第二章 计算机中数据信息 的表示及运算

计算机中数据信息的表示及运算 第二章 本章基本要求 1 掌握计算机中各常用计数制间的转换方法 2 掌握计算机机内信息的主要编码形式 带符号数的编码 原码 反码 补码 移码 无符号数的编码 其它编码 BCD码 ASCII码 汉字编码 3 掌握定点数及浮点数的表示及定点数的加 减运算 2 1数制 2 1 1进位计数制的几个基本概念进位计数制 用少量的数字符号 也称数码 按先后次序把它们排成数位 由低到高进行计数 计满进位 这样的方法称为进位计数制基数 进位制的基本特征数 即所用到的数字符号个数 例如十进制 用0 9十个数码表示 基数为10权 进位制中各位 1 所表示的值为该位的权常用的进位制 2 8 10 16进制 1 十进制计数制 Decimal 基数 10 符号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 计算规律 逢十进一 或 借一当十 并列表示 N10 dn 1dn 2 d1d0d 1d 2 d m多项式展开 N10 dn 1 10n 1 d1 101 d0 100 d 1 10 1 d m 10 mm n为正整数 其中n为整数位数 m为小数位数 Di表示第i位的系数 10i称为该位的权 2 二进制 Binary 基数 2符号 0 1计算规律 逢二进一或借一当二二进制的多项式表示 N2 dn 1 2n 1 dn 2 2n 2 d1 21 d0 20 d 1 2 1 d 2 2 2 d m 2 m其中n为整数位数 m为小数位数 Di表示第i位的系数 2i称为该位的权 例如 一个二进制数 1101 01 2的多项式表示 1101 01 2 1 23 1 22 0 21 1 20 0 2 1 1 2 2 13 25 10 二进制数的性质 移位性质 小数点左移一位 数值减小一半小数点右移一位 数值扩大一倍奇偶性质 最低位为0 偶数最低位为1 奇数 二进制数的特点 优点 只有0 1两个数码 易于用物理器件表示 运算规则简单 0 1与逻辑命题中的真假相对应 为计算机中实现逻辑运算和逻辑判断提供有利条件 缺点 书写冗长 不易识别 不易发现错误 3 十六进制 Hexadecimal 基数 16符号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F计算规律 逢十六进一或借一当十六十六进制的多项式表示 N16 dn 1 16n 1 dn 2 16n 2 d1 161 d0 160 d 1 16 1 d 2 16 2 d m 16 m其中n为整数位数 m为小数位数 Di表示第i位的系数 16i称为该位的权 例如 十六进制数 2C7 1F 16的表示 2C7 1F 16 2 162 12 161 7 160 1 16 1 15 16 24 八进制 Octal 其定义与十六进制相似 请自习掌握 2 1 2进位计数制之间的转换 1 R进制转换成十进制的方法按权展开法 先写成多项式 然后计算十进制结果 N dn 1dn 2 d1d0d 1d 2 d m dn 1 Rn 1 d1 R1 d0 R0 d 1 R 1 d m R m例如 写出 1101 01 2 237 8 10D 16的十进制数 1101 01 2 1 23 1 22 0 21 1 20 0 2 1 1 2 2 8 4 1 0 25 13 25 237 8 2 82 3 81 7 80 128 24 7 159 10D 16 1 162 13 160 256 13 269 2 十进制转换成二进制方法 一般分为两个步骤 整数部分的转换除2取余法 基数除法 减权定位法 小数部分的转换乘2取整法 基数乘法 除基取余法 把给定的除以基数 取余数作为最低位的系数 然后继续将商部分除以基数 余数作为次低位系数 重复操作直至商为0例如 用基数除法将 327 10转换成二进制数 2327余数 21631 2811 2401 2200 2100 250 221 210 201 327 10 101000111 2 减权定位法 将十进制数依次从二进制的最高位权值进行比较 若够减则对应位置1 减去该权值后再往下比较 若不够减则对应位为0 重复操作直至差数为0 例如 将 327 10转换成二进制数327 256 71171 128071 64 717 3207 1607 807 4 313 2 111 1 01 327 10 101000111 2 乘基取整法 小数部分的转换 把给定的十进制小数乘以2 取其整数作为二进制小数的第一位 然后取小数部分继续乘以2 将所的整数部分作为第二位小数 重复操作直至得到所需要的二进制小数 例如 将 0 8125 10转换成二进制小数 整数部分2 0 8125 1 62512 0 625 1 2512 0 25 0 502 0 5 1 01 0 8125 10 0 1101 2 例如 将 0 2 10转换成二进制小数 0 2 2 0 4整数部分00 4 2 0 800 8 2 1 610 6 2 1 210 2 2 0 400 4 2 0 800 8 2 1 610 6 2 1 21 至满足需要精度为止 0 2 10 0 001100110011 2 3 其它进制之间的直接转换法 二八二十六00000000010008001100011100190102001021010A0113001131011B1004010041100C1015010151101D1106011061110E1117011171111F 二进制转换成八进制 例 10110111 01101 2 10110111 01101 2 267 32 8 八进制 267 32 二进制 010 110 111 011 010 二进制 10 110 111 011 01 八进制转换二进制 例如 123 46 8 001 010 011 100 110 2 1010011 10011 2 二进制转换成十六进制 例 110110111 01101 2 10110111 01101 2 1B7 68 16 十六进制 1B7 68 二进制 0001 1011 0111 0110 1000 二进制 1 1011 0111 0110 1 十六进制转换成二进制 例如 7AC DE 16 0111 1010 1100 1101 1110 2 11110101100 1101111 2 2 2数值数据的编码与表示 2 2 1带符号数的编码名词解释 真值和机器数真值 正 负号加某进制数绝对值的形式称为真值 如二进制真值 X 1011 y 1011机器数 符号数码化的数称为机器数 常用的几种码制表示法原码 补码 反码 移码 1 原码表示法 原码表示法用 0 表示正号 用 1 表示负号 有效值部分用二进制的绝对值表示 以下n均表示字长的有效位数 纯小数 X1 2 n 1 X 0 X 原 1 X 1 X 0 X 1 2 n 1 完成下列数的真值到原码的转换X1 0 1011011 X1 原 0 1011011X2 0 1011011 X2 原 1 1011011 纯整数 X2n 1 1 X 0 X 原 2n 1 X 2n 1 X 0 X 2n 1 1 完成下列数的真值到原码的转换X1 01011011X2 01011011 X1 原 01011011 X2 原 11011011 原码小数的表示范围 0 原 0 0000000 0 原 1 0000000最大值 1 2 n 1 最小值 1 2 n 1 表示数值的个数 2n 1 思考题 若二进制的位数分别是8位 16位 试求其表示的最大值 最小值及所能表示的数的个数 8位 127 128 127 128 25516位 32767 32768 32767 32768 65535 原码整数的表示范围 0 原 00000000 0 原 10000000最大值 2 n 1 1最小值 2 n 1 1 表示数的个数 2n 1 思考题 若二进制的位数分别是8 16 求其表示的最大值 最小值及表示数的个数 8位 127 127 25516位 32767 32767 65535 原码特点 表示简单 易懂 同真值之间进行转换方便 实现乘除运算规则简单 进行加减运算十分麻烦 2 补码表示法 模 计量器具的容量或称为模数 4位字长的机器表示的二进制整数为 0000 1111共16种状态 模为16 24 n位字长整数 包括1位符号位 的模值为2n n位纯小数 包括1位符号位 的模值为2 n位数的模值 n位数取全1后并在末位加1 补码的定义 机器数的最高位表示符号 正数的补码就是正数的本身 负数的补码是原负数加上模 纯小数求补 X1 2 n 1 X 0 x 补 2 X 2 X 0 X 1 完成下列数的真值到补码的转换X1 0 1011011X2 0 1011011 X1 补 0 1011011 X2 补 1 0100101 纯整数求补 X2 n 1 1 X 0 x 补 2n X 2n X 0 X 2 n 1 完成下列数的真值到补码的转换X1 01011011X2 01011011 X1 补 01011011 X2 补 10100101 补码的表示范围 N位纯整数 2n 1 1 2n 1N位纯小数 1 2 n 1 1均能表示2n个数在补码系统中 由于0有唯一的编码 因此n位二进制能表示个2n补码数 原码与补码之间的转换 原码求补码正数 X 补 X 原负数符号除外 各位取反 末位加1例 X 01001001 X 原 11001001 X 补 10110110 1 10110111 X 补 28 X 100000000 1001001 10110111100000000 100100110110111 由 X 补求 X 补 求机器负数 从原码求补码 运算过程是连同符号位一起将各位取反 末位再加1 设字长N 8位例 X 1001001 X 补 01001001 X 补 10110110 1 X 补 10110111 最大的优点 将减法运算转换成加法运算 X 补 Y 补 X 补 Y 补例如X 11 10 1011 2 Y 5 10 0101 2已知字长n 5位 X 补 Y 补 X 补 Y 补 01011 11011 100110 00110 6 10注 最高1位已经超过字长故应丢掉 3 反码表示法 正数的表示与原 补码相同 负数的反码符号位为1 数值位是将原码的数值按位取反 就得到该数的反码表示 纯小数 X1 X 0 X 反 2 2 n 1 X0 X 1 2 n 1 X1 0 1011011 X1 反 0 1011011X2 0 1011011 X2 反 1 01001001 1111111 0 10110111 0100100 纯整数 X2n 1 X 0 X 反 2n 1 X0 X 2n 1X3 1011011 X3 反 01011011X4 1011011 X4 反 1010010011111111 101101110100100零的反码不唯一 0 反 00000000 0 反 11111111 4 移码 增码 表示法 X 移 2n 1 X2n 1 1 X 2n 1 X1 01010101 X1 补 01010101 X1 移 11010101X2 01010101 X2 补 10101011 X2 移 00101011 2 2 2无符号数的表示 在数据处理的过程中 如不需要设置符号位时 可用全部字长来表示数值大小 如8位无符号数的取值范围是0 255 2 由此可见 同样位数的数据在机器中 采用无符号表示或有符号表示其取值范围是不同的 码制表示法小结 X 原 X 反 X 补用 0 表示正号 用 1 表示负号 X 移用 1 表示正号 用 0 表示负号 如果X为正数 则 X 原 X 反 X 补 如果X为0 则 X 补 X 移有唯一编码 X 原 X 反则有两种编码 移码与补码的形式相同 只是符号位相反 2 2 3计算机中数的表示形式 数值范围 一种数据类型所能表示的最大值和最小值 数据精度 实数所能表示的有效数字位数 数值范围和数据精度 均与使用多少位二进制位数以及编码方式有关 计算机用数字表示正负 隐含规定小数点 采用 定点 浮点 两种表示形式 一 数的定点表示方法 1 定点整数 小数点位置固定在数的最低位之后 如 Dn 1Dn 2 D1D0 范围 2n 1 1 2n 1 采用字长n 16位补码时其值为32767 32768 2 定点小数 小数点位置固定在数的符号位之后 数值最高位之前 如 D0 D 1 D n 2 D n 1 范围 1 2 n 1 1 采用字长n 16位时其值为 32767 32768 1 其中n表示字长位数 1 浮点数的表示 把字长分成阶码E和尾数D两部分 根据 阶码E表示数据范围 尾数D表示数据精度 1 JEm 2 E0SD 1 D n 1 阶符阶码值数符 尾数值 2 SJEm 2 E0D 1 D n 1 数符阶符阶码值 尾数值通常 阶码为补码或移码定点整数形式 尾数为补码或原码定点小数 二 数的浮点 实数 表示方法 2 浮点数的规格化 在有限字长的情况下如何解决精度和数据的表示范围这样一对矛盾 是这里要讨论的主要问题 目的 将阶码和尾数所占的位数协调好 规格化方法 调整阶码使尾数满足下列关系 尾数为原码表示时 无论正负应满足1 2 d d 1 即1 0 x x 例题 设某机器用32位表示一个实数 阶码部分8位 含1位阶符 用定点整数补码表示 尾数部分24位 含数符1位 用规格化定点小数补码表示 基数为2 写出X 256 5 Y 256 5浮点表示格式 1 X 256 5 10 100000000 1 2 0 1000000001 2x2 98位阶码为 9 补 0000100124位尾数为 0 1000000001 补 0 10000000010000000000000所以X的浮点表示格式为 00001001010000000010000000000000用16进制表示此结果则为 09402000 162 Y 256 5 10 100000000 1 2 0 1000000001 2x2 98位阶码为 9 补 0000100124位尾数为 0 1000000001 补 1 01111111110000000000000所以Y的浮点表示格式为 00001001101111111110000000000000用16进制表示此结果则为 09BFE000 16 3 溢出问题 定点数的溢出 根据数值本身判断 浮点数的溢出 根据规格化后的阶码判断 上溢 浮点数阶码大于机器最大阶码 中断下溢 浮点数阶码小于机器最小阶码 零处理 溢出的具体判断方法将结合实例在后续课程中介绍 三 微机中所能表示的数值类型 FPU协处理器 浮点数据处理单元 1 无符号二进制数 字节 字和双字 受CPU支持 2 带符号的二进制定点整数形式 参见表1 2p12 16 32 64位补码表示 和18位BCD码整数形式 80bit 3 浮点数 IEEE754标准 包括数符S 阶码E和尾数D三个字段 1 S2E D0 D 1 D P 1 最高是数符S占1位 0表示正 1表示负 指数项E 基数是2 E是一个带有一定偏移量的无符号整数 尾数部分D 它是一个带有一位整数位的二进制小数真值形式 其规格化形式应调整阶码使其尾数整数位D0为1且与小数点一起隐含掉 具体形式详见表1 3 详教材第12页 例2 将下面PC机中的单精度浮点数3F580000H换算成十进制的真值是多少 解 3F580000H 0011 1111 0101 1000 0000 0000 0000 0000B数符 S 1 0 1 正号 阶码 E 01111110 2 127 126 127 1尾数 D 1 1011 2X 0 11011 2 0 84375 例1 将十进制数178 125表示成微机中的单精度浮点数 解 178 125 10110010 001B 1 0110010001 27指数E 7 127 134 10000110B 127是单精度浮点数应加的指数偏移量 其完整的浮点数形式为 010000110 01100100010000000000000 43322000H 2 3数字化信息的编码及表示 计算机进行数据处理和运算 自然界中各种需要计算机处理的物理量 就必须首先实现数字化表达 另外由于计算机除了可以进行数据处理和运算外 还要进行各种文字 特别是中文 的处理与编辑 因此 所有由计算机处理的信息也要用数字进行编码 这样在物理机制上可以以数字信号表示 2 3 1信息的数字化表示形式 数字信号 是一种在时间上或空间上离散的信号 单个信号是以常用的二值逻辑 0或1 来表示 依靠多位信号组合表示广泛的信息 1 用一串脉冲信号表示数字代码 先发低位后发高位以串行方式为例 0 t U 2 用一组电平信号表示数字代码 3 用一组数字代码表示字符 如ASCII码 4 用若干点的组合表示图像 如图形点阵码 5 用数字信号表示声音 如VCDDVD光盘 6 用数字代码表示命令与状态 如打印机的操作 控制信息 数字化方法表示信息的优点 抗干扰能力强 可靠性高 位数增多则数的表示范围可扩大 物理上容易实现 并可存储 表示信息的范围与类型极其广泛 能用逻辑代数等数字逻辑技术进行处理 2 3 2十进制数的编码 BCD码8421码2421码余3码8421码为有权代码 0000000000011数值为N 8d3 4d2 2d1 1d01000100010100十进制数63 29的BCD码为 200100010010101100011 00101001300110011011040100010001112421码为有权代码 5010110111000数值为N 2d3 4d2 2d1 1d06011011001001十进制数63 29的BCD码为 701111101101011000011 001011118100011101011余3码为无权代码 对应8421码加3而得 9100111111100 除上述三种BCD码之外 还有5421码 格雷码等 在存放形式上有 压缩码和非压缩码两种 2 3 3西文信息在机内的表示 ASCII码 AmericanStandardCodeForInformationInterchange 美国国家信息交换标准字符码 每字符用一个字节表示 共有128个字符 最高位为0 其中95个字符供显示 打印使用 余下33个为控制字符 扩展ASCII码可表示256个编码 EBCDIC码 2 3 4中文信息在机内的表示 1 GB2312 80国标码国标码 我国在1981年颁布了 通讯用汉字字符集 基本集 及其交换码标准 GB2312 80方案 简称国标码 共7445字 各用两字节表示 分为94个行区 94个列位 1 9区 图形字母 各种字母 数字 符号等682个 16 55区 一级汉字 一级3755个汉字 按拼音排序 56 87区 二级汉字 二级3008个汉字 按部首排序 10 15 88 94区为保留区 做扩充用 区位码 将国标码中的字符按其位置划分成94个区 每个区中94个字符 1 941 9区10 15区空16 55区56 87区88 94区空区位码是国标码的变形 国标码 区位码 2020H 国标码 区位码均用4位数字进行一个汉字编码 字母 数字 各种符号等682个 一级汉字3755个 二级汉字3008个 2 汉字的输入 编码方法 方案 特点 易学习 易记忆 效率高 重码少 容量大 易被接受 分类 数字编码 字音编码 字形编码 形音编码 3 汉字的输出 过程 输入编码转换为机内码 存放 用字型码检索字库得到点阵 轮廓字型 送显示器 打印机 4 汉字在计算机内的表示 机内码是指机器内部处理和存储汉字的一种代码常用的机内码在国标码基础上每个字节最高位置1机内码 国标码 8080H 区位码 A0A0H 京 字国标码为3E29H 其机内码为BEA9H 其区位码为1E09H 2 3 5图形信息在计算机内的表示 计算机中图形的两种数字化的表示方法 几何图形或矢量图形 轮廓字形法 根据画图或场景中包含的内容 分别用集合要素 点 线 面 体 和物体表面的材质以及环境的光照条件 用户的观察位置等进行描述 点阵图象或位图图象把原始图划分为由M N个像素点所组成的大矩阵参数 图像尺寸 最大颜色数 色浓度 图像数据量 图形与图象法各有其优缺点 但它们可相互补充 转换 2 4 1定点数的运算1 定点数的加减法运算 计算机中 常采用补码进行加减运算补码可将减法变加法进行运算补码运算特点 符号位数值位一同参加运算定点补码运算在加法运算时的基本规则 X 补 Y 补 X Y 补 两个补码的和等于和的补码 定点补码运算在减法运算时的基本规则 X 补 Y 补 X 补 Y 补 X Y 补 2 4数值的运算方法 例如 已知机器字长n 8 X 44 Y 53 求X Y 解 X 原 00101100 Y 原 00110101 X 补 00101100 Y 补 00110101 X 补 00101100 Y 补 00110101 1 0 0 0 0 1 1 0 X Y 97 例 已知机器字长n 8 X 44 Y 53 求X Y 解 44 补 00101100 53 补 00110101 X 补 44 补 11010011 1 11010100 Y 补 53 补 11001010 1 11001011 X 补 11010100 Y 补 11001011 X Y 补 110011111超出8位 舍弃模值X Y 01100001 X Y 97 例 已知机器字长n 8 X 44 Y 53 求X Y 解 X 补 00101100 Y 补 00110101 Y 补 11001011 X 补 00101100 Y 补 1100101111110111 X Y 补 11110111 X Y 0001001 9 例 已知机器字长n 8 X 44 Y 53 求X Y 解 X 补 11010100 Y 补 11001011 Y 补 00110101 X 补 11010100 Y 补 00110101100001001超出8位 模值 舍弃 X Y 补 00001001 X Y 0001001 9 例题 机器字长n 8 X 120 Y 10 求X Y 解 X 补 01111000 Y 补 00001010 X 补 01111000 Y 补 0000101010000010 X Y 补 10000010 X Y 11111110X Y的真值 1111110 126 10 运算结果超出机器数值范围发生溢出错误 8位计算机数值表达范围 128 127 溢出问题 运算的结果超出数值所能表示的范围 溢出判断规则与判断方法 两个相同符号数相加 其运算结果符号与被加数相同 若相反则产生溢出 两个相异符号数相减 其运算结果符号与被减数相同 否则产生溢出 相同符号数相减 相异符号数相加不会产生溢出 溢出判断方法 1 双符号法 2 进位判断法 双符号位溢出判断法Sf1 Sf2 也被称为变形补码 双符号含义 00表示运算结果为正数 01表示运算结果正向溢出 10表示运算结果负向溢出 11表示运算结果为负数 亦即 OVR Sf1 Sf2 1有溢出OVR Sf1 Sf2 0无溢出第一位符号位为运算结果的真正符号位 例 X 0 1001 Y 0 0101 求 X Y 解 X 补 00 1001 Y 补 00 0101 X Y 补 00 1110两个符号位相同 运算结果无溢出X Y 0 1110 例 X 0 1001 Y 0 0101 求 X Y 解 X 补 11 0110 1 11 0111 Y 补 11 1010 1 11 1011 X Y 补 111 0010最高为1丢掉两个符号位相同 运算结果无溢出X Y 0 1110 例 X 0 1011 Y 0 0111 求 X Y 解 X 补 00 1011 Y 补 00 0111 X Y 补 01 0010两个符号位为01 运算结果