12.1(1)曲线的交点

曲线的交点 曲线的交点 定义 两条不同曲线的公共点叫做两条曲线的交点 2 如何求下列两条直线的交点 L1 3x 4y 2 0 L2 2x y 2 0 思考 方程组有唯一解是两条直线有交点的什么条件 结论2 两条直线的交点的坐标是两条直线方程的解 曲线的交点 充要条件 求直线交点的方法能否推广到两曲线呢 1 由曲线方程的定义可知 两条曲线的交点的坐标应该是两个曲线的方程的公共实数解 即 新课引入 1 两个曲线方程组成的方程组的解是交点的坐标 2 反过来 方程组的解为坐标的点应是曲线的交点 曲线的交点 4 方程组有几组实数解 两曲线就有几个交点 方程组没有实数解 两条曲线就没有交点 3 求曲线交点的方法就是求它们方程组的实数解 2 两曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解 曲线的交点 思考 5 和 3 7 交点都是一个 有何不同 解 1当直线斜率不存在时 直线表示为x 0 只有一个交点 2当直线斜率存在时 设直线为y kx 2 解 解方程组 消去y得 x2 x b 2 2 即2x2 2bx b2 2 0 方程 的判别式为 2b 2 4 2 b2 2 4 2 b 2 b 1 当 20 这时方程组有两个不实数解 直线与曲线C有两个不同的交点 2 当b 2或b 2时 0 这时方程组有两个相同的实数解 因此直线与曲线C有一个交点 3 当b 2或b 2时 0 这时方程组没有实数解 因此直线与曲线C没有交点 思考 这题除了用解方程组的方法外 还有其他方法解吗 解题后的思考 例1 例2在解法上的相同之处是什么 都是把直线方程与曲线方程联立成方程组 通过消元变成一元二次方程 再通过解方程或根的判别式来解决问题 这两题在结果上有什么相同与不同吗 相同之处 直线与抛物线 曲线C的交点 个数都是两个 一个 0个 不同之处 直线与抛物线交点为1个时 可能是切点 即两个重合为一个 也可能就只有一个 当直线与抛物线的对称轴平行或重合 作业P19 8 9 10 11 12 1曲线和方程 一般地 如果某曲线C上的点与一个二元方程f x y 0实数解建立如下的关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 曲线的方程 方程的曲线的定义 理解定义的两点注意 定义第一条表示曲线具有纯粹性 即曲线上所有的点的坐标都适合方程 毫无例外 定义第二条表示曲线具有完备性 阐明坐标适合方程的所有点都在曲线上 毫无遗漏 记忆 只有当曲线所表示的点集与二元方程所表示的点集完全相等时 曲线才能称为方程的曲线 方程才能称为曲线的方程 上述两点条件是缺一不可的 定义的两点引申 曲线是 形 方程是 数 两者建立了严格的对应关系后 表明同一运动规律在 数 和 形 上有着不同的反映 由曲线方程的定义可知 如果曲线C的方程是f x y 0 那么点P0 x0 y0 在曲线C上的充要条件是f x0 y0 0 画出两坐标轴所成的角在第1 3象限的平分线l 并写出其方程 直线l上的点与其方程的解是怎样联系起来的 例1 已知等腰三角形三个顶点的坐标是 0 3 B 2 0 C 2 0 中线 为原点 的方程是x 0吗 为什么 它所对应的方程是 X 0 0 y 3 例2 下列各题中图所示的曲线C的方程为所列方程 对吗 若不对 对其进行改造 使其符合 曲线的方程 与 方程的曲线 的定义 例3 证明圆心为坐标原点 半径等于5的圆的方程是x2 y2 25 并判断点 3 2 2 是否在这个圆上 证明 设M x0 y0 是圆上任意一点 因为点 到原点的距离等于 所以 也就是 即点M x0 y0 是方程x2 y2 25的解 即点M x0 y0 到原点的距离等于 点M x0 y0 是这个圆上的点 设点 x0 y0 是方程x2 y2 25的解 那么 两边开方取算术根 得 由 1 2 可知 x2 y2 25是圆心为坐标原点 半径等于5的圆的方程 把点M1 3 4 的坐标代入方程x2 y2 25 左右两边相等 3 4 是方程的解 所以点M1在这个圆上 例4 证明圆心为坐标原点 半径等于5的圆的方程是x2 y2 25 并判断点 3 2 2 是否在这个圆上 把点M2 2 的坐标代入方程X2 Y2 25 左右两边不等 2 不是方程的解 所以点M2不在这个圆上 思考 x2 y2 25 x 0 呢 例4 已知动点到点A 2 0 的距离是它到点B 8 0 距离的一半 求这个动点轨迹的方程 解 设M x y 是轨迹上任一点 解 如图建立平面直角坐标系所以B 3 0 C 3 0 求曲线方程的一般步骤 建立适当的坐标系 设曲线上任一点P的坐标 x y 3写出动点P所满足的条件的关系式 4用坐标来表示这个关系式 列出方程f x y 0并化简方程f x y 0 5 证明所得方程是曲线的方程 即证以方程的解为坐标的点都在曲线上 不作要求 注 若 5 中化简过程都是同解变形 则证明过程可省 例3已知一条直线l和它上方的一个点F 点F到l的距离是2 一条曲线也在l的上方 它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2 建立适当的坐标系 求这条曲线的方程 解 如图 取直线l为x轴 过点F且垂直于直线l的直线为y轴 建立坐标系xOy 设点M x y 是曲线上任意一点 作MB x轴 垂足为B 那么点M属于集合P M MF MB 2 由两点间的距离公式 点M适合的条件可表示为 移项后两边平方 得 方程 点M的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k的点的集合 P M MR MQ k 其中Q R分别是点M到x轴 y轴的垂线的垂足 因为点M到x轴 y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值 x y k 即x y k 例2 点M与互相垂直的直线的距离的积是常数k k 0 求点M的轨迹 解 取已知两条互相垂直的直线为坐标轴 建立直角坐标系 建立适当的坐标系 设点的坐标 设点M的坐标为 x y 化简整理 坐标代换 列出几何关系 例4 已知一条曲线在x轴的上方 它上面的每一点到点A 0 2 的距离减去它到x轴的距离的差都是2 求这条曲线的方程 解 设点M x y 是曲线上任意一点 MB x轴 垂足是B 图7 31 那么点M属于集合 由距离公式 点M适合的条件可表示为 将 式移项后再两边平方 得x2 y 2 2 y 2 2 化简得 因为曲线在x轴的上方 所以y 0 虽然原点O的坐标 0 0 是这个方程的解 但不属于已知曲线 所以曲线的方程是 x 0 它的图形是关于y轴对称的抛物线 但不包括抛物线的顶点 如图7 31中所示 条件甲 曲线C上的点的坐标都是方程f x y 0的解 条件乙 曲线C是方程f x y 0的曲线 则甲是乙的 A 充分非必要条件 B 必要条件 C 充要条件 D 非充分也非必要条件 B 若命题 曲线C上的点的坐标满足方程f x y 0 是正确的 则下列命题中正确的是 A 方程f x y 0