2.3.2《抛物线的简单几何性质》ppt课件

2 3 2 抛物线的简单几何性质 教学目标 知识与技能目标使学生理解并掌握抛物线的几何性质 并能从抛物线的标准方程出发 推导这些性质 从抛物线的标准方程出发 推导抛物线的性质 从而培养学生分析 归纳 推理等能力过程与方法目标复习与引入过程1 抛物线的定义是什么 请一同学回答 应为 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 2 抛物线的标准方程是什么 再请一同学回答 应为 抛物线的标准方程是y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 和x2 2py p 0 下面我们类比椭圆 双曲线的几何性质 从抛物线的标准方程y2 2px p 0 出发来研究它的几何性质 板书 抛物线的几何性质 一 复习回顾 抛物线标准方程 1 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 2 抛物线的标准方程 例 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 6x 2 3 2x2 5y 0 则焦点坐标是F 0 准线方程是y 2 焦点坐标是准线方程是 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 x2 y 3 2y2 5x 0 4 x2 8y 0 5 0 x 5 0 2 y 2 练习 抛物线的方程为x ay2 a 0 求它的焦点坐标和准线方程 思考 y 复习 结合抛物线y2 2px p 0 的标准方程和图形 探索其的几何性质 1 范围 2 对称性 3 顶点 类比探索 x 0 y R 关于x轴对称 对称轴又叫抛物线的轴 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 二 讲授新课 4 离心率 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比 叫做抛物线的离心率 用e表示 由抛物线的定义可知 e 1 只有一个顶点 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 e 1 补充 1 通径 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 PF x0 p 2 F P 通径的长度 2P P越大 开口越开阔 2 焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 标准方程中2p的几何意义 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 基本点 顶点 焦点 基本线 准线 对称轴 基本量 P 决定抛物线开口大小 抛物线的基本元素y2 2px 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 P越大 开口越开阔 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y R x 0y R y 0 x R y 0 x R 0 0 x轴 y轴 1 变式 顶点在坐标原点 对称轴是坐标轴 并且过点M 2 的抛物线有几条 求它的标准方程 典型例题 例1 已知抛物线关于x轴对称 顶点在坐标原点 并且过点M 2 求它的标准方程 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 2mx m 0 x2 2my m 0 可避免讨论 解法一 由已知得抛物线的焦点为F 1 0 所以直线AB的方程为y x 1 解法二 由题意可知 分析 运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷 变式 过抛物线y2 2px的焦点F任作一条直线m 交这抛物线于A B两点 求证 以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切 证明 如图 所以EH是以AB为直径的圆E的半径 且EH l 因而圆E和准线l相切 设AB的中点为E 过A E B分别向准线l引垂线AD EH BC 垂足为D H C 则 AF AD BF BC AB AF BF AD BC 2 EH 练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 2 过抛物线的焦点 作倾斜角为的直线 则被抛物线截得的弦长为 3 垂直于x轴的直线交抛物线y2 4x于A B 且 AB 4 求直线AB的方程 y2 8x X 3 例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A B两点 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D 求证 直线DB平行于抛物线的对称轴 x O y F A B D 例3过抛物线焦点F的直线交抛物线于A B两点 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D 求证 直线DB平行于抛物线的对称轴 x y O F A B D 小结 1 掌握抛物线的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 通径 2 会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程 焦点坐标及解决其它问题 关于x轴对称 无对称中心 关于x轴对称 无对称中心 关于y轴对称 无对称中心 关于y轴对称 无对称中心 e 1 e 1 e 1 e 1 分析 直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形 一种是直线平行于抛物线的对称轴 另一种是直线与抛物线相切 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的对称轴平行 相交 一个交点 计算判别式 分析 直线与抛物线有两个公共点时 0 分析 直线与抛物线没有公共点时 0 注 在方程中 二次项系数含有k 所以要对k进行讨论作图要点 画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形 观察直线绕点P转动的情形 变式一 已知抛物线方程y2 4x 当b为何值时 直线l y x b与抛物线 1 只有一个公共点 2 两个公共点 3 没有公共点 当直线与抛物线有公共点时 b的最大值是多少 分析 本题与例1类型相似 方法一样 通过联立方程组求得 1 b 1 2 b1 当直线与抛物线有公共点时 b的最大值当直线与抛物线相切时取得 其值为1 变式二 已知实数x y满足方程y2 4x 求函数的最值 变式三 点 x y 在抛物