 3 体积模量B 在三轴仪中对土样施加各向相等的压力 3 也就是球应力p 逐步增大 测相应的体积应变可点绘出关系曲线 如图5 34所示 其割线斜率为割线体积模量 图5 34 切线的斜率为切线体积模量 4 弹性非线性模型 4 剪切模量G 在三轴仪试验中对土样逐级施加偏应力测相应的轴向应变 可求得偏应变为 八面体剪应力 八面体剪应变 利用八面体面上的剪应力剪应变间的关系可确定剪切模量 4 弹性非线性模型 点绘关系曲线 可得割线剪切模量Gs和切线剪切模量Gt如图35所示 图35 4 弹性非线性模型 二 双曲线模型 邓肯 张模型 一 切线弹性模量 康纳等人发现 在加荷时 关系曲线可以用双曲线来拟合 如图5 36 所示 对于某一小主应力来说 可以用下式表示 式中 和 为试验常数 上式也可写成 4 弹性非线性模型 若以为纵坐标 为横坐标 构成新的坐标系 则双曲线转换成直线 见图36 其斜率为 截距为 a b 图5 36 4 弹性非线性模型 邓肯和张利用上述关系推导出了弹性模量公式 在不变条件下 由式得增量的弹性模量 将式代入上式得 由式得 4 弹性非线性模型 代入式得 4 弹性非线性模型 现在来研究 和 的意义以及它们随应力的变化 由式可见 当 时 4 弹性非线性模型 而是曲线 的初始切线斜率 其意义为初始切线模量 用Ei来表示 见图5 36 因此 这表示 是初始切线模量的倒数 试验表明 随 3变化 如果在双对数纸上点绘和的关系 则近似地为一直线 如图5 37所示 4 弹性非线性模型 图5 37 这里为大气压力 引入是为了使纵横坐标化为无因次量 直线的截距为 斜率为 于是有 由此得 4 弹性非线性模型 由式还可见 当 时 这里用表示当 时的值 也就是的渐近值 实际上 不可能趋向无穷大 在达到一定值后试样就破坏了 这时的偏应力为 它总是小于 叫破坏比 将式和式代入式 并利用上式 得 4 弹性非线性模型 令 4 弹性非线性模型 叫应力水平 它表示当前应力圆直径与相同小主应力条件下破坏应力圆直径之比 反映了强度发挥程度 式 5 43 也可写成 令 4 弹性非线性模型 破坏偏应力与固结压力有关 由下图中的几何关系不难推出将上式和式 5 40 代入式 5 43 得 Et随应力水平增加而降低 随固结压力增加而增加 包含 个参数 为强度指标 另外三个数K 和Rf 4 弹性非线性模型 个参数确定 为强度指标 另外三个数K 和Rf的确定方法在推导中已作说明Rf对不同的s3会有不同的值 取平均值 二 切线泊松比 图5 35中所示为三轴试验测得的关系曲线 利用式 5 21 可由体积应变推出侧向应变 普通三轴仪竖向加荷 侧向为膨胀应变 故为负值 点绘关系曲线 如图5 41 所示 库哈威和邓肯也用双曲线来拟合 与式 5 34 相似 将有 式中 和 为两个参数 将上式转换成 4 弹性非线性模型 a b 图41 它表示 若以为纵坐标 为横坐标 则试验关系将为一直线 如图41 所示 4 弹性非线性模型 由上式可得 如果将图5 41 a 纵横坐标交换 就成为曲线 其斜率为增量泊松比 将式 5 49 代入上式 并利用式 5 35a 把所含用应力来代替可得 4 弹性非线性模型 5 49 其中 4 弹性非线性模型 4 弹性非线性模型 由式 5 47 当 时 可见 是渐近值的倒数 当 时式中 为初始切线泊松比 即各向等压状态下的泊松比 对于不同的 有不同的值 在半对数纸上点绘与关系曲线 近似为一直线 如图5 42所示 其截距为 斜率为 于是有初始切线泊松比为 4 弹性非线性模型 图5 42 最后得切线泊松比公式为 4 弹性非线性模型 上式算得的有时可能大于 在试验中测得的 值也确有可能超过 这是由于土体存在剪胀性 然而 有限元计算中 若大于或等于 劲度矩阵就出现异常 因此 实际计算中 当 时 令 参数G F D 三 切线体积模量 邓肯等人还提出了一种确定切线体积模量的方法 并在有限元计算中使用和两参数 这习惯上被称做 模型 而计算中使用和者被称作 模型 对于E B模型 二维问题的刚度矩阵可表示为 在三轴试验中施加偏应力 则平均正应力的变化为 因此 4 弹性非线性模型 邓肯等人假定 与应力水平 无关 或者说与偏应力无关 它仅仅随固结压力 而变 对于同一 为常量 由上式可见 这相当于假定与成比例关系 根据这种假定 对同一 如果点绘 3 关系曲线 应为一直线 如图5 43所示 4 弹性非线性模型 图5 43 4 弹性非线性模型 邓肯等人取与应力水平 相应的点与原点连线的斜率作为平均斜率 即 4 弹性非线性模型 对于不同的 也不同 在双对数纸上点绘与关系曲线 可得一直线 如图5 44所示 其截距为 斜率为 则 四 回弹模量 对卸荷和再加荷的情况 试验表明应力应变关系曲线与加荷是不一样的 应该由回弹试验测定弹性模量 图39 4 弹性非线性模型 在图5 39中 为加荷状态的应力应变关系曲线 其斜率为 t 而卸荷与再加荷的曲线之间略有差异 中间本应存在一个回滞环 这里近似假定它们一致 且为一直线 如AB所示 其斜率为 它具有卸荷再加荷情况下弹性模量的物理意义 叫回弹模量 在曲线的不同位置卸荷 回弹模量略有不同 邓肯等人认为可以忽略这种差异 假定不随变化 但对于不同的围压 可测出显著不同的 即须随而变 4 弹性非线性模型 在双对数纸上点绘与关系曲线 可得一直线 如图5 40所示 其截距为 斜率为 这样回弹模量可由下式计算 图5 40 4 弹性非线性模型 回弹标准 4 弹性非线性模型 且 时 用Eur 否则 用Et 加荷函数 fl 0 75 fl max Eur 0 75 fl max fl fl max 四 参数的确定及参数的变化范围 v模型 F C Rf K n G F D 模型 用 Rf K K 和 共 个参数作三轴排水试验测轴向应变 a和体积应变 v 点绘应力应变关系曲线 按以下方法确定参数 在 坐标系中绘不同 3时的极限摩尔圆 如图5 38所示 4 弹性非线性模型 如图5 38 对每一个 3 点绘 关系曲线 近似取为直线 如图5 36 所示 4 弹性非线性模型 图5 36 对各用式 5 42 计算 4 弹性非线性模型 3 点绘与关系曲线 如图5 35所示 若 值小 则曲线在高应力水平下仍然挺拔 坡度较大 由试验 关系 利用式 5 21 转换为 关系 4 弹性非线性模型 如果要确定体积模量 有关参数 可从 关系曲线上 找出应力水平 时的值近似地令 然后点绘与关系曲线 如图5 42所示从拟合的直线可定K 和 4 弹性非线性模型 图5 42 五 对双曲线模型的讨论 1 n模型和 模型的差异 两种模型采用了相同的弹性模量 无论加荷还是卸荷 它们的差异仅在于泊松比n和体积模量 在有限元计算中所得结果差异比较大 E B模型实际上用了两种泊松比nt和nur 这一点与 v模型无论加荷还是卸荷都取一种泊松比是不同的 E B模型的泊松比较小 回弹状态时nurm 4 弹性非线性模型 2 双曲线模型反映的变形特征 3 模型将回弹模量与加荷模量区别开来 4 由于模型用于增量法有限元计算 故能在一定程度上反映应力路径对变形的影响 图5 46中有两条应力路径 起点A 终点B ADB变形要大于ACB 4 弹性非线性模型 通过 或 随应力的变化反映了非线性变形特性 实际计算结构时 各单元的E用E v和E B模型计算是不同的 模型较恰当地反映了剪切变形随应力水平的增加而增加 随围压的增加而减小 体积变形随围压的增加而减小 4 弹性非线性模型 图5 46 4 应力路径对变形的影响 图5 46中有两条应力路径 起点A 终点B ADB变形要大于ACB 3 双曲线模型的存在问题 不能反映剪胀剪缩性 不能反映软化特性 不能反映各向异性 模型的建立和参数的确定完全依据大主应力 方向加荷的试验结果 4 弹性非线性模型 4 模型对卸荷状态取回弹模量 以便区别加荷模量 但没有提出卸荷时的泊松比和卸荷时的体积模量 4 双曲线模型实用性 4 弹性非线性模型 首先因为它能反映土体变形的主要特点 尽管还存在许多问题 第三 在广泛应用中逐渐积累了使用它的经验 其次 该模型有一个重要特点就是简单 1 K G模型 4 弹性非线性模型 二 其它非线性模型 式中 是非线性K G模型的五个参数 一般地 0 0 0 可由各向等压固结试验的曲线确定 由等p的三轴固结排水剪切试验确定 5 弹塑性模型 弹塑性模型把在荷载作用下所发生的变形分成两部分 一是弹性变形 即可恢复的变形 另一是塑性变形 即不可恢复的变形 引言 弹性变形可以用广义虎克定律来求解 塑性变形则要用塑性力学的方法来建立应力应变关系 破坏准则和屈服准则 硬化规律 流动法则 三大假定 5 弹塑性模型 为了建立塑性变形的关系式 须要给出三个条件 即三方面的假定 对这三个假定采用的具体形式不同就形成了不同的弹塑性模型 一 屈服准则和破坏准则 塑性变形并不是任何荷载下都发生 而是加到一定的荷载时才发生 究竟达到什么应力状态才发生 就要有一个判别标准 这个标准叫做屈服准则 荷载逐步增加 变形逐步发展 达到某种应力状态时 土体破坏 这种应力状态是一种极限应力状态 判断是否达到这一状态的标准 叫破坏准则 屈服是发生塑性变形的下限应力状态 破坏则是其上限应力状态 因此讨论塑性变形不能不明确其上下限 5 弹塑性模型 一 屈服准则和破坏准则 屈服 准则 破坏 准则 5 弹塑性模型 一 破坏准则 土体的破坏决定于应力状态 故破坏准则可写成 其中 是应力分量的某种函数 叫破坏函数 kf是试验确定的常数 破坏函数在主应力空间内代表一曲面 叫破坏面 若表示应力状态的点落在破坏面以内 材料不破坏 若落在破坏面上 材料破坏 应力状态永远不能超出破坏面 5 弹塑性模型 土体的破坏有两种型式 剪切破坏和拉裂破坏 但由于土的抗拉强度小 往往假定为0 不考虑拉裂破坏 下面所讲的破坏准则主要指剪切破坏准则 建立破坏准则 其实就是将抗剪强度以某种应力分量的形式表达出来 5 弹塑性模型 破坏准则主要有以下几种 1 屈雷斯卡准则 这一准则是假定最大剪应力达到某一数值时破坏 即 如果主应力的大小不确定 可写成 5 弹塑性模型 它在主应力空间内是以空间主对角线为中心轴的正六角柱面 见图5 48 a 上式也可用应力不变量来表示 即 5 弹塑性模型 图5 48 平面形状 屈雷斯卡准则 破坏与球应力无关 屈雷斯卡准则包含了破坏与球应力无关的假定 对岩土体 破坏与球应力有关 故 5 弹塑性模型 图5 48 广义屈雷斯卡准则 平面形状 饱和土不排水剪强度为 其摩尔图包线如图5 48 b 所示 Cu为不排水粘聚力 与式 5 54 相比可见 kf Cu 屈雷斯卡准则很好地体现了饱和土不排水条件下的强度特征 5 弹塑性模型 2 米塞斯准则 该准则是假定偏应力q达到一定值时破坏 即 它在主应力空间为圆柱面如图5 49 a 所示 5 弹塑性模型 平面形状 子午面上破坏曲线的形状 b 5 弹塑性模型 广义米塞斯准则 考虑球应力对强度的影响 将kf用I1 I1 1 2 3 的函数代替 则成为广义米塞斯准则 在主应力空间为圆锥面 如图5 49 b 所示 b 图5 49 5 弹塑性模型 广义米塞斯准则 在q p二维应力空间为一倾斜直线如图5 49 c 所示 剑桥模型中破坏准则为q Mp q M p pr 子午面上破坏曲线的形状 5 弹塑性模型 Drucker Prager准则 3 摩尔 库仑准则 对土体 摩尔 库仑强度理论已将某一面上的抗剪强度转换为达到破坏时单元体主应力之间的关系 它是现成的破坏准则 其表达式为 或 5 弹塑性模型 在保持相同的情况下 按摩尔 库仓准则 三轴压缩和拉伸具有相同强度 不受影响 而实际试验结果 在相同情况下 拉伸试验所得的强度常高于压缩试验测得的强度 它表示破坏与 2无关 在主应力空间破坏面是 2轴平行的面 且投影到 1轴与 3轴构成的平面内 是一直线 如果 1 2 3的大小不确定 则为6个面 它们在主应力空间构成不等角的六角锥面 如图5 50所示 图5 50 5 弹塑性模型 PI平面内是一等边不等角的六边形 图5 50 5 弹塑性模型 b 0 b 1 4 拉德 邓肯准则 拉德和邓肯根据砂土真三轴试验提出 这一破坏准则的破坏面是曲边三角形 见图5 51 5 弹塑性模型 5 松冈元 中井准则 6 毕肖普准则 7 方开泽准则 5 弹塑性模型 8 德洛克 普拉格准则 一种广义米塞斯准则 上述各破坏准则之间的主要差别在于反映中主应力对强度的影响不同 5 弹塑性模型 8 德洛克 普拉格准则 一种广义米塞斯准则 5 弹塑性模型 二 屈服准则 实际土体中的受力情况是复杂的 往往不是单向加载 而是三个方向都有应力作用 若存在侧向压力 土体强度会提高 荷载要更大才会屈服 屈服要将三个方向的应力综合起来考虑 这就要根据三轴试验 乃至真三轴试验建立综合的屈服准则 它可表示为 5 弹塑性模型 荷载加到什么程度材料才会屈服呢 就要根据力学性试验给出一个屈服的准则 上式意味着各应力分量的某种函数组合达到一个临界值k时 材料才会屈服 f叫屈服函数 与坐标轴方向的选取无关 故可将取某种与坐标方向无关的应力不变量 k是与应力历史有关的常数 对某一k值 在应力空间对应一确定的曲面 叫屈服面 如图5 54所示 当k值变化时 对应一系列的屈服面 图5 54 5 弹塑性模型 5 弹塑性模型 理想弹塑性材料在未屈服时 只有弹性变形 一旦屈服 就产生塑性变形 且塑性变形不断发展直至破坏 破坏准则也就是屈服准则 K是一不变的常数 屈服面是一固定的曲面 即破坏面 对于岩土类材料 屈服和破坏是不同的 在运用屈服准则时 由当前应力各分量计算f值 若f k 则材料处于弹性变形阶段 在应力空间内相应的点落在屈服面以内 当f k时材料屈服 f也有可能超过原有的k 但此时k提高了 且仍然保持f k 这是由于屈服后材料硬化的缘故 5 弹塑性模型 5 弹塑性模型 在图5 55 a 中 初始加荷时 在应力 应变曲线的A点材料屈服 超过A点 譬如达到B点退荷 再加荷 则当应力达到sA时并不屈服 而是达到sB时才屈服 可见屈服的标准改变了 也就是材料硬化了 k改变了 k如何变化的规律 叫硬化规律 由于加荷过程中k变化 f值也变化 在应力空间对应一系列互不相交的屈服面 如图5 55 b 所示 5 弹塑性模型 对于处于屈服状态的体系 即当前应力处于屈服面上 施加一新的应力增量 将有如下三种可能 1 的方向指向屈服面内部 这将使也就是 可见应力增加后进入弹性状态 这叫卸载 5 弹塑性模型 2 指向屈服面外部 新的应力状态到了原屈服面的外部 转入新的屈服面上 这时 同时 k增加 发生塑性变形 3 沿着屈服面的切线方向 则df 0 显然有 应力状态改变后仍处于同一屈服面上 不引起新的塑性变形 这叫中性加载 或中性变载 5 弹塑性模型 5 弹塑性模型 屈服函数一般地是三个应力不变量的函数 如 1 2 3或I1 I2 I3 或I1 J2 J3 不少模型假定f仅仅是第一和第二应力不变量的函数 或者说是p和q的函数 写成f p q 而忽略第三应力不变量的影响 这样函数f p q 就和广义米塞斯破坏准则一样 在主应力空间对应着以空间对角线为轴的回转面 由于自变量只有两个 便可在以p q为坐标轴的平面标系里表示屈服函数 屈服面就成了屈服曲线 或者叫屈服轨迹 5 弹塑性模型 金属材料没有塑性体积应变 屈服仅仅被看作发生塑性剪切应变 屈服函数与破坏函数形式一样 屈服面即破坏面 5 弹塑性模型 土体有体积变形 在p q平面内是向上倾斜的曲线 除原点以外不与p轴相交 如图5 57 a 所示 5 弹塑性模型 岩土类材料的显著特点就是存在塑性体积应变 即使q 0 p也会引起塑性体积应变 会发生屈服 因此屈服面应该与p轴相交 如图5 57 b 所示 弹性区不再是开口的 而是被 帽子 封闭起来 采用这类屈服面的模型叫 帽子 类模型 只有 帽子 类的模型才能较好地反映土的体积变形特性 5 弹塑性模型 考虑到开口的锥形屈服面主要反映塑性剪切变形 而帽盖形屈服面主要反映塑性体积变形 因此人们提出将两者结合起来的双屈服面模型 甚至多屈服面模型 这种双屈服面模型可以克服单屈服面模型的一些缺点 但其参数常常比较难以确定 二 硬化规律 当材料达到屈服后 屈服的标准要改变 即k的变化 k的变化有三种情况 屈服后k增加 这意味着材料变硬了 叫硬化 k减小了 叫软化 k不变 叫理想塑性变形 5 弹塑性模型 硬化与应力历史有关 只有应力状态达到了屈服标准以后才会发生进一步的硬化 达到了屈服自然就发生了塑性变形 因此 可以用塑性变形或塑性功作为衡量硬化发展的程度 叫做硬化参数 用H来表示 k为硬化参数H的函数 为 即 屈服函数的更一般的形式是 对一个确定的H值 上式给出一个确定的函数值 在应力空间对应一确定的屈服面 5 弹塑性模型 硬化规律 屈服面变化的规律 有如下两种假定 1 假定屈服面的中心不变 形状不变 其大小随硬化参数而变化 等向硬化 2 假定屈服面大小和形状都不变 硬化只是改变其位置 这叫运动硬化 或叫随动硬化 5 弹塑性模型 硬化参数H的假定有如下几种 1 塑性功Wp 在图5 54中 OABC所围城的面积就代表塑性功 对复杂受力状态 如果把图中s和e看作是抽象的应力和应变 则OABC的面积可抽象地理解为塑性功 5 弹塑性模型 塑性功的数学表达式为在p q坐标系里 可表示为即塑性功包括体积应力在塑性体积应变上所做的功和偏应力在塑性偏应变上所做的功 5 弹塑性模型 图5 54 3 塑性偏应变 这里可由增量累计 用下式表示 5 弹塑性模型 2 塑性体积应变 为硬化参数相应的屈服面总是 帽子 型的 这种假定能较好地反映土体的体积变形特征 式中为应变偏量的增量 4 塑性全应变 5 和的某种函数组合 硬化规律是与屈服函数联系在一起的 如果硬化参数取为塑性功 当塑性能为某一确定值时 屈服函数值就确定了 也就确定了在应力空间的一个屈服面 该屈服面上各点有相等的塑性功 屈服面即硬化参数的等值面屈服函数和硬化规律都是在试验基础上作的假定 然而 这两种假定之间须匹配 5 弹塑性模型 屈服函数和硬化规律都是在试验基础上作的假定 然而 这两种假定之间须匹配 5 弹塑性模型 对应力空间中的一点 达到该点的应力途径很多 但对应一个屈服函数值 即对应唯一屈服面 意味着屈服函数和硬化参数唯一确定 实际上 应力路径对塑性变形有影响好在增量法计算 能在一定程度上考虑应力路径对变形的影响 5 弹塑性模型 三 流动规则 流动法则 所谓应变增量的方向 是指在以应变分量为坐标轴构成的应变空间内 应变增量分量的合成矢量的方向 如图5 59所示 这个合成矢量的方向就规定了各分量之间的比例关系 5 弹塑性模型 流动规则是用于确定塑性应变增量方向的假定 塑性变形 或者说塑性流动 与其他性质的流动一样 可以看成是由于某种势的不平衡所引起的 这种势称塑性势 塑性势理论 米塞斯假设存在某种塑性势函数 它是应力状态的函数 以来表示 它对应力分量的微分决定了塑性应变增量的比例 表示成数学公式为 5 弹塑性模型 由于g是应力的函数 就可以在应力空间里将g表示出来 在应力空间内把塑性势相等的点连接起来 形成许多等势面 叫塑性势面 代表塑性势面法线的方向余弦 5 弹塑性模型 如果把应力空间和应变空间重叠在一起 则上式表示塑性应变增量的方向与塑性势面的法线方向一致 也就是说与塑性势面正交 如图5 59 b 所示 根据试验资料可整理出各种应力状态下塑性应变增量的方向 也就是塑性势面的法向 应力空间内各点的塑性势面方向确定后就可找出塑性势函数 5 弹塑性模型 流动规则的两种假定 一 相关联的流动规则 这个规则假定塑性势函数与屈服函数一致屈服面就是塑性势面 即 5 弹塑性模型 德洛克公设 一个单元体存在初始应力 缓慢地施加一个外荷 再卸除之 则在加荷过程中外荷做了正功 0 在加荷与卸荷循环中 外荷作功非负值 0 对于弹性情况为零 对塑性变形为正值 根据这一公设可以推断 塑性势面必须与屈服面一致 也就是说 只要承认德洛克公设 流动规则就一定是相关联的 一 相关联的流动规则 图5 60 a 中 纵坐标为抽象的应力 横坐标为抽象的应变 ABCD表示了一个加荷卸荷循环 初始状态A在弹性区 加荷到B屈服 再在塑性状态下继续加荷到C 然后卸去所加荷载 退到D ABCD所围成的面积 如图5 60 a 中的阴影所示 即在此循环中所作的功 为正功 这一过程在应力空间的变化示于图5 60 b 5 弹塑性模型 图5 60 5 弹塑性模型 A D B E C A D B E C 在加荷卸荷过程中 弹性功为0 只有塑性功 如初应力在屈服面上 5 弹塑性模型 要求 2向量的夹角小于等于90度 将应力坐标系与应变坐标系重叠 则2个向量的标量积 0表示2向量夹角 90度 可推得下述结论 1 代表初始应力的所有点都必须落在与垂直的平面的另一侧 如图5 61 a 所示 这对屈服面上的所有点都成立 故屈服面须是凸的 假如屈服面为凹的 如5 61 b 所示 a b 5 弹塑性模型 c 2 必须与屈服面垂直 如果不垂直也会存在某些区域使 如图5 61 c 所示 5 弹塑性模型 c 二 不相关联的