“且、或、非”与“交、并、补”(张晓军 )

“且、或、非”与“交、并、补”摘要 逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合中的“交”、“并”、“补”密切相关，掌握它们的关系你会发现逻辑联结词其实很容易理解。关键词 逻辑联结词 真命题 假命题天长中学 张晓军逻辑联结词是学习简易逻辑知识的基础，与其它内容有着密切的联系，在学习该部分内容时，不少同学由于对逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义理解不透，而常常造成解题失误。实际上，集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”密切相关，本文将和你谈谈它们之间的关系。一、 “且”与“交”的关系先看一个具体例子.我们知道，由“是偶数”与“是质数”都是真命题，可以得到“是偶数且是质数”是真命题.另一方面，由集合的“交”运算可以知道：由偶数，质数，可以得到偶数质数.如果把“真”对应于“”，“且”对应于“交”，那么，“是偶数是真命题”可以对应于“偶数”，“是质数是真命题”可以对应于“质数”，“是偶数且是质数是真命题”就可以对应于“偶数质数”.从上述例子得到启发，我们可以在逻辑联结词“且”与集合的“交”运算之间建立联系.我们知道，对于逻辑联结词“且”有：如果p，q都是真命题，则pq是真命题；如果p，q中至少有一个是假命题，则pq是假命题.对于集合的“交”有：若a，aQ，则aPQ；若aP或aQ，则aPQ.把命题p，q分别对应于集合，“真”“假”“”分别对应于“”“”“”，那么上述关于“且”与“交”的规定就具有形式的一致性.更具体地说，就是“p是真命题”对应于“aP”，“q是真命题”对应于“aQ”，“pq是真命题”对应于“a”，“pq是假命题”对应于“aPQ”.二、“或”与“并”的关系再看一个具体例子.我们知道，由“是无理数”与“是实数”都是真命题，可以得到“是无理数或是实数”是真命题.同样由集合的“并”运算可以知道：由无理数，实数，可以得到无理数实数.如果把“真”对应于“”，“或”对应于“并”，那么，“是无理数是真命题”可以对应于“无理数”，“是实数是真命题”可以对应于“实数”，“是无理数或是实数是真命题”就可以对应于“无理数实数”.于是，我们可以在逻辑联结词“或”与集合的“并”运算之间建立联系.我们知道，对于逻辑联结词“或”有：如果p，q都是假命题，则pq是假命题；如果p，q中至少有一个是真命题，则pq是真命题.对于集合的“并”有：若a，aQ，则aPQ. 若a，aQ，则aPQ或者若a，aQ，则aPQ.把命题p，q分别对应于集合，“真”“假”“”分别对应于“”“”“”，那么上述关于“或”与“并”的规定就具有形式的一致性.也就是说“p是真命题”对应于“aP”，“p是假命题”对应于“aP”，“q是真命题”对应于“aQ”，“q是假命题”对应于“aQ”，“pq是假命题”对应于“a”，“pq是真命题”对应于“aPQ”.由此我们知道逻辑联结词中“或”的含义与并集中的“或”的含义是一致的，但要注意它们都不同于生活用语中“或”的含义，生活用语中“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”。三、“非”与“补”的关系同样我们先看一个具体例子.若以整数集为全集，则偶数集和奇数集互为补集.由“是偶数”是真命题，可以得到“是奇数”是假命题；由“是偶数”是假命题，可以得到“是奇数”是真命题.用集合的方式则可表达为：由偶数，可以得到奇数；由偶数，可以得到奇数.如果把“非”“真”“假”分别对应于“补”“”“”，那么，命题p和它的否定p可以对应于集合和它的补集，“p是真命题”对应于“aP”，“p是假命题”对应于“”，“p是假命题”对应于“aP”，“p是真命题”对应于“”.一般地，对于逻辑联结词“非”有：若p是真命题，则p是假命题；若p是假命题，则p是真命题.对于集合的“补”有：设为全集， ，若a，则；若，则.对“非”的理解，可联想集合中“补集”的概念。“非”有否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非”，当真时，则“非”假；当假时，则“非”真。若将命题对应集合，则命题非就对应着集合在全集中的补集。通过上面的叙述我们发现 “非”与“补”的规定也具有形式的一致性.四、范例剖析例1 判断下列复合命题的真假,写出其否命题并判断真假 （1）； （2）-1是偶数或奇数；（3）。解（1）此命题用集合符号表示即对应于命题中的“”，其中p:,q:,因为p为假命题，q为真命题，所以“”为假命题，故原命题为假命题。其否命题为：，用集合符号表示即对应于命题中的“”，其中:,:,因为为真命题，为假命题，所以“”为真命题，即否命题为真命题。（2）-1是偶数或奇数即在命题中表示为“”，其中p:,q:,因为p为假命题，q为真命题，所以“”为真命题。其否命题为：对应于命题中的“”，其中:,:,因为为真命题，为假命题，所以“”为假命题。（3）此命题为“”的形式，其中p: 。因为p为真命题，所以“”为假命题，故原命题为假命题。否命题: 为真命题。例2 已知：方程有两个不等的负实根，命题：方程无实数根。（1）当m为何值时，p或q为真？（2）当m为何值时，p且q为真？ 解 由已知可知，p真时m2,q真时1m3,（1）若p或q为真，只需（2）若p且q为真，只需从上述讨论可以发现：命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词与集合的运算具有一致性，命题的“且”“或”“非”恰好分别对应集合的“交”“并”“补”.因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑