金星 潘朝辉 2014年中考几何证明题探析.doc

2014年中考几何证明题探析冷水江市金星学校 潘朝辉初中数学课程标准对几何部分的要求是能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质；能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征；能够在头脑里构建几何对象，进行几何图形的分解与组合，能够对某些图形进行简单的变换；能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性从内容来看，初中几何涉及到的知识点有将近100个，这么多的知识点，复习时怎样抓住重点是关键从近几年我市中考试题来看，我市几何证明题整体变化不大，问题设置基本上都分为两问，且大多是将有关三角形知识与四边形知识综合考查（一）近几年娄底中考几何证明题考点分析日期题号与分值考点 2008年22题，8分平行四边形的性质、三角形全等判定2009年21题，8分等腰三角形的性质、三角形全等的判定以及菱形的判定2010年23题，7分三角形全等的判定、性质以及等腰三角形的判定2011年23题，9分旋转变化的性质、平行四边形的判定2012年23题，9分矩形的性质、判定、三角形全等、菱形的判定2013年23题，9分平行四边形、菱形、全等三角形的判定、图形的旋转 以上统计表明两层含义：1、我市近几年来几何证明题的重点是三角形与四边形的有关性质与判定这些知识点的定理定义多，须在掌握概念的基础上才有判断，进而形成推理证明2、近几年几何证明题分值总体是增加的趋势，接近了最后两个综合题的分值值得注意的是，2013年是在实际生活背景下的几何证明题，突出了图形的旋转的运用，更强调了几何知识的学习与实际生活的联系下面我列举了2011年以来娄底市及有关省市的中考几何证明题，目的是借鉴其他地方的试题，共同与大家探析如何将四边形的相关知识与三角形中的知识点结合起来(二)2013年中考典型例题 例1.（2011娄底，23，9分） 如图10，在直角三角形ABC中，ACB=90，AC=BC=10，将ABC绕点B沿顺时针方向旋转90得到A1BC1.（1）线段A1C1的长度是 ，CBA1的度数是 （2）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形分析：本题考查旋转变化的性质以及平行四边形的判定解：（1）A1C1=10， CBA1=135 （2）证明：A1C1B=C1BC=90，A1C1BC. 又A1C1=AC=BC，四边形CBA1C1是平行四边形.点评：此题主要考查了旋转的性质，也考查了平行四边形的判定，解题的关键是利用旋转的性质得到相等的相等和相等的角，然后利用等腰直角三角形的性质加减问题例2.（2012娄底，23，9分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是ADBC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点（1）求证：MBANDC；（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由分析：利用矩形的性质；全等三角形的判定与性质； 直角三角形斜边上的中线；菱形的判定证明：（1）四边形ABCD是矩形， AB=CD，AD=BC，A=C=90，在矩形ABCD中，M、N分别是ADBC的中点，AM=AD，CN=BC，AM=CN，在MABNDC，MABNDC；（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：连接AN， 易证：ABNBAM，AN=BM，MABNDC，BM=DN，P、Q分别是BM、DN的中点，PM=NQ，DM=BN，DQ=BP，MDQ=NBP，MQDNPB四边形MPNQ是平行四边形，M是AD中点，Q是DN中点，MQ=AN，MQ=BM，MP=BM，MP=MQ，四边形MQNP是菱形解法二：连接AN，MN 四边形ABCD是矩形 AD=BC，ADBC，A=ADC=ABC= 90 MABNDC MB=DN，ABM=NDCP、Q分别是MB、ND的中点 MP=NQ AMB= 90-ABM= 90-NDC=ADN MBND四边形MQNP是平行四边形 M、N分别是AD、BC的中点 AM=BNMANB、A= 90 四边形AMNB是矩形 MNB=90P是MB的中点 PN=MB=MP 四边形MQNP是菱形点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法，属于基础题目但解题方法比较灵活，要求学生对相关性质及判定方法的能熟练运用例3（2013 娄底 23，9分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角（090），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角=30时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由分析：（1）根据旋转的性质得出AB=AF，BAM=FAN，进而得出ABMAFN得出答案即可；（2）利用旋转的性质得出FAB=120，FPC=B=60，即可得出四边形ABPF是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案证明：（1）用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角（090），AB=AF，BAM=FAN，在ABM和AFN中，ABMAFN（ASA），AM=AN；（2）解：当旋转角=30时，四边形ABPF是菱形理由：连接AP，=30，FAN=30，FAB=120，B=60，AFBP，F=FPC=60，FPC=B=60，ABFP，四边形ABPF是平行四边形，AB=AF，平行四边形ABPF是菱形点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知识，根据旋转前后图形大小不发生变化得出是解题关键例4（2013 白银）如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF；(1) BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2) 当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由证明：（1）BD=CD理由如下：AFBC，AFE=DCE，E是AD的中点，AE=DE，在AEF和DEC中，AEFDEC（AAS），AF=CD，AF=BD，BD=CD；（2）当ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形理由如下：AFBD，AF=BD，四边形AFBD是平行四边形，AB=AC，BD=CD，ADB=90，又四边形AFBD是平行四边形，四边形AFBD是矩形。点评：本题考查了等腰直角三角形性质与判定，全等三角形的性质和判定的应用，平行四边形和矩形的性质与判定，考查学生运用定理进行推理的能力例5.例3、（2013 铁岭）如图，ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE（1） 求证：四边形AEBD是矩形；（2）当ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由证明：（1）点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，四边形AEBD是平行四边形，AB=AC，AD是ABC的角平分线，ADBC，ADB=90，平行四边形AEBD是矩形；（2）当BAC=90时，理由：BAC=90，AB=AC，AD是ABC的角平分线，AD=BD=CD，由（1）得四边形AEBD是矩形，矩形AEBD是正方形点评：本题主要考察了等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形的性质与判定；例6.（2013湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长解：（1）AD=CF理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，AOC=DOF=90，AOC+COD=DOF+COD，即AOD=COF，在AOD和COF中，AODCOF（SAS），AD=CF；（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DFOE，DG=OG=OE，正方形ODEF的边长为，OE=2，DG=OG=OE=2=1，AG=AO+OG=3+1=4，在RtADG中，AD=，CF=AD=点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键（三）中考趋势预测与复习建议根据近几年我市中考几何证明题的特征，今年我市中考几何证明题应该仍在三角形与四边形的相关知识点交汇处做重点考查学生存在的主要问题是对相关的几何知识点不熟悉，不能灵活应用几何图形的性质与判定，或者想当然，或者简单问题复杂化，例如第2题的第二问：证明四边形MPNQ是菱形较简单的方