2014届本科毕业论文-侯冠龙-王国灿-.doc

毕业(设计)论文题 目 抽象不等式的证明 学生姓名 张佳晨 专业班级 R数学09-1班 所在院系 理 学 院 指导教师 王国灿 职 称 教授 所在单位 理 学 院 教研室主任 周大勇 完成日期 2014 年6月10日摘 要复积分是复变函数论重要的组成部分，而复变函数论在十九世纪全面发展，是最丰饶的数学分支。复积分是研究复变函数的重要工具，许多重要性质都要用复积分表述和证明。但对于复积分的求解方法没有过系统详细的分析和归纳，因此，对复积分的求法的研究有很重要的意义。本文先阐述复积分的相关概念，在此基础上论述了对复变函数积分的常规计算方法，参数方程法，牛顿莱布尼兹公式，柯西积分定理，柯西积分公式，拉普拉斯变换法，留数定理等方法。针对没一种方法，给出相应的例子。对复积分的求法做出较系统的归纳总结，使一些复杂的复积分计算变得简单快捷。关键字： 复积分 复变函数 柯西积分定理 拉普拉斯变换法 留数定理ABSTRACT Complex integration is an important part of the theory of functions of a complex variable, and the theory of functions of a complex variable and comprehensive development in nineteenth Century, is a branch of mathematics is the most fertile. Complex integration is an important tool to study the function of complex variable, many important properties have to be used in complex integral formulation and proof. But for the solution of the complex integral no inductive analysis, detailed system and therefore, has very important significance on the research method of solving the complex integral.This paper first describes the concepts of complex integral, in this paper based on the conventional method to calculate the integral of complex variable function,parameter equation method, Newton - Leibniz formula, Cauchy integral theorem,Cauchy integral formula, Laplace transform, residue theorem method etc. For no one method, the corresponding example. To summarize systematically summarized the method to find the complex integral, the complex integral calculation is simple and fast.Key Words： Complex integration of complex function integral theorem of Cauchy Laplace transform residue theorem大连交通大学2014届本科生毕业论文目 录一 复积分的定义及性质1（一）光滑曲线1（二）复积分的定义1（三）复积分的性质2二 复积分的计算方法3（一）定义法3（二）参数方程法3（三）利用柯西积分公式和柯西积分定理3谢 辞5参考文献61 复积分的定义及性质（一）光滑曲线设是复平面上的一个点集。若它是某个复值连续函数的值域，则称是复平面上的一条连续曲线。方程称为的参数方程。和分别称为的起点和终点。对满足的和，当成立时，点称为曲线的重点；无重点的连续曲线称为简单曲线；的简单曲线称为简单比曲线。例如线段、圆弧和抛物线弧等都是简单曲线；圆周和椭圆等都是简单比曲线。设简单曲线的参数方程为并且在上，及存在、连续且不同时为零，则称为光滑闭曲线。（二）复积分的定义复积分的定义的基本思想与实积分一样，都是分割、求和、取极限。复积分的定义：设有向光滑曲线，以为起点，以为终点，是一常数，是定义在有向光滑曲线上的复变函数，沿着从到的方向在上取有限个点，将曲线分成若干个弧段。从的每一弧上任取一点，作和数，其中。当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于，则称沿着可积。这个常数称为的积分，并记为。称为积分路径。如果是由有向光滑曲线组成的逐段光滑曲线，则沿着的积分定义为。（三）复积分的性质定理1：(1)沿着可积的必要条件为在上有界。 (2)如果沿着可积，则，c为任意复常数；。 (3)若和都沿着可积，则沿着可积，且有。定理2：假定是在有向逐段光滑曲线上连续的函数，则(1) 在上可积，并且。(2) 如果对任意的都有，则，这里表示的长度。特别地，。定理3：若复变函数在上连续，且对所有的有，则。定理4：设是有向逐段光滑曲线上的连续函数。若是与方向一致的参数方程，则有。2 复积分的计算方法（一）定义法例1、计算，是连接的曲线。解：因，故即。（二）参数方程法设光滑曲线c:z=z(t)=x(t)+iy(t) (),在上连续，且0，又设沿c连续，则。1. 对于直线段c，先求c的参数方程。C是以为端点的直线段，其中为始点为终点。例2、 计算积分，路径为直线段.解：设设，原式=2.当曲线为圆周或圆周的一部分时，例如为以为心为半径的圆。设，即（曲线的正方向为逆时针）例3、 计算积分，为从到的下半单位圆周.解：设原式（三）利用柯西积分公式和柯西积分定理柯西积分公式：设是简单正向闭曲线，若在包含的某个单连通区域内解析，是内任一点，则。柯西积分定理：若是单连通区域内的解析函数，是内的任意一个围线（闭逐段光滑曲线），则。例4、计算积分其中是圆周逆时针旋转一周。解：由于函数在上及其内部是解析的，在圆周的内部。因此由柯西积分公式得到。例5、计算，这里是由定义的椭圆沿着正方向一周。解：被积函数在去掉原点的平面上解析。显然不通过原点的可以连续地变形为正方向的单位圆周。因此，由变形不变定理得。(4) 运用留数定理留数的定义：若是的孤立奇点，则在点处的洛朗展式中项的系数称为再点的留数，记做或。当在内部仅有一个孤立奇点时，已经知道如何计算积分。现在讨论更一般的情形：当是一条正向简单闭曲线，在上以及内部除去有限个孤立奇点处处解析。把内的孤立奇点用互不包含并且包含于内的正向简单闭曲线围起来，则有。由于是内的唯一奇点，故。留数定理：设是正向简单闭曲线，在上以及内部中除去有限个孤立奇点外部处处解析，则。例6、计算函数每个奇点的留数。解：函数有2级极点和级极点。运用公式得 谢 辞 本论文得以完成，凝聚了许许多多老师、同学、朋友，亲人的心血和关爱！在我即将完成学业之际，谨向五年来给与我无私帮助、支持，关心和呵护过我的所有老师、同学、朋友、亲人致以最诚挚的谢意！在临近毕业之际，我要借此机会向在这五年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意，感谢他们五年来的辛勤栽培。不积跬步何以至千里，各位任课老师认真负责，在他们的悉心帮助和支持下，我能够很好的掌握和运用专业知识，并在设计中得以体现，顺利完成毕业论文。感谢王国灿老师，王老师作为我的论文指导老师在本文的撰写过程中给予我大量的指导和帮助，花费了很多心血.尤其是在课题设计、研究方法、论文撰写等各个环节给予我的指导和帮助。感谢我的同窗好友们，五年来朝夕共处的日子里，是他们给了我最大的温暖和感动，感谢他们在我论文写作过程中提出的宝贵建议和帮助。论文写作过程中借鉴和引用了许多学界前辈的观点和论据，向他们表示感谢！最后，特别感谢参加论文评审的各位老师！参考文献1 北京师范大学数学科学学院 邓冠铁. 复变函数论. 北京师范大学出版社.20132 石辛民 翁智. 复变函数及其应用. 清华大学出版社.20123 上海交通大学数学系. 复变函数与积分变换. 上海交通大学出版社.20124 吴敏 洪毅 刘深泉. 复变函数. 华南理工大学出版社.2004 5 白艳萍 雷英杰 杨明. 复变函数与积分变换. 国防工业出版社.2004 6 高宗升 滕岩梅. 复变函数与积分变换. 北京航空航天大学出版社.2006 7 路见可 钟寿国 刘士强. 复变函数. 武汉大学出版社.2001 8 徐大申. 复变函数与积分变换. 中国电力出版社.2005 9 蒋月评 李丹衡 刘楚中. 复变函数. 湖南大学出版社.2005 10 钟玉泉. 复变函数论. 高等教育出