带电粒子在磁场中运动的极值问题

题型3带电粒子在磁场中运动的极值问题 例3 如图7所示 匀强磁场的磁感应强度为B 宽度为d 边界为CD和EF 一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入 入射方向与CD边界间夹角为 已知电子的质量为m 电荷量为e 为使电子能从磁场的另一侧EF射出 求电子的速率v0至少多大 图7 思维导图 解析当入射速率v0很小时 电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出 速率越大 轨道半径越大 当轨道的边界与EF相切时 电子恰好不能从EF射出 如图所示 电子恰好射出时 由几何知识可得 r rcos d 又r 由 得v0 故电子要射出磁场时速率至少应为答案 规律总结1 解决此类问题的关键是 找准临界点 2 找临界点的方法是 以题目中的 恰好 最大 最高 至少 等词语为突破口 借助半径R和速度v 或磁场B 之间的约束关系进行动态运动轨迹分析 确定轨迹圆和边界的关系 找出临界点 然后利用数学方法求解极值 常用结论如下 1 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 2 当速度v一定时 弧长 或弦长 越长 圆周角越大 则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 3 当速率v变化时 圆周角大的 运动时间越长 题型1带电粒子在有界磁场中的运动 例1 在以坐标原点O为圆心 半径为r的圆形区域内 存在磁感应强度大小为B 方向垂直于纸面向里的匀强磁场 如图4所示 一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿 x方向射入磁场 它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿 y方向飞出 题型探究 图4 1 请判断该粒子带何种电荷 并求出其比荷 2 若磁场的方向和所在空间范围不变 而磁感应强度的大小变为B 该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场 但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60 角 求磁感应强度B 多大 此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少 思路点拨如何确定带电粒子的圆心和运动轨迹 磁场圆的半径与轨迹圆的半径有怎样的定量关系 解析 1 由粒子的运行轨迹 利用左手定则可知 该粒子带负电荷 粒子由A点射入 由C点飞出 其速度方向改变了90 则粒子轨迹半径R r又qvB 则粒子的比荷 2 粒子从D点飞出磁场速度方向改变了60 角 故AD弧所对圆心角为60 如右图所示 粒子做圆周运动的半径 R rcot30 r又R 所以B B粒子在磁场中运行时间t 答案 1 负电荷 2 二 带电粒子在平行直线边界磁场中的运动 速度较小时 作半圆运动后从原边界飞出 速度增加为某临界值时 粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切 速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出 B P S Q P Q Q 速度较小时 作圆周运动通过射入点 速度增加为某临界值时 粒子作圆周运动其轨迹与另一边界相切 速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出 圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上 圆心在过入射点跟边界垂直的直线上 圆心在磁场原边界上 量变积累到一定程度发生质变 出现临界状态 P 速度较小时 作圆弧运动后从原边界飞出 速度增加为某临界值时 粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切 速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出 三 带电粒子在矩形边界磁场中的运动 o B 圆心在磁场原边界上 圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上 速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出 速度在某一范围内时从侧面边界飞出 速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出 速度较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出 速度在某一范围内从上侧面边界飞 速度较大时粒子做部分圆周运动从右侧面边界飞出 速度更大时粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出 量变积累到一定程度发生质变 出现临界状态 轨迹与边界相切 例4 如图所示 一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的 磁感应强度为B的匀强磁场 在ad边中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角 300 大小为v0的带电粒子 已知粒子质量为m 电量为q ab边足够长 ad边长为L 粒子的重力不计 求 粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围 如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制 求粒子在磁场中运动的最长时间 例2 如图 在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场 磁感应强度的大小为B 磁场方向垂直于纸面向里 许多质量为m 带电量为 q的粒子 以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向 由小孔O射入磁场区域 不计重力 不计粒子间的相互影响 下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域 其中R mv qB 哪个图是正确的 解 带电量为 q的粒子 以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向 由小孔O射入磁场区域 由R mv qB 各个粒子在磁场中运动的半径均相同 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心 以R mv qB为半径的1 2圆弧上 如图虚线示 各粒子的运动轨迹如图实线示 带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示 2R R 2R M N O 变式练习2电子质量为m 电荷量为e 从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限 射入时速度方向不同 速度大小均为v0 如图8所示 现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场 磁感应强度为B 若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上 荧光屏与y轴平行 求 1 荧光屏上光斑的长度 2 所加磁场范围的最小面积 图8 解析 1 如右图所示 求光斑的长度 关键是找到两个边界点沿弧OB运动到P 初速度方向沿y轴正方向的电子 初速度方向沿x轴正方向的电子 沿弧OC运动到Q 设粒子在磁场中运动的半径为R 由牛顿第二定律得 qv0B m 即R 从图中可以看出PQ R 2 沿任一方向射入第一象限的电子经磁场偏转后都能垂直打到荧光屏MN上 所加最小面积的磁场的边界是以O 为圆心 坐标为 0 R 半径为R的圆的一部分 如图中实线包围面积 所以磁场范围的最小面积S R2 R2 R2 1 2答案 1 2 1 2 5 如图14所示 边长为L的等边三角形ABC为两个有界匀强磁场的理想边界 三角形内的磁场方向垂直纸面向外 磁感应强度大小为B 三角形外的磁场 足够大 方向垂直纸面向里 磁感应强度大小也为B 把粒子源放在顶点A处 它将沿 A的角平分线发射质量为m 电荷量为q 初速度为v 的负电粒子 粒子重力不计 求 图14 1 从A射出的粒子第一次到达C点所用时间为多少 2 带电粒子在题设的两个有界磁场中运动的周期 解析 1 带电粒子垂直进入磁场 做匀速圆周运动qvB T 将已知条件代入有r L从A点到达C点的运动轨迹如图所示 可得 tAC TtAC 2 带电粒子在一个运动的周期运动轨迹如第 1 问图所示 粒子通过圆弧从C点运动至B点的时间为tCB 带电粒子运动的周期为TABC 3 tAC tCB 解得TABC 答案 1 2 6 如图15所示 在直角坐标系的第 象限和第 象限中的直角三角形区域内 分布着磁感应强度均为B 5 0 10 2T的匀强磁场 方向分别垂直纸面向外和向里 质量为m 6 64 10 27kg 电荷量为q 3 2 10 19C的粒子 不计粒子重力 由静止开始经加速电压为U 1205V的电场 图中未画出 加速后 从坐标点M 4 处平行于x轴向右运动 并先后通过匀强磁场区域 图15 1 请你求出粒子在磁场中的运动半径 2 请你在图中画出粒子从直线x 4到直线x 4之间的运动轨迹 并在图中标明轨迹与直线x 4交点的坐标 3 求出粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间 解答 1 粒子在电场中被加速 由动能定理得qU mv2粒子在磁场中偏转 由牛顿第二定律得qvB 联立解得r m 10 1m 2 如下图所示 3 带电粒子在磁场中的运动周期T 粒子在两个磁场中偏转的角度均为 在磁场中的运动总时间t 6 5 10 7s 反思总结 返回 小结 1 带电粒子进入有界磁场 运动轨迹为一段弧线 2 当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹 3 注意圆周运动中的有关对称规律 2 粒子进入单边磁场时 入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角 1 在圆形磁场区域内 沿径向射入的粒子 必沿径向射出 一朵梅花 五 带电粒子在磁场中运动轨迹赏析 一把球拍 a a O x y v v P 甲 乙 t B B0 B0 0 T 2T 一条波浪 a a O x P v a a O x P v o A B P Q 一颗明星 a a B 一幅窗帘 一匀强磁场 磁场方向垂直于xy平面 在xy平面上 磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内 一个质量为m 电荷量为q的带电粒子 由原点O开始运动 初速度为v 方向沿x正方向 后来 粒子经过y上的P点 此时速度方向与y轴的夹角为30 P到O的距离为L 如图所示 不计重力影响 求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R 由几何关系知r L 3解得 x y O P v 又由几何关系知磁场区域的半径为 12月23日作业1 如图14所示 边长为L的等边三角形ABC为两个有界匀强磁场的理想边界 三角形内的磁场方向垂直纸面向外 磁感应强度大小为B 三角形外的磁场 足够大 方向垂直纸面向里 磁感应强度大小也为B 把粒子源放在顶点A处 它将沿 A的角平分线发射质量为m 电荷量为q 初速度为v 的负电粒子 粒子重力不计 求 图14 1 从A射出的粒子第一次到达C点所用时间为多少 2 带电粒子在题设的两个有界磁场中运动的周期 2 如图15所示 在直角坐标系的第 象限和第 象限中的直角三角形区域内 分布着磁感应强度均为B 5 0 10 2T的匀强磁场 方向分别垂直纸面向