教师版-天赋中学2010高数学专题---解析几何综合题解题思路分析.doc

2008年高考数学解析几何综合解2010年高考数学解析几何综合题命题趋势及解题思路分析解析几何的基本思想是借助坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数的方法研究几何问题。一般情况下，解析几何在高考中以三小一大的形式出现；小题常考直线和圆，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等；大题考查直线与圆锥曲线的位置关系，用设而不求的思想，借助韦达定理、弦长公式，采用方程的手段、以平面向量、不等式特别是均值不等式为工具来解决问题，计算量大、综合性强，需较强的代数式化简能力。解析几何的学科特征是“算”，特别重视算理和算法，解题时首先将几何条件转化为代数语言，从而把问题转化为方程或函数问题。解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.一、贵州命题四年解几综合题再现及分析年份题号内容09（21）椭圆方程、直线与椭圆、平面向量、存在性08（21）直线与椭圆、平面向量、斜率、面积和不等式07（20）圆方程、数列、平面向量和不等式06（21）抛物线、平面向量、切线、导数、定值、最值和不等式二次考椭圆，一次考抛物线，一次考圆，没有考到双曲线.直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的几何性质是考察的重点。四年的问题均是有平面向量、几何背景的圆锥曲线问题。09年运算量较大.09全国卷理（21）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求，的值；（2）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。解:(1）设，直线，由坐标原点到的距离为 则，解得 .又.（2）由(I）知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得，显然。由韦达定理有：.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点，点P在椭圆上，即。整理得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又在椭圆上，即.故将及代入解得,=,即.当;当.评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。 08全国卷理（21）（本小题满分12分）DFByxAOE设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值分析：（）由已知得椭圆方程为，直线AB为 x+2y-2=0；，F）由得。（）；设A、B到直线EF：y=kx的距离分别为，则有=S当且仅当，即时，四边形AEBF的面积S有最大值。07全国卷理（20）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：相切（1）求圆O的方程（2）圆O与轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即得圆的方程为（2）不妨设设，由成等比数列，得，即 由于点在圆内，故由此得所以的取值范围为06全国卷理（21）（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M （1）证明为定值；（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值 分析：（1）设，有因为，由得由过A点的切线方程为：；过B点的切线方程为：；所以；即为定值（2）当且仅当时，S有最小值4。本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点涉及均值不等式,计算较复杂 难度很大二、解几综合题常见类型及解题思路求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题.重点题型要熟练掌握，如：（1）求曲线的方程问题 曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决；曲线的形状未知-求轨迹方程（2）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数. （3）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥. （4）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（5）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决; 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值四、2009年高考数学解析几何综合题命题趋势及解题思路分析直线和圆锥曲线位置关系问题是解析几何问题大题的难点问题，通常学生在解决直线和圆锥曲线问题上，往往要做三步，一就是联立方程组，二就是求判别式，并且判别符号，第三，运用韦达定理.如果这三步做完了，就是解不等式，平面向量，或者求函数的值域或定义域的问题了。. 具体请看：(1) 双曲线、抛物线与椭圆之间关系的研究与讨论也将有所体现.（2009北京理）（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，设A、B两点的坐标分别为，则，且，. 的大小为.(2)有几何背景的圆锥曲线问题一直是命题的热点.（2009江西卷理）（本小题满分12分）已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于. (1) 求线段的中点的轨迹的方程;(2) 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点. (1) 解 由已知得,则直线的方程为:, 令得,即,设,则,即代入得:,即的轨迹的方程为. (2) 证明 在中令得,则不妨设,于是直线的方程为:, 直线的方程为:,则,则以为直径的圆的方程为: ,令得:,而在上,则,于是,即以为直径的圆过两定点.(3)与平面向量的关系将进一步密切，许多问题会“披着”向量的“外衣”.（2009重庆卷理）（本小题满分12分）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点（）若的坐标分别是，求的最大值；（）如题图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，求线段的中点的轨迹方程； 解 （）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a b 0 ）. 设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 . 又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以, 从而，当且仅当，即点M的坐标为时上式取等号，的最大值为4. （II）如图（20）图，设.因为，故 因为 所以 记P点的坐标为，因为P是BQ的中点所以 由因为 ，结合，得故动点P的方程为(4)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、切线)的研究与讨论仍然是重中之重. 探究是否存在的问题, 能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.(2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N (,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N (,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆因为,所以, 时因为所以, 所以,所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题.(5)函数、方程与不等式与解析几何问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线的距离的3倍之和记为，当P点运动时，恒等于点P的横坐标与18之和.（）求点P的轨迹C；（）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 解（）设点P的坐标为（x，y），则由题设 当x2时，由得 化简得 当时 由得化简得 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由知. 当点P在上时，由知 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为（1）当k，或k，即k-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由知MF= 6 - NF= 6 - 从而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因为当 当且仅当时，等号成立。（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则知， 设直线AF与椭圆的另一交点为E 所以。而点A，E都在上，且 有（1）知 若直线的斜率不存在，则=3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为.09年解几综合题得分不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（从全国各地的考卷看） （1）解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一.（2）解析几何的计算量相对偏大.四、对2010年高考解析几何题型的预测1、平面向量为语言。2、均值不等式为主要工具。当时：，。3、函数、的性质为辅助工具。4、圆锥曲线为背景，求四边形、三角形面积的最值为对象。5、考查设而不求的思想、韦达定理、弦长公式。6、综合性强，运算量大，能力要求较高，对中学数学的四种主要思想：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想都有考查。通过对以上几例的学习、研究，可探究高考解析几何命题的一些规律和处理解析几何问题的方法、思路。展望：2010年全国卷圆锥曲线你认为会考什么呢（以什么曲线为载体）？五、后段复习建议，最后关注三点：1.由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究。2. 在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。特别是运算能力的提高只有在运算中才能有效实现，所以要学生自己多操作。当然在解题中要关注细节，规范书写，注意研究图形中的几何性质，使解题方法优化，以提高运算的准确率。3. 在注重提高计算能力的同时，要加强心理辅导，帮助学生克服惧怕计算的心态。 二轮复习要确立以解题教学为中心的课堂教学模式，教学中讲风不能太盛，包办不能过多，要让学生自己扎扎实实的练习，在平时的训练中要有意识的培养自己分析问题、解决问题的能力；要给学生提供“读题、审题、思考提取信息分析处理信息确定解题