概率论与数理统计笔记3.doc

第三章、多维rv及其分布第一节 多维rv及分布函数一、多维rv定义：设是样本空间上的随机变量，则向量X=（）称为n维rv注：1.二维rv（X，Y） 2. 二维rv（X，Y）的几何意义，平面内随机点的坐标二、联合分布函数 定义：设（X，Y）为二维rv，则二元实值函数，,称为（X，Y）的联合分布函数 注：1.定义式子 2. 的几何定义，图形中平面点集G的面积 3. 的性质 性质1.分别关于的单调递增的 性质2. ， 性质3. =1 =0 =0 =0= 三、边缘分布函数 定义：假设二维rv（X，Y）的联合分布函数为，则r，v，X当Y的概率分布函数分别称为（X，Y）关于X及Y的边缘分布函数 则= 同理可得= 四、独立性 P（AB）=P(A)P（B） P（A|B）= P(A)= *= * 定理：=* 相互独立第二节 二维离散型r.v.一、 概念定义：若存在可列集B,使P(X,Y)=1，则称（X,Y）为二维离散型r.v注：1.（X,Y）为离散型X,Y一定为离散型 2.二维离散型r.v取值的点的特征二、联合分布列定义：设（X,Y）为二维离散型r.v，取值为（），i，j=1、2，则=()，i，j=1,2称为二维r.v（X,Y）的联合分布列注：1.非负性 ，i，j=1,2归一性 2.联合分布列3.求联合分布列的步骤Step1.确定所有可能的点Step2.计算两个点所对应事件的概率例：将手感完全相同的三个小球，放入编号为1，2，3的三个盒子中，X表示1号盒子中球的个数，Y表示2号盒子中球的个数，求（Z,Y）的联合分布列解：=P（X=i,Y=j）=P(Z=i) P(Y=j) i,j=0、1、2、3 i+j3而ZB(3，)，所以P(Z=i)= 在Z=i的条件下，YB(3i，)，所以P=(Y=j=所以 i,j=0,1,2,3 i+j34.F(x,y)=P(Xx，Yy)= 三、边缘分布列定义：设二维r.v(Z,Y)的联合分布列为i、j=1,2，则r.v Z和Y的概率分布列分别称为（Z,Y）关于Z及Y的边缘分布列 记作： i=1,2同理：例：设-1 0 1010 0 0-1 0 10.50.5且PXY=0=1，求（X,Y）的联合分布列分析 P(XY0)=0=P(Z=-1，Y=1)+P(Z=1，Y=1) 因为P(X=-1，Y=-1) 0 P(X=1,Y=1) 0所以P(Z=-1，Y=1)=0 P(X=1，Y=1)=0四、独立性定义：设（Z,Y）的分布律满足P(Z=)=P()P()即 i，j=1、2，则称r.vZ与Y相互独立例：设 若X和Y相互独立，求a.b.c解:由归一性得 a+b+c+=1 即a+b+c= (1)由Z与Y相互独立P(Z=，Y=)=P(Z=)P(Y=)即a=（a+）（a+c）（2）同理P()=P()P() 即b=(+b)( +b+) （3）五、条件分布列定义：设（X，Y）的联合分布列为=，X的边缘分布列为，则称（0）为在X=的条件下，Y的分布列。定义：设为X=的条件下Y的条件分布列，则称为X=的条件下，Y的条件分布函数，且例：设 X Y-10100.200.3100.50求X= -1的条件下Y的条件分布。解： Y0110X= -1的条件下，Y的分布列为 当y0时，=0 当0y1时，= 当y1时，例：设某汽车站上客的人数X服从参数为的泊松分布（），每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且每位乘客在中途是否下车是独立的，Y表示中途下车的人数。求：（1）Y的分布 （2）（X，Y）的联合分布解：在X=k的条件下，YB（ k , p ） 即 所求的 即YP（2） 第三节 二维连续型一、 联合密度定义：若存在一非负可积函数f(x,y)，使得对一切,有，则称（x,y）为二维连续型r、v，f(x,y)称为（x,y）的联合密度函数。注：1、非负性归一性2、若G可度量面积，则，若G不可度量面积，则3、F(x,y)分别对x,y连续4、在f(x,y)的连续点处有二、边缘密度定义：设二维r、v(x,y)的联合密度为f(x,y),则r、v、x或r、v、y的概率密度函数或，称为（x,y）关于x（或y）的边缘密度函数。分析：由同理：。例：设,求：（1）、常数c （2）、px+y0时，所以例2：，求解: 当故当所以三、条件密度定义：设对0，有0，若极限存在，则称该极限为Y=y的条件下，r.v.X的条件分布函数，记作分析：=若f(x,y)及为连续函数，则=定义：设（X,Y）的联合密度为f(x,y)，r.v.Y的边缘密度为0,在f(x,y)及的连续点处有，称为Y=y的条件下r.v.X的条件密度四、独立性定理：设f(x,y),及处处连续，则X与Y独立的充要条件是f(x,y)= 或= =五、常用的分布1、二维均匀分布2、二维正太分布第四节 多维r.v.函数的分布结论：随机变量Z=g(X,Y)一、离散型设（X,Y）的联合分布列为 i,j=1,2,z=g(x,y)是二元实值函数，则r.v.函数Z=g(X,Y)是一维离散型r.v.若Z所有可能取值为 k=1,2,，则Z的分布列为 k=1,2,例：设r.v.X，Y，且X与Y相互独立，求X+Y的分布解：不妨设Z=X+Y，则 k=0,1,2,=P() （泊松分布的可加性）例：（二项分布的可加性）设r，v，X，Y，且X与Y相互独立，证明Z=X+Y 证明： = = = 下面证明 设盒子中有个红球，个白球，从中任取个球，则共有种取法 另一种计数方法：若个球中没有红球： 若个球中有1红球： 若个球中有2红球：.若个球中有红球： 则从个球中任取个球，共有种取法 = Z=X+Y二连续型 假设二维连续性rv（X，Y）的联合密度函数为，且是二元连续实值函数，则rv函数是一维连续性rv 考虑的分布函数 不妨设 则 所以 又由得到Z的密度函数1.和的分布例设二维连续性rv（X，Y）的联合密度函数为，求的分布 解： = 不妨设 = = = 即= 或若x与y独立，则的密度函数为或例，设x与y都服从0,1上的均匀分布，且x与y独立，求的分布解: = 当时当时 2、商的分布例：设二维r.v(Z,Y)的联合密度为f（x,y）,求Z=X+Y的分布解：令x=uy记 则 所以 即思考：若二维r.v(Z,Y)的联合密度为f(x,y),求（1）Z=X-Y的概率密度（2）Z=的概率密度例：在0,1内任取两点，求这两点距离的分布解：设任取两点为X,Y 则X,Y,且X,Y独立 记Z= 由1. 当z0时，=02. 当z1，=13. 时 4. 当， 例：设X1 2P0.3 0.7 yf(y) 求Z=X+Y的密度解：三、顺序统计量的分布（一）顺序统计量的定义定义：设是概率空间上的n个r.v，对任意的，将按从小到大的顺序排列成，则称为顺序位计量，即（二）及的分布不妨设相互独立，且的分布函数记为（的密度函数记为）1、的分布由分布函数法，有2. 的分布 由 【注】：1.当独立同分布，且分布函数为（密度函数为） 则 2. 例：设r.v. 相互独立，且，求解： 例：在区间【0,1】内任取n个点，求这n个点的最大值的分布。解：设n个点为则且相互独立。 则的分布函数： 当x0时，=0 当0x1时，=x 当x1时，=1且的密度函数：=1， 0x1=0, else则的分布函数：=0， x0=, 0x1=1, x1密度函数：， 0x1, else3. 的分布，1kn,不妨设独立分布，的分布函数为（密度函数为）分布函数法：由 微元密度法由= =令0得