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文档简介

1 5 2解析函数的孤立奇点 1 孤立奇点的分类及性质 2 施瓦兹引理 3 皮卡定理 2 1孤立奇点 1 孤立奇点的定义 例如 孤立奇点 3 奇点未必是孤立的 若函数的奇点个数有限 则每一奇点都是孤立奇点 2 孤立奇点的分类 注 4 2 1可去奇点 展式中不含z z0负幂项 即 特点 可去 一词的解释 5 2 2极点 展式中仅含有有限多个z z0负幂项 即 特点 6 2 3本性奇点 展式中含有无穷多个z z0负幂项 特点 7 3 函数在孤立奇点的性质 若z0为f z 的孤立奇点 则下列条件等价 性质1 可去奇点的判定定理 证 只须证 显然 由极限定义即可 8 其中 由于 9 性质2 m级极点的特征 证 去心邻域 10 则 例如 为f z 的一个4级极点 为f z 的单极点 11 注意 在判断孤立奇点类型时 不要一看到函数的表面形式就急于作出结论 例如 利用洛朗展式容易知道 z 0分别是它们的单极点 可去奇点 2级极点 性质3若z0为f z 的孤立奇点 则 z0为f z 的极点的充要条件是 在判断函数的极点时 请比较性质2和性质3 性质5 分析 13 例如 1 5 性质6 极点的运算性质 14 性质7z0为f z 的本性奇点 注 在求复变函数的极限时 也有同实函数类似的罗必塔法则 由性质1和性质3 得 定理5 7若z a为f z 之一本性奇点 且在点a的充分小去心邻域内不为零 则z a亦必为 的本性奇点 证 反证法 若z a为 z 的可去奇点 解析点 都与假设 若z a为 z 的极点 a为f z 的可去奇点 a为f z 的可去奇点 a为f z 的极点 矛盾 16 答 17 性质8 Weierstrass 定理 例如 本性奇点 点 根据前面 1 段的结果 必定有一个趋向a的点列 zn 存在 使得 可能有这种情形发生 在点a的任意小的邻域内有这样一点z存在 使f z A 定理得证 否则 a必为f z 的可去奇点 这样 由定理5 7 函数 在K a 内解析 且以a为本性奇点 因a为f z 的本性奇 由此推出 因此 我们可以假定 在点a的充分小去心邻域K a 内f z A 证 1 在A 的情形 定理是正确的 因为函数f z 的模在a的任何去心邻域内都是无界的 2 现在设 定理5 9 毕卡 大 定理 如果a为f z 的本性奇点 则对于每一个A 除掉可能一个值A A0外 必有趋于a的无限点列 zn 使f zn A n 1 2 席瓦尔兹 Schwarz 引理如果函数f z 在单位圆 z 1内解析 并且满足条件f 0 0 f z 1 z 1 则在单位圆 z 1内恒有 f z z 且有 f 0 1 5 2 4Schwarz引理 如果上式等号成立 或在圆 z 1内一点z0 0处前一式等号成立 则 当且仅当
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