大学数学专业学年论文浅析中学数学中的分类讨论思想方法完整稿.doc

成绩： 学 年 论 文题 目：浅析中学数学中的分类讨论思想方法学 院：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学班 级：06数学（1）班学 号：20061365姓 名：万志珍指导教师：余志成2010年6月7日学年论文任务书学生姓名万志珍专业数学与应用数学班级06数（1）班题目浅析中学数学中的分类讨论思想方法一、学年论文的内容和要求内容：数学方法是指人们在数学活动中为达到预期目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。初中数学中蕴涵了丰富的数学思想、方法的内容。如字母表示数的思想，数形结合的思想、函数思想、统计思想、分类思想（包括等价转化思想与化归思想）、等量思想、不等量思想等大量数学思想。换元法，是在解题过程中，根据已知条件，引入一个或几个新变量来代替原来的某些量，对新变量求出结果后，返回去再求原变量的结果的一种解题方法。要求：学年论文要独立完成和符合教学大纲和指导书。二、参考文献1叶立军. 初等数学研究M.华东师范大学出版社，2008.2（P22-26）2王亚辉.数学方法论-问题解决的理论M.北京大学出版社，2007.12（P22-26）3薛金星.高中数学解题方法与技巧（第三版）M.北京教育出版社，2003.8.（P82-85）4郭可银.谈分类讨论思想方法在解题中的应用（高中版）M.高等教育出版社，2005.4（P128-130）三、时间安排2009-2010学年第二学期第12教学周-2009-2010学年第二学期第16教学周(2010年5月10日-2010年6月10日)浅析中学数学中的分类讨论思想方法摘 要 依据数学研究对象属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想与归类整理的方法。常常起到一种简化问题，解决问题的作用。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性，综合性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高中占有重要的位置。关键词 分类思想；研究对象；高中数学；应用；避免1.引言 数学学习离不开思维，数学探究需要通过思维来实现，在数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。数学教学不仅要：“教知识”，而且要“教思考”、“教方法”这几个方面是相互联系的，相互促进。只有把“教思考”、“教方法”贯穿于“教知识”的过程中，才能逐步形成运用数学知识分析和解决实际问题的能力。而这样的理解下培养学生发现问题和提出问题的能力就成了合乎情理的不可分割的。要提出问题就需要发现矛盾或差异从中找到问题所在，从而发现一些新的联系和规律。那么怎样的问题才能更有利于培植学生的创造性思维？本文我介绍一种有利于发展教学思维、培养学生能力的典型形式-分类思想。所谓分类思想方法就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。在初中数学教学中逐步渗透分类思想方法，可启发学生积极思维，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯。分类以比较为基础，按照事物间性质的异同，将同性质的对象归为一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。目的在于使知识条理化，并进而系统化，促进认识结构的发展，分类方法虽侧重于理性思维，但是条理化、系统化的信息便于检索和储存，对知识的巩固、理解的深化、后续学习的进行和问题的解决都起着重要作用。下面就几个方面浅谈一下分类思想以及在高中数学中的应用。2.在什么情况下要进行分类讨论以及分类讨论的步骤、原则和方法。2.1 为何不得不用分类讨论的方法许多数学问题由于受到某些因素的限制，例如概念的不同，性质的不同等等，不能按照统一的方法、标准、公式来进行处理，这就平地需要我们对研究对象进行分类，然后进行讨论。分类讨论思想是研究和解决数学问题的重要思想方法之一，也是科学研究中最常用最基本的方法之一。我们常以“物以类聚”来认识自然界中成千上万的事物，又以“分门别类”来研究纷繁复杂的事物对像，这其实就是分类讨论思想方法在认识事物时的具体作用。那么，在解决问题时不得不用分类讨论的方法，究其原因，可归结为：（1）数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义或分类给出的，在运用它们时要进行分类讲座。（2）研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的“量变”而导致结果发生“质变”，因而也要进行分类讨论。（3）在研究几何问题时，由于图形的变化，引起问题结果有多种可能，就需要对各种情况分别进行讨论。（4）含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合加法原理或乘法原理完成解答。（5）树立划分意识，训练思维的严谨性，保证解题的正确与完整。2.2 分类讨论的步骤、原则和方法（1）分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象，确定对象的全体确定分类标准，正确进行分类逐步进行讨论，获取阶段性结果归纳小结，综合得出结论（2）逻辑划分应遵行的原则：分类的对象是确定的、标准是统一的、不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论。（3）分类讨论后如何归纳结论：统一式：针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳结论时应采用分列式。分列式：针对参数分类讨论的，且每一类讨论结果均是总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。2.3 灵活运用逻辑划分的思想方法 （1）通过“补集”间接求解。 （2）有条件时，尽量减少分类层次，寻求整体解决方法。3.分类讨论思想在高中数学中的应用 在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探究性，能训练人的思维条理和概括性，所以在高中数学思想中占有重要的位置。 分类讨论其要点有二：分类与讨论。在运用“分类讨论”这一数学思想解决问题时，要把握好以下两条：第一，要有分类讨论的意识；第二，要科学地、合理地分类讨论。运用这种思想 解题，可将对问题的宏观研究变为对问题的局部分析，特别是在求解头绪繁多、易重易漏问题时，有独特功效。下面重点介绍几类高中数学中常见的分类思想应用。3.1 由绝对值引起的分类讨论 在涉及绝对值问题时，需要分类讨论，常运用零点讨论分类，以去绝对值符合求解。例2.1.1：设全集U=R（1）解关于x的不等式x-1+-10（R）（2）记A为（1）中不等式的解集，集合B=xsin(x-)+cos(x-)=0若（CA）B恰有3 个元素，求的取值范围。解：（1）由x-1+-10得x-11-当时，解集是R：当1时，解集是B=xx2-（2）当1（CA）=当1时，（CA）=xx2-因sin(x-)+cos(x-)=2sin(x-)cos+ cos(x-) sin=2 sinx1由sinx=0，得x=k（kZ）所以B=Z22-3当（CA）B恰有3个元素时， 就满足-10解得：-103.2.由不等式引起的分类讨论例1：解不等式 xx0 分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号的方向，因而此应根据运算求分类讨论，对x分类。05-4x- x0解：原不等式等价于 或5-4x- x05-4x- xx00x11-0解：当1，1-1-） x0 当0 1时1- 例3：解有关x的不等式：x-（+1）x+10分析：这是一个含参数的不等式，一定是二玩一次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数分类：（1）=0（2）当0，对于（2），不等式易解：对于（2），又需再次分类：0，因为这两种情形解集形式是不同的：不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要有三级分类。 解：（1）当=0，- x+11（2）当0，（x -1）（x -）0 0,01或x0，（x -1）（x -）1，1， x1 （）若=1，=1，x（c）若01，1 x综上:原不等式的解集为： 1或x0时，解集为x1 x时， 解集为x x0, nST=，求lim T分析：对于等比数列的前n项和Sn的 求计算，需根据q是否为1分为两种情形：34由排列组合等问题引起的分类讨论例1：某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外3人车、钳工都会，现需选出6人完成一件，需要车工、钳工各3人，问有多少种选派方案？分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚其余的7人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从大局出7人中选，还是从6人、5人或4人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含有2名全能工人；（4）选出的6人中含有31名全能工人；解：CC+ CCC+ C C C + C C C+ C CC+ C CP + C+ C+ C CC+ C C=309例2：所有三位数中有且仅有两个数字相同的共有多少个？ 解：可分为如下10类： 有两个0的：100，200，300900，共有 C= 9个有两个1的：3C-1= C+ C+ C= 26个 有两个9的：同上“有两个1“情况一样共有 26个综上：9+269=243个n例3：在1到100的自然数集合中任取51个数，其中必有两个数，它们中一个是另一个的倍数。 解：构造抽屉，设P为1到100之间的奇数，按P2 (n=0,1)的形式，则可以将1到100的所有自然数分成50类： A1=1，12，12，1212 ，12 A2=3，32，32，3232 A3=5，52，52，12 ，A25=49，492，A26=51，A27=53 A50=99例4：有标有0、1、2、3、4、5、6、7、8的卡片9张，从中选3张，用其数字组成无重复数字的三位数。如果卡片6也可以当9用，试问：这样组成的三位数有多少个？ 解：由卡片6的特殊性，按6进行分类，分为三类： （1）不含6，这样的三位数由0、1、2、3、4、5、7、8、中选三个数字组成，共有 个。（2）含6不含零，这样的三位数由1、2、3、4、5、6、7、8中选三个数字组成，但由于6必须取，因而，共有 个。 （3）含6又含零，这样的三位数有 个。 综合（1）、（2）、（3）可知，这样的三位数总共有 个。3.5由大小关系引起的分类讨论大小关系在数学中最常见，而有些数学概念、公式、法则、性质等都以大关系为基础，从而引起分类讨论。这类问题常涉及参变数，因而要引起我们的注意。例1：已知集合A=x10+3x-x0，B=xm+1x2m-1,求当实数m为何值时，AB=解：A=xx-3x-100=x-2 x 5当2m-1 m+1，即m2，B=xm+1x2m-1 （）当m+15，即m4时，AB= （）当2m-1 -2或m-，此时B=AB=综上有m4时，AB= 3.6.圆锥曲线的统一定义引起的讨论例1：讨论方程（k+k-2）x+ky=9的曲线形式？ 解：先求（k+k-2）=0，k=0的根为-2，0，1 可分类如下： （1）当k0, k0.曲线为椭圆，焦点在x轴上，k+k-2 k （2）当k=-2时，y=, 曲线为两条直线（3）当-2k0时，k+k-20. 曲线为双曲线（4）当k=0时，不存在图形（5）当0k1时时，k+k-20.曲线为双曲线，焦点在y轴上，（6）当k=1时，y=3， 曲线为平行于x轴的直线。（7）当k1时，k+k-20, k0.曲线为椭圆;当1k0焦点在x轴上，4结论：运用分类法解决数学问题的关键，就在于分类对象或范围要选得准，并找到适当的分类标准。为此就必须运用辩证的逻辑思维，具体事物具体分析，在表面上极为相似的事物之间看出它们本质上的差异点，在表面上差异极大的事物之间看出它们本质上的相同点，发现事物的本质特征。这样才能揭示数学对象之间的内在联系，暴露所涉及范围的制约关系。在归纳总结中一般要注意以下几个方面：（ 1 ）分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。（ 2 ）利用分类思想方法解决问题时要注意选择合适的分类标准，明确分类层次。（ 3 ）利用分类思想方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。（ 4 ）分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。（ 5 ）在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性、缜密性。 但数学题目是非常灵活的，在做数学题是最重要的是学会做题的方法，很多数学题有很多种方法，比如数形结合的思想方法、化归的思想方法、归纳的思想方法、符号化的思想方法、统计的思想方法等等，有时候分类方法也不见得是最好的办法，有些题目可能通过分类反而使问题更加复杂化。所以就需要我们对这些方法都去掌握而且会用，最重要的是懂得活学巧用，具体问题具体分析，讲求一题多解，多种方法综合使用。而不是只会一种办法，只有将这些方法都会做了以后，在做数学题时才会反射性的知道用哪种方法，这样做起来才会不吃力，游刃有余，这样学数学也就不会那么难。参考文献：1叶立军. 初等数学研究M.华东师范大学出版社，2008.2（P22-26）2王亚辉.数学方法论-问题解决的理论M.北京大学出版社，2007.12（P22-26）3薛金星.高中数学解题方法与技巧（第三版）M.北京教育出版社，2003.8.（P82-85）4郭可银.谈分类讨论思想方法在解题中的应用（高中版）M.高等教育出版社，2005.4（P128-130）The classification of secondary schools to discuss ways of thinking in mathematicsAbstract Based on the nature of the mathematical study of the same attributes and differences in points, mathematical object will be divided into different types of mathematical thinking of the idea of classification is called To classfy things,and then on each of the categories were divided into research and methods for solving called classification debate.classification is a logical method of discussion,which important mathematical ideas,bue also an important problem-solving strategies,which reflects the dismembered zero for the whole plot of the ideas and methods of finishing classified.Often play a simplification of issue,the role of problem