坎迪定理在圆锥曲线上的推广_第1页
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中学数学 研究2007 年第3期 坎 迪 定 理 在圆 锥曲 线 上 的 推广 江西省宁 都中学 342800 段惠民 饶庆生 将平面儿何中 著名的 蝴蝶定理推广便有 坎 迪定理 1 如图1 甲 过圆 的弦AB 上任意一点M 引任意两条弦 刀和EF 连 ED CF 交AB于P 和Q 若AM a BM b PM x QM y 则 1 1 一 y 一 1 H 一 一 1 一 6 1 一 a 特别地 a b 时即 得蝴蝶定理 一 1 石 1 a 甲 乙 图 1 丙 合 的 方 程 为y klx y k2x 则过C E D F 四 点的二次曲 线系方程为 F x y Ax2 Bzy 以 Dr一 C a b y abC a 一 klx y一 k2x 0 1ER 曲 线 系 包 括了 除 y klx y k2x 0之外的 任意一条过C E D F 的二次曲 线 的 方程 也包括由 直线CE DE 或CE DF 组 成的 退化 二 次曲 线 故曲 线系 在y 轴上 有 截距 MP MQ 设 瓦 币二 yp 而 页 y4 则yp y4 是 方 程 F 0 y 0 的 根 C a 少一 C a b y abC 0 文 2 补充了P Q 两点在线段AB延长线 上的两种情况 如图1 乙 丙 所示 本文将上述定理推广到圆 锥曲 线上得到 定理1设月 丑是二次曲线的任意一条 弦 M 为AB上任意一点 过M 作任意两条弦 CD 和EF 连ED CF 交直线AB 于P 和Q 若 PIQ 位于M 两侧 则 几么 在IA M 工 y P I 故 当P Q 位于M 两侧时 BMI一 PMI 1 一 QM 当P Q 位于M 同一侧且 AMI IBM I 1111 时 1 IAM 一 刀 MI PM I JAMI一 IB MI IPMI一 Q MI 2 若尸 Q 位于M 同一侧 IAMI IBM I 111 则TA f 一Tnw r i 二I葫 I 乃 八 M 刀 M PM 证取 M 为坐标原 点 直线月 刀为 y 轴 建立 直 角坐标系 设A 0 a B 0 b 并设过A B 两点 的任意二次曲 线方程为 定理1证毕 从定理1 的证明过程可知 更一般地表述 形式可写成 定理2过任意二次曲线的弦AB 上一点 M 作两条弦CD EF 设过C E D F 四点的 二次曲 线 含退化二次曲 线 与直线AB 相交于 则 1 P Q 两点 若PIQ 位于M 两侧 11 AM 刀 M PM I 若尸 Q 位于M 同一侧 Axe Bxy 以 Dx 汤 F O 当x 0 时 yi a y2二 b C y2 Ey F二 C y一 a y一 b 1 只 J I A1 1A 布 一 1r u vl I C y2 BM I一 PMI 一 Q M I IAMI BMI 1 QM I 一 C a b y abC 0 设 过M 的任意两弦CD EF 不与月 刀重 1 郭要红 戴普庆 学出 版
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