素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0608.doc

2006年第 45卷第 8期数学通报 数学问题解答 2006年 7月号问题解答 (解答由问题提供人给出 ) 1621已知 :在 ABC中 ,点 E1、E2在 AC边上 ,且 AE1 = CE2 ,从顶点 A分别引 E1 BC及 E2 BC平分线的垂线 ,垂足分别为 M1、M2 ,垂线 AM1交 BE1于 P1 ,交 BC三角形 ,且 S O1 PQ 14 SABCD . (浙江省义乌市私立群星学校闵飞 322000)证明设 BAE = 2, CDE = 2.记正方形边长为 1 ,过 O1作 AB、AD、CD的垂线 ,垂足分别为 M、F、N,过 O2、O3作 BC的垂线 ,垂足分别为 S、T, ADE、AB E、DCE的内切圆半径分别为 r1、r2、 O1 F r3 .因为 tan FAO1 = tan 4 - = =r1 ,AF AF 于 Q1 ,垂线 AM2交 BE2于 P2 ,交 BC于 Q2 .r1 r1 ,求证 : PQ11 EC 1 + PQ22 EC 2 证明过点 E1E1 F1 AQ1 ,F1 ,过点 E2作 AQ2 ,交 BC于 F2 .因为 P1 Q1E1 BC的平分线 BM1 ,所以 BP1 = BQ1 ,因为 E1 F1 P1 Q1 ,BP1 P1 E1所以 BQ1 =Q1 F1 ,所以 P1 E1 =Q1 F1 ,同理可证 P2 E2 =Q2 F2 ,因为 E1 F1 AQ1 ,所以 Q1 F1 = AE1 ,所以 P1 E1 = AE1 .(1)Q1 CAC Q1 C AC P2 E2 AE2同理可证 Q2 C=AC , (2) (1) +(2)得 P1 E1 P2 E2 AE1 AE2 AE1 + AE2 + =+= ,Q1 CQ2 C AC AC AC 因为 AE1 = CE2 ,AE2 + CE2 = AC,所以 PQ11 EC 1 + PQ22 EC 2 = 1. 1622正方形 ABCD中 , E是 BC上一点 , ADE、 AB E、DCE的内心分别为 O1、O2、O3 ,且 O2 O3与 AB、CD交于 P、Q,求证 : O1 PQ是等腰直角又O3 T-O2 S = ST ,即 r3 -r2 = 1 -r2 -r3 ,r2 (1 -2 r3) tan(1 -tan)所以 PB = 1 -r2 -r3 = 1 -tantan ,又 MP =AB -PB -AM =AB -PB -O1 F tan(1 -tan)(1 -tan)(1 -tan) = 1 -1 -tantan 2(1 -tantan) (1 -tan)(1 + tan) = 2 (1 -tantan),O1 Fr1且 DF = tan O1 DF = tan -4 (1 -tan)(1 + tan) = 2 (1 -tantan),所以 MP = DF.又因为 DF = O1 N,所以 MP = O1 N,同理 O1 M = NQ,所以 Rt O1 PM Rt QNO1 ,所以 O1 P= O1 Q,且 PO1 M= O1 QN ,所以 PO1 M+ QO1 N= O1 QN + QO1 N = 90,所以 PO1 Q= 90.从而 PO1 Q是等腰直角三角形 ,同时 , S POQ = 1 O1 P2 = 1 ( MP2 + MO12)1 22 数学通报 2006年第 45卷第 8期64DF+ AF 22 A 2 B 2 C(b-c) tan+(c-a) tan+(a-b) tan= 1 ( DF2 + A F2) 2 22 11 2 2 ABC AB tan + tan + tan +(a-b) tan tan = 4 AD2 = 4 SABCD. = t 222 22 1623在 ABC中 ,已知 a b c,求证 :(b-+(c-a) tan A tan C +(b-c) tan B tan C. 22 22 2 A 2 B 2 C c) tan2 +(c-a) tan2 +(a-b) tan2 由 tan A 2 tan B 2 = P-P c,tan A 2 tan 2 C = P-P b, AB C(b-c)tan +(c-a)tan +(a-b) tan . tan B 2 tan 2 C = P-P a,得(a-b) tan A 2 tan B 2 +(c-a)222 (安徽省五河县第三中学李明 233300)tan A tan C +(b-c) tan B tan C =(a-b)( P-c)22 22 证明令 (b-c) tan 2 A +(c-a) tan 2 B +(a-+(c-a)( P-b) +(b-c)( P-a)/ P = 0 b) tan C =t. 将 代入 得 2 在 ABC中 ,设 r表示内切圆的半径 ,S表示 (b-c) tan2 2 A +(c-a) tan2 B 2 +(a-b) tan2 2 C ABCABC的面积 ,P = 12 (a+b+c).= t tan + tan + tan .222 则 tan 2 A = P-r a = P(PPr -a) = P(P-S a) = 因 t 0 ,下面只需证明 3 . S(P-b)( P-c) (P-b)( P-c) P(P-a)( P-b)( P-c) = S .2BC tan + tan + tan 同理可得 tan 2 B= 3 tan A tan 2 B+ tan 2 A tan C 2 + tan B tan C = 22 22 22 tan ,所以 S 3 ,又 tan 2 A+ tan 2 B+ tan 2 C 0 ,所以 成立 .t = (b-c)( P-b)( P-c) +(c-a)( P-a)( P 于是原命题得证 . -c) +(a-b)( P-a)( P-b)/ S 1624若 a1 ,a2 , an R+,且 a1 +a2 + +an = (a-b)( a-c)( b-c) S,求证 : =,S 11 + 因为 a b c,S 0 ,所以 t 0 ,a 31 (a2 +a3 + + an) a 32 (a1 +a3 + + an) 由 得 (b-c) tan 2 A =t-(c-a) tan 2 B-(a +a 3 n( a1 +a21 + + an-1) S4 ( nn 5 -1). -b) tan C,(山东省宁津县一中刘俊 253400)2 证明构造向量 上式两边同乘以 tan 2A 得 1 m = , 2 AA AB a13 (a2 +a3 + + an)(b-c) tan=ttan -(c-a) tan tan -(a22 22 1 , -b) tan A tan C a 32 (a1 +a3 + + an)22 同理可得 : 31 , 2 B B AB an(a1 +a2 + + an-1)(c-a) tan=ttan -(b-c) tan tan -(a22 22 n =a1 (a2 +a3 + + an) , -b) tan B tan C a2 (a1 +a3 + + an) ,22 2 CC AC an( a1 +a2 + + an-1),(a-b) tan=ttan -(b-c) tan tan -(c22 22 所以-a) tan B tan C 22 | mn |2 + +得 左边 =| m | 2 | n |2 11 12 + + a1 a2 an = a1(a2 +a3 + + an) + + an(a1 +a2 + + an-1) 22 a1 +a2 + an a1(a2 +a3 + + an) + + an(a1 +a2 + + an-1) 4 n S2 = a1 (S-a1)+a2 (S-a2)+ + an(S -an) 4 n = 22 2S2 S2 -(a1 +a2 + + an) 45 nS2 =S4 ( nn-1)=右边 . S2 S2 -n 11625设 x,y,z 0且 3 y+ 4 x+ 5 z= 1 ,求 x+y + 1 + 1 的最小值 ,并指出相应的 x,y,z的y+z z+x值.解由 3 y+ 4 x+ 5 z= 1 ,得 (x -中最大的数 ,求 M的最小(x+y) + 2 (y+z) + 3 (z+x) = 1.1+ + (广东佛山市南海区石门中学罗建中 528248) 22则设 x+y = 1 2 (y+z) = ,+ 3 33 (z+x) = ,+ + 123 此处 1 ,2 ,3 0 ,(因 x,y,z 0).所以 1 123 23+ + = 1 + +,x+y 1 1 1 12 (1 + 2 + 3) 2123 = 2 + +,y+z 2 2 2 13 (1 + 2 + 3) 3132 = 3 + +,z+x 3 3 3 将上述式子各边相加得 111 221 + = 6 + + x+y y+z z+x 1 + 2 331 2332 + 6 + 22 + 23 + 26 .1 + 3 2 + 3 当且仅当 1 = 1 2 = 1 3 ,11即 x+y = + 2+ 3= 1 + 2 + , 1 1 1 212 y+z = =, 2 (1 + 21 + 31) 2 (1 + 2 + 3) 31 z+x = =,3 (1 + 21 + 31) 3 (1 + 2 + 3) 进而 x= 6 + 23 -32 , 12 (1 + 2 + 3) 6 + 32 -23 y= , 12 (1 + 2 + 3) z= 123 (21 + 22 3 +-36 )时等号成立 .所以 1 + 1 + 1 的最小值为 x+y y+z z+x6 + 22 + 23 + 26 . 2006年 8月号问题 (来稿请注明出处编者 ) 1626已知半圆 O的直径 AB = 8 cm ,弦 AD = CD = 2 cm ,求 BC. (安徽省肥西中学刘运宜 231200) 1627设 x,y R,设 M为 x 2 + xy+ y2 ,x 2 + x (y21) +(y-1) 2 ,(x -1) 2 -1)y+y,(x-1) 2 + 1628直线 l: mx+ny = 1与椭圆 x 2 + yb2 = 1 (a a 0 ,b 0 ,a b)交于 P, Q两点 ,O为椭圆中心 ,求 11 11证 : POQ = 2的充要条件是 m 2 +n 2 =a 2 +b2 . (四川蓬安中学蒋明斌 637851) 1629求证 :对任意自然数 n,2 n+ 1不能被 35整除. (江苏泰州市第四中学 (高中部 )陈稳桂 225300) 1630质点 A位于数轴 x= 0处 ,质点 B位于 x= 2处 ,这两个质点每隔 1秒就向左或向右移动 1个单位 ,设向左移动的概率为