利息习题解答第四章d

版权所有 翻版必究 第四章习题答案 1现有 1000 元贷款计划在 5 年内按季度偿还 已知季换算名利率 6 计算第 2 年底的未结贷款余额 解 设每个季度还款额是 R 有 Ra 4 5p6 1000 解得 R 代入 B2的表达式 B2 Ra 4 3p6 635 32 元 2设有 10000 元贷款 每年底还款 2000 元 已知年利率 12 计算借款人的还 款总额等于原贷款额时的未结贷款余额 解 n 10000 2000 5 B5 10000 1 i n 2000snp12 4917 72 元 3某贷款在每季度末偿还 1500 元 季换算名利率 10 如果已知第一年底的未 结贷款余额为 12000 元 计算最初的贷款额 解 以季度为时间单位 i 2 5 B0 B1 v 1500a4pi 16514 4 元 4某贷款将在 15 年内分期偿还 前 5 年每年底还 4000 元 第二个 5 年每年底还 3000 元 最后 5 年每年底还 2000 元 计算第二次 3000 元还款后的未结贷款 余额的表达式 解 对现金流重新划分 有 B7 2000a8p 1000a3p 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页 版权所有 翻版必究 5某贷款将以半年一次的年金方式在 3 年半内偿还 半年名利率 8 如果已知 第 4 次还款后的未结贷款余额为 5000 元 计算原始贷款金额 解 设原始贷款额为 L 每次还款为 R 以半年为时间单位 有 5000 Ra3p4 L Ra7p4 整理得 L 5000 a7p a3p 10814 16 元 6现有 20000 元贷款将在 12 年内每年底分期偿还 若 1 i 4 2 计算第 4 次 还款后的未结贷款余额 解 设第 4 次还款后的未结贷款余额为 L 每次还款为 R 有 20000 R a12pi L R a8pi 把 1 i 4 2 代入整理得 L 5000 1 1 i 8 1 1 i 12 17142 86 元 720000 元抵押贷款将在 20 年内每年分期偿还 在第 5 次还款后 因资金短缺 随后的两年内未进行正常还贷 若借款人从第 8 年底重新开始还贷 并在 20 年内还清 计算调整后的每次还款额 解 设正常每次还款为 R 调整后每次还款 X 以当前时间和第 5 年底为比较 日 有 20000 Ra20p Xa13p v2 Ra15p 整理得 X 20000 a15p a20p 1 i 2 a13p 北京大学数学科学学院金融数学系第 2 页 版权所有 翻版必究 8某贷款 L 原计划在 25 年内分年度等额还清 但实际上从第 6 次到第 10 次的 还款中每次多付 K 元 结果提前 5 年还清贷款 试证明 K a20p a15p a25p a5p L 证 以第 20 年年底为比较日 设每次还款为 R 有 L Ra25p Ks5p 1 i 10 Ra5p 整理即得 9设 Bt表示未结贷款余额 证明 1 Bt Bt 1 Bt 2 Bt 3 Bt 1 Bt 2 2 2 Bt Bt 3 Bt 1 Bt 2 证 1 Bt Bt 1 Bt 2 Bt 3 R Bt 1 1 i Bt 1 Bt 2 1 i Bt 2 R R iBt 1 1 i R iBt 2 R iBt 1 R i 1 i Bt 1 R 1 i R iBt 1 2 Bt 1 Bt 2 2 2 Bt Bt 1 R iBt R iBt 2 Bt 2 Bt 3 Bt Bt 3 Bt 1 Bt 2 默认每次还款额是相同的 北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页 版权所有 翻版必究 10某贷款按季度分期偿还 每次 1000 元 还期 5 年 季换算名利率 12 计算 第 6 次还款中的本金量 解 P6 B5 B6 1000a20 5p3 1000a20 6p3 1000 1 03 15 641 86 元 11n 年期贷款 每年还款1元 试导出支付利息的总现值 去掉 之和 解 设第 t 年支付的利息为 It 有 It iBn 1 t ian 1 tp 1 vn 1 t 支付利息的总现值为 I n t 1 Itvt n t 1 1 vn 1 t vt anp nvn 1 12设 10000 元贷款 20 年还清 年利率 10 证明第 11 次中的利息为 1000 1 v10 元 此处有改动10000改成1000 北京大学数学科学学院金融数学系第 4 页 版权所有 翻版必究 证 设每期还款额为 R 由上题的结论有 I11 R 1 v10 10000 a20p 1 v10 10000 i 1 v10 1000 1 v10 13设有 20 次分期还贷 年利率 9 问 第几次还款中的本金量与利息量差额 最小 解 不妨设每次还款额为 1 Pt It vnt 1 1 vn t 1 2vn t 1 1 由 2vn t 1 1 0 t 12 96 验证 t 12 13 的情形易得第 13 次本金量与利息量差额最小 14现有 5 年期贷款 分季度偿还 已知第 3 次还款中的本金为 100 元 季换算 的名利率 10 计算最后 5 次还款中的本金量之和 解 以一季度为时间单位 设每次还款额为 R 由题意得 Rv20 3 1 100 R 100 v18 于是最后 5 次本金总额为 R v1 v5 724 59 元 北京大学数学科学学院金融数学系第 5 页 版权所有 翻版必究 15现准备用 20 年时间分期偿还一笔贷款 且已知前 10 年的年利率为 i 后 10 年的年利率为 j 计算 1 第 5 次偿还中的利息量 2 第 15 次偿还中的本 金量 解 设初始贷款量为 1 每年还款额为 R 有 1 Ra10pi Ra10pj 1 i 10 R 1 a10pi 1 i 10a10pj 1 I5 iB4 iR a6pi 1 i 6a10pj 2 P15 B14 B15 Ra6pj Ra5pj R 1 j 6 16原始本金为 A 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还 K 且最后一 次将不足部分一次还清 计算 1 第 t 次偿还的本金量 2 摊还表中的本 金部分是否为等比数列 解 设总还款次数为 n 最后一次还款中不足部分设为 B 1 利用追溯法可得 Bt A 1 i t Kstp t n 0 t n 故 Pt K iA 1 i t 1 t L 2 Bk 1 Ran k 1p 1 故 K n 1 ln vn 1 ln2 lnv 1 其中 x 表示取整函数 21设有年利率 2 5 的 15000 元贷款 每年偿还 1000 元 计算第几次还款中本 金部分最接近利息部分的 4 倍 解 设第 k 次还款本金部分最接近利息部分的 4 倍 利用追溯法 Bk 1 L 1 i k 1 Rsk 1p Ik iBk 1 iL 1 i k 1 R 1 i k 1 1 Pk R Ik R 1 i k 1 iL 1 i k 1 再由 Pk 4Ik得 k 11 北京大学数学科学学院金融数学系第 8 页 版权所有 翻版必究 22某贷款在每年的 2 月 1 日等额还贷 已知 1989 年 2 月 1 日的还款中利息为 103 00 元 1990 年 2 月 1 日的还款中利息为 98 00 元 年利率 8 计算 1 1990 年还款中的本金部份 2 最后一次不足额还款的日期和金额 解 1 设 In Pn为别为 n 年的利息部分和本金部分 I1990 I1989 iP1989 P1989 62 5 又 I1989 P1989 I1990 P1990 P1990 67 5 2 利用递推公式容易求得 2000 年 2 月 1 日还款后未结贷款余额为 101 43 元 已经小于 165 5 元 同时易得 B1989 1225 设最后一次还 款在2000年2月1日后经过时间t收回 于是t满足 1225 165 51 v 11 t i t 0 653 故最后一次还款时间为 2000 年 9 月 24 日 金额为 165 5 1 08t 1 0 08 106 67 元 建议把最后不足部分的偿还方法说清楚 我们用的是 不足部分在下一 年的等价时间偿还的方法 与原答案有出入 23某贷款通过 2n 次偿还 在第 n 次偿还后 借款人发现其负债为原始贷款额 的 3 4 计算下一次还款中利息部份的比例 解 由题意得 3 4L Ranpi L Ra2npi vn 1 3 而 In 1 R 1 vn 故利息部分所占的比例是 2 3 北京大学数学科学学院金融数学系第 9 页 版权所有 翻版必究 24某银行提供月利率 1 的抵押贷款 如果借款人提前将贷款余额一次付清 只需对当时余额多付出 K 如果某人在第 5 年底找到另一家银行提供月利 率 0 75 的 10 年贷款 对这个借款人来说 K 的最大可接受值为多少 解 K 最大可接受 即这个借款人在两家银行每月的还款额相同 a120p0 75 1 K a120p1 K 13 258 25现有 10000 元贷款利率 10 已知借款人以 8 累积偿债基金 第 10 年底 的偿债基金余额为 5000 元 第 11 年的还款金额为 1500 元 计算 1 1500 元中的利息量 2 1500 元中的偿债基金存款 3 1500 元中偿还当年利息的部分 4 1500 元中的本金量 5 第 11 年底的偿债基金余额 解 1 I11 10000 10 1000 元 2 偿债基金存款额为 1500 1000 500 元 3 也即是计算净利息 1000 5000 8 600 元 4 本金量 1500 600 900 元 5 11 年底的偿债基金余额 5000 1 8 500 5900 元 26证明 anpi j snpj 1 isnpj 证 利用 L Ranpi j L R iL snpj 消去R可得 L anpi j iL snpj L 再适当变形便可得结论 北京大学数学科学学院金融数学系第 10 页 版权所有 翻版必究 27现有利率为 9 的 10000 元贷款 每年底还利息 同时允许借款人每年初以 利率 7 向偿债基金存款 K 如果在第 10 年底偿债基金的余额恰足以偿还 贷款 计算 K 解 由题意得 K s10p7 104 K 676 43 28现有 10 年期贷款年利率 5 每年底还贷 1000 元 贷款的一半按摊还方式 进行 另一半按额外提供 4 年利率的偿债基金方式还款 计算贷款额 解 设贷款额为 X 有 X 2 R1a10p5 X 2 R2anp5 4 1000 R1 R2 整理得到 X 2 1 a10p5 1 anp5 4 1000 X 7610 48 元 29为期 10 年的 12000 元贷款 每半年还款 1000 元 已知前 5 年以 i 2 12 计息 后 5 年以 i 2 10 计息 每次还款除利息外存入利率 i 2 8 的偿 债基金 计算第 10 年底偿债基金与贷款之间的差额 解 前 5 年每半年放入偿债基金 1000 12000 6 280 后 5 年每半年放入偿债基金 1000 12000 5 400 故第 10 年底偿债基金余额为 280s10p4 1 4 10 400s10p4 9778 6 于是差额为 2221 4 元 北京大学数学科学学院金融数学系第 11 页 版权所有 翻版必究 30为期 10 年的 3000 元贷款 以 i 2 8 计息 如果借款人将贷款的 1 3 通过 存入利率 i 2 5 的偿债基金偿还 剩余的 2 3 通过存入利率 i 2 7 的 偿债基金偿还 计算每年的还款总额 解 设对于 1 3 部分贷款每年还款为 R1 剩余部分贷款每年还款为 R2 有 R1 1000 4 s20p2 5 1000 R1 2000 4 s20p3 5 2000 分别解得 R1 79 15 R2 150 72 故每年的总还款额为 R1 R2 229 87 元 31为期 31 年的 400000 元贷款 每年底还款 36000 元 若以年利率 3 建立偿债 基金 计算原贷款利率 解 设原贷款利率就是 i 有 36000 400000i s31p3 400000 解得 i 7 32某 20 年期末年金 以前 10 年利率 8 后 10 年利率 7 计算的现值为 10000 元 某投资者以年利率 9 买得该年金 并允许以累积偿债基金的方式收回 这笔资金 偿债基金前 10 年利率为 6 后 10 年利率为 5 计算偿债基金 的存款额 解 设期末年金每年的金额是 R 偿债基金存款额为 X 未结贷款余额为 P 有 10000 Ra10p8 Ra10p7 1 8 10 R X P 9 P Xs10p 6 1 5 10 Xs5 p 解得 X 246 95 元 有待讨论 我们认为年利率 9 就是利率 i 北京大学数学科学学院金融数学系第 12 页 版权所有 翻版必究 33某 n 年期利率为 i 的贷款 以利率 j 建立偿债基金 试给出以下各问的表达 式 1 6 t 6 n 1 贷方每年得到的利息 2 偿债基金每年的存款额 3 第 t 年偿债基金所得利息 4 偿债基金在第 t 年底的余额 5 第 t 年底的未结贷款余额 6 第 t 年支付的净利息 7 第 t 年支付的本金 解 设贷款额为L 1 贷方每年得到的利息为 iL 2 由偿债基金的定义知 偿债基金每年的存款额为 L snpj 3 偿债基金在 t 1 年末的余额是 L snpj st 1p 故在第 t 年所得利息为 jL 1 j t 1 1 1 j n 1 4 偿债基金在第 t 年底的余额是 L snpj stpj L 1 j t 1 1 j n 1 5 第 t 年底的未结贷款余额为 L L 1 j t 1 1 j n 1 L 1 j n 1 j t 1 j n 1 6 第 t 年支付的净利息为 iL jL 1 j t 1 1 1 j n 1 7 第 t 年支付的本金量是第 t 年偿债基金所得利息与第 t 年存入偿债基金 金额之和 即为 jL 1 j t 1 1 1 j n 1 L snpj j 1 j t 1L 1 j n 1 北京大学数学科学学院金融数学系第 13 页 版权所有 翻版必究 34为期 10 年的 100000 元贷款 贷款利率 12 同时以年利率 8 建立偿债基 金 已知前 5 年还款为 K 后 5 年还款为 2K 计算 K 解 每年的利息为 100000 12 12000 故 100000 K 12000 s5p8 1 8 5 2K 12000 s5p8 解得 K 13454 36 元 35某 10000 元贷款以利率 i 12 15 按月偿还利息 同时以利率 i 12 9 每 月存款 100 元累积偿债基金 一旦偿债基金的余额达到 10000 元 则结束还 贷 计算借款人总的还款额 解 每月还利息为 10000 i 12 12 125 元 于是每月总支出为 100 125 225 再由 100snp7 5 10000 n 75 但需要注意 100snp7 5 10 000 18 33 故最后一个月放入偿债基金的应 是 100 18 33 元 所以总共还款额为 75 225 18 33 16856 67 元 36为期 25 年的 100000 元贷款 贷款利率 12 如果贷款人从每年的还款中 以年利率 i 提取利息 同时将剩余部份以利率 j 累积偿债基金 分别对 j 8 12 和16 三种情况计算 i 解 j 12 相当于按照摊还方式对应的利率 设每次还款额为 R 于是 R L a25p0 12 北京大学数学科学学院金融数学系第 14 页 版权所有 翻版必究 再根据偿债基金的定义有 R iL s25pj L 解得 i 1 a25p12 1 s25pj 代入数据便有 1 j 8 时 i 11 38 2 j 12 时 i 12 3 j 16 时 i 12 35 37现有 10 年期贷款按月偿还 其中月换算名利率 i 12 12 首次为 600 元 然后每次增加 5 元 1 计算原始贷款金额 2 证明 Pt P1 1 0 01 t 1 5st 1p1 解 L 595s120p1 5Ia120p1 58490 89 元 证 这个题证明方法不唯一 比如利用递推关系 找规律再用归纳法证明 下面 给出的证明方法是作者认为最简单的 如果每次还款额是一样的 那么 Pt 呈等比数列 且 Pt P1 1 i t 1 于 是我们只需要将两种还款方式进行比较即可 下面用 B1 t 表示等额还款时 第t次的未结贷款余额 B2 t 表示按题中方式进行还款时第 t 次的未结贷款 余额 于是 B1 t L 1 i t 600stpi B2 t L 1 i t 600stpi 5Ist 1pi 故 P 2 t P 1 t B2 t 1 B 2 t B 1 t 1 B 1 t B2 t 1 B 1 t 1 B 1 t B2 t 5 Ist 1pi Ist 2pi 5st 1pi 直接带公式化简 北京大学数学科学学院金融数学系第 15 页 版权所有 翻版必究 于是 Pt P1 1 0 01 t 1 5st 1p1 38某帐户现有 1000 元存款 每月实利率 1 且月月结算 如果每次恰好在利 息结算的下一个瞬间取出 100 元 问 最多可以提取几次 同时给出该帐户 每月余额和利息的列表 解 设第 t 个月帐户余额为 Bt 于是 Bt 1000 1 i t 100stpi 容易算得 t 10 时 帐户余额首次低于 100 元 故最多能够提取 10 次 每 月结余和利息列表如下 月份利息帐户余额 00 001000 00 110 00910 00 29 10819 10 38 19727 29 47 27634 56 56 35540 91 65 41446 32 74 46350 78 83 51254 29 92 54156 83 101 5758 40 39已知某贷款每半年偿还 K 元 且三次连续还贷后的贷款余额为 5190 72 5084 68 和 4973 66 计算 K 解 利用追溯法可得 5190 72 1 i K 5084 68 5084 68 1 i K 4973 66 由此可解得 K 349 81 元 北京大学数学科学学院金融数学系第 16 页 版权所有 翻版必究 40利率为 i 的贷款 L 每次偿还 K 直至最后的不足额 不足金额 K 还款 证 明 Bt K i K i L 1 i t 证 利用追溯法 Bt L 1 i t Kstpi L 1 i t K 1 i t 1 i K i K i L 1 i t 41现有 1000000 遗产 年投资收益 5 由 A B 和 C 三人继承 A 每年从本金 中得到 125000 元 累计 5 年 B 每年从本金中得到 75000 元 累计 5 年 C 每年得到利息 计算三人的遗产继承份额 解 1 A 继承遗产的终值为 125 000s5p5 690 703 91 元 2 B 继承遗产的终值为 75 000s5p5 414 422 34 元 3 C 继承遗产的终值为 1 000 000 1 0 05 5 125 000s5p5 75 000s5p5 171 155 31 元 故三人的遗产继承份额分别为 54 12 32 47 13 41 42某 10 年期年金 每季度 500 元 年利率 8 计算 10 年间所有的利息收入 解 设季实利率为 i 则 i 满足 1 i 4 1 8 解得 i 1 94 于是利息收 入为 500s40pi 500 40 9811 27 元 43现有 5 年期 10000 元贷款 半年换算名利率 12 若在偿还利息之后 借款 人每年年底以年利率 8 的存款方式累积贷款本金 计算 5 年内的还贷总 额 解 1 每年偿还利息为 10 000 12 2 2 1200 元 2 每年偿还本金为 10000 s5p8 1704 56 元 故 5 年内还贷总额为 1200 1704 56 5 14522 82 元 北京大学数学科学学院金融数学系第 17 页 版权所有 翻版必究 44某贷款以每年年底还 3000 元偿还 季换算名利率 10 若第 3 次还款中的 利息量为 2000 元 计算第 6 次还款中的本金量 解 设等价年实利率为 i 则 i 1 10 4 4 1 10 38 由题意 3000 1 vn 2 2000 解得 vn 2 1 3 故第六次还款中的本金为 3000vn 5 3000vn 2v 3 1344 84元 45现有 10 年期 5000 元贷款 季换算名利率 10 借款人在第 10 年底一次性 偿还所有累计利息和本金 为此 以半年换算名利率 7 累计偿债基金 计 算偿债基金的每次存款额 解 设每次存入偿债基金金额为 R 由题意得 Rs20p3 5 5000 1 2 5 40 解得 R 474 73 元 46现有 3000 元贷款按季度分 20 次摊还 第 11 次和 12 次因故取消 经协商 摊还从第 13 次重新开始 且每次金额为 N 但是第 14 16 18 和 20 次的 还款都比正常还款逐次增加 40 元 已知半年换算名利率8 计算 N 为多少 方可保证按原计划如期还贷 解 设季度实利率为 i 由题意有 3000 Ra20pi 1 i 2 1 8 2 Ra10pi 1 i 2 Na8pi 40Ia4p4 i 0 0198 R 183 087 N 185 08 元 47设有 10 年期贷款 其还款方式为 首次还款全部用于还利息 第 2 次还款为 第一次的两倍 第三次还款为第一次的三倍 依次类推 证明 Ia10p a p 证 不妨设贷款总额为 1 利率为 i 则第 n 年还款为 ni 于是 1 iIa10p 故 Ia10p 1 i a p 北京大学数学科学学院金融数学系第 18 页 版权所有 翻版必究 48某贷款分 10 次偿还 第 1 次还款 10 元 第 2 次还款 9 元 依次类推 证明 第 6 次还款中的利息为 5 a5p 元 证 由题意得 L Da10p 利用追溯法 B5 L 1 i 5 5s5p Da5p 于是 I6 iB5 iL 1 i 5 5is5p iDa5p 10 a10p 1 i 5 5 1 i 5 1 5 1 i 5 s5p 5 s10p 1 i 5 s5p 5 a5p 49某贷款的偿还方式为 第 1 年底 200 元 以后每年递增 50 元 直至 1000 元 问 如果年利率 4 第 4 次还款中的本金量 解 利用预期法可得 B3 300a14pi 50Ia14pi 6795 18 元 故第 4 次还款中的本金量为 350 iB3 78 19 元 50某 1000 元贷款 每半年一次分 10 次等额偿还本金 同时按照半年换算名利 率 6 偿还利息 为了保证半年换算名利率 10 的收益率 计算该贷款的出 让价格 解 设出让价格为 P P 1 10 2 10 1000 10 s10p5 1000 10 6 2 Da 10p5 1480 45 P 908 87 元 北京大学数学科学学院金融数学系第 19 页 版权所有 翻版必究 51现有 8000 元 20 年期抵押贷款 每半年偿还 100 元再加上以利率 5 计算的 贷款余额的利息 在恰好得到第 15 次还款后 贷款人转卖了这个贷款 价格 满足 贷款利率为 6 偿债基金利率为 4 假定以上所有利率均为半年换 算名利率 证明 1 如果每半年的净回报相等 贷款转让价格为 75s25p2 6250 1 0 03s25p2 元 4412 元 2 如果每半年的偿债基金的存款额相同 则转让价格为 s25p2 0 03a25p3 a25p3 125 1 0 03s25p2 元 4453 元 证 52设有利率 10 的 2000元贷款 其还贷方式为 第一年底400元 然后按 4 的 比例递增 最后一次将小量余额付清 计算 1 计算第 3 年底的未结贷款余额 2 计算第 3 次偿还中的本金量 解 做摊还表 次数利息部分还款额本金部分未结贷款余额 12004002001800 21804162361564 3156 40432 64276 241287 76 53两笔 30 年等额贷款都以 4 利率偿还 甲每年等额偿还 乙每年的还款中的 本金量为常数 利息按摊还方式 计算甲的还款额首次超过乙的时刻 解 设贷款总额为 1 甲乙每年的还款额分别为 R甲 R乙 n R甲a30p4 1 R乙 n 1 30 31 n 30 4 解 R甲 R乙 n得 n 12 6 所以 甲的还款额在第 13 次首次超过乙 北京大学数学科学学院金融数学系第 20 页 版权所有 翻版必究 54甲以实利率 i 投资 其中第 1 年底取出利息收入的 162 5 第 2 年底取出利 息收入的 325 依此类推 已知在第 16 年底原始投资资金全部收回 计算 i 依此类推 有歧义 加上 第 3 年底取出利息收入的 487 5 解 考虑最后一年 设第 15 年底未结余额为 1 第 16 年底取出利息收入 i 的 162 5 15 于是 1 i 162 5 15i 解得 i 4 28 55贷款额为 a25p 的贷款以连续年金方式偿还 连续偿还函数为 1 期限为 25 年 如果 i 0 05 计算第 6 年到第 10 年间的偿还利息总额 与原答案有出入 解 记利息力为 I 10 6 25 t vs tdsdt 10 6 1 v25 t lnv dt 4 v15 v19 lnv 2 25204 56证明 1 i t stp an tp anp an tp 证 两边同时乘 anp 移项得 1 i t anp an tp stp 左边 1 i t anp 为 n 期标准连续年金在 t 期期末的现值 右边 an tp stp 是 n 期标准连续年金前 t 期与后 n t 期在 t 期期末的现值 之和 于是得证 北京大学数学科学学院金融数学系第 21 页 版权所有 翻版必究 57设有连续方式偿还的 n 年期贷款 时刻 t 的偿还额为 t 给出未结贷款余额 的计算式 解 Bk n k tvt kdt n 0 tvt kdt k 0 t 1 i k tdt 1 i k I a np I s kp ne n lnn 1 se s lns 1 或者 Bk n k tvt kdt n k 0 t k vtdt I a n kp k an kp 58现有连续方式偿还的 10 年期贷款 其贷款余额呈线性变化 已知连续利率 为 10 计算 1 前 5 年偿还的本金总额 2 前 5 年偿还的利息总额 解 设贷款总余额 1 1 dBt d 1 t 10 1 10 所以前 5 年偿还的本金总额为 1 2 2 前 5 年偿还的利息总额 I 为 5 0 iBtdt 10 5 25 20 0 375 59已知某保险赔偿方式为 截至索赔发生后 t 时刻的未赔偿额为 e t 1 求 连续赔偿函数 2 索赔发生时的未赔偿额 3 如果连续利率为 计算所有未赔偿额在时刻 t 的现值 解 1 P t dBt e t 2 把 t 0 代入得 B0 北京大学数学科学学院金融数学系第 22 页 版权所有 翻版必究 3 t Pte sds t e sds se t 60现有 2000 元贷款是通过每季度偿还 P 元进行还贷 贷款方要求对未结贷款 余额中低于 500元 的部分按利率 i 4 1 16 计息 对超过500元的部分按利 率 i 14 2 14 计息 如果已知第一年底的余额为 1000 元 计算 P 01234 PPPP 500 1500 i 4 1 i 4 2 解 注意到在第一年中余额都在 500 元以上 所以把 2000 1500 500 元拆 成 两个现金流 于是以第一年底为比较日 有 500 1 i 4 1 4 4 1500 1 i 4 2 4 4 P s4p3 5 1000 解得P 309 9 元 61设有按季度分期偿还的 1000 元贷款 每次还款 100 元 不足部分的余额最后 一次付清 贷款方要求对未结贷款余额中低于 500 元的部分利率 i 4 12 计息 对超过500元的部分利率 i 4 8 计息 1 计算第 4 次还款中的本金 2 证明 在未结贷款余额达到 500 元之前 每次的本金量加上一个常数后 形成等比数列 即 Pt 1 K Pt K 1 j t 1 2 n 1 北京大学数学科学学院金融数学系第 23 页 版权所有 翻版必究 并计算 K 和 j 解 注意到 4 次还款后余额还在 500 元以上 所以可以分成两个现金流 500 12 4 15 元 100 15 85 元 500 1 8 4 3 85 s3p2 270 47 元 100 15 270 47 8 4 79 59 元 证 由上面的分析有 Bn 500 500 1 8 4 n 85 snp2 Pn 100 Bn 1 500 2 500 3 100 500 1 02n 1 85 1 02n 1 1 0 02 2 15 75 1 02n 1 因此 K 0 j 2 默认 期末 好像算得有问题 62某 3000 元贷款要求在一年内逐月分期偿还 对未结贷款余额在 1000 元以下 的部分以月利率 1 5 计息 对未结贷款余额在 1000 元到 2000 元之间的部 分以月利率 1 25 计息 对未结贷款余额在 2000 元到 3000 元之间的部分以 月利率 1 计息 计算每次的还款金额 解 若都是按 1 5 收利息 则每次的应还款是 3000 a12p1 5 275 04 若都是按 1 收利息 则每次的应还款是 3000 a12p1 266 55 北京大学数学科学学院金融数学系第 24 页 版权所有 翻版必究 因此 所求应在 266 55 和 275 04 之间 由此 可以推断出在第 4 次还款后余额第一次在 2000 元以下 第 9 次还款 后余额第一次在 1000 元以下 设每次的还款额是 X 元 第四次还款后的余额为 B4 2000 1000 1 1 4 X 1000 1 5 1000 1 25 s4p1 3152 27 4 0604X 第八次还款后的余额为 B8 1000 B4 1000 1 1 25 4 X 1000 1 5 s4p1 25 3323 05 8 34289X B8 Xa4p1 5 3 85438X 联立解得 X 272 44 元 63证明等式 并解释其含义 anp i n 1 i 0 an tp n 证 等式左边是一个 n 期的标准期末年金的初值和 n 个分别是 n n 1 1 的 期末年金的和 如图所示 0123 7 111 1 iii i ii i 111 1 ni n 1 i i 可以对现金流重新划分 如上所示 考虑初始值为 n 利息为 i 的摊还表 刚好如 上 第一行 第二行分别是每次摊还的本金和利息 所以等式得证 北京大学数学科学学院金融数学系第 25 页 版权所有 翻版必究 64某遗产恰好可以以年利率 3 5 每年得到 10000 元 累计 10 年 已知在过去 的 5 年中按计划实施 但是实际的年收益率为 5 问 第 5 年底遗产本身多 收入多少利息 解 设遗产期初的现值为 X 有 X 10000 a10p3 5 83166 05 第 5 年底的遗产本身应收入的利息为 I 3 5 10000 a10p a9p a8p a7p a6p 11984 47 元 第 5 年底的遗产本身实际收入的利息为 I 5 B0 B1 B2 B3 B4 5 X 1 5 X 10000 1 5 2X 10000 s2p5 1 5 3X 10000 s3p5 1 5 4X 10000 s4p5 17720 93 元 第 5 年底多收入的利息为 17720 93 11984 47 5736 46 元 65某人在银行存入 10 年定期存款 计划 10 年底连本带利取出 10000 元 年利 率 5 在第 5 年底银行下调利率为 4 分别计算前 5 年和后 5 年每年的存 款额 解 设前 5 年和后 5 年每年的存款额分别为 R1 R2 R1s10p5 10000 R1s5p5 1 4 5 R2s5p4 10000 北京大学数学科学学院金融数学系第 26 页 版权所有 翻版必究 解得 R1 795 05 元 R2 859 46 元 66某企业当前产品的月产量为 9000 个单位 单位售价为 85 元 现有一种新产 品开发计划 初始贷款 1500000 元 每月付利息 1 5 本金 40 个月后一次 还清 然后每月成本为 15816 元 新产品的设计月产量为 12000 个单位 如 果该企业有能力以月利率 1 累计偿债基金 企业希望新产品月利润超过老 产品 30000 元 且单位价格下降 X 计算 X 解 有方程 9000 85 30000 12000 85 X 1500000 1 5 15816 1500000 s40p1 解得 X 13 67年利率 8 的 20 年期贷款 因故未能在第 6 7 和 8 年底进行正常还贷 作 为补偿 要求在第 9 和 20