排列组合复习

排列组合复习 计数的基本原理 排列 组合 排列数Anm公式 组合数Cnm公式 组合数的两个性质 应用 本章知识结构 分类计数原理完成一件事 有n类办法 在第1类办法中 有m1种不同的方法 在第2类办法中 有m2种不同的方法 在第n类办法中 有mn种不同的方法 则完成这件事有N m1 m2 mn种不同的方法 分步计数原理完成一件事 需要分成n个步骤 在第1步中 有m1种不同的方法 在第2步中 有m2种不同的方法 在第n步中 有mn种不同的方法 则完成这件事有N m1 m2 mn种不同的方法 分类计数原理与分步计数原理之间的区别与联系 1 分类计数原理中各类方法之间是互相独立的 每一类每一种方法都能直接完成这件事情 分步计数原理中 各个步骤之间是相互联系的 依次完成所有步骤才能完成这件事情 2 分类计数原理的重点在一个 类 字 分步计数原理的重点在一个 步 字 应用加法原理时 要注意 类 与 类 之间的独立性和并列性 在各类办法中彼此是独立的 并列的 应用分步计数原理时 要注意 步 与 步 之间的连续性 做一件事需分成若干个步骤 每个步骤相继完成 最后才算做完整个工作 练习1 书架上放有3本不同的数学书 5本不同的语文书 6本不同的英语书 1 若从这些书中任取一本 有多少种不同的取法 2 若从这些书中 取数学书 语文书 英语书各一本 有多少种不同的取法 3 若从这些书中取不同的科目的书两本 有多少种不同的取法 答案 N m1 m2 m3 3 5 6 14 N m1 m2 m3 90 N 3 5 3 6 5 6 63 练习2 由数字0 1 2 3 4可以组成多少个三位整数 各位上的数字允许重复 解 要组成一个三位数 需要分成三个步骤 第一步确定百位上的数字 从1 4这4个数字中任选一个数字 有4种选法 第二步确定十位上的数字 由于数字允许重复 共有5种选法 第三步确定个位上的数字 仍有5种选法 根据乘法原理 得到可以组成的三位整数的个数是N 4 5 5 100 答 可以组成100个三位整数 从n个不同的元素中 任取A个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同的元素中取出A个元素的一个排列 排列与排列数 所有排列的个数叫做排列数 用表示 判断下列几个问题是不是排列问题 从班级5名优秀团员中选出3人参加上午的团委会 1000本参考书中选出100本给100位同学每人一本 1000名来宾中选20名贵宾分别坐1 20号贵宾席 组合 两个组合的元素完全相同为相同组合 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数的两个性质 性质1 性质2 判断下列几个问题是排列问题还是组合问题 1 由数字1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数 其中偶数共有个 2 用0 1 2 3 4 5组成没有重复数字的三位数 共有个 3 五名同学排成一排 其中的甲乙两同学必须站在两端 共有种不同排法 48 100 12 例1 典型例题 有条件的排列问题 有条件的排列问题 例3七个家庭一起外出旅游 若其中四家是一个男孩 三家是一个女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 a 若三个女孩要站在一起 有多少种不同的排法 解 将三个女孩看作一人与四个男孩排队 有种排法 而三个女孩之间有种排法 所以不同的排法共有 种 捆绑法 有条件的排列问题 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 b 若三个女孩要站在一起 四个男孩也要站在一起 有多少种不同的排法 说一说 相邻 有条件的排列问题 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 c 若三个女孩互不相邻 有多少种不同的排法 解 先把四个男孩排成一排有种排法 在每一排列中有五个空档 包括两端 再把三个女孩插入空档中有种方法 所以共有 种 排法 有条件的排列问题 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 c 若三个女孩互不相邻 有多少种不同的排法 插空法 有条件的排列问题 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 d 若三个女孩互不相邻 四个男孩也互不相邻 有多少种不同的排法 说一说 互不相邻 B 有条件的排列问题 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 e 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边 有多少种不同的排法 B A A 有条件的排列问题 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 e 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边 有多少种不同的排法 B A 对应思想 例4有12名划船运动员 其中3人只会划左舷 4人只会划右舷 其它5人既会划左舷 又会划右舷 现要从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛 有多少种不同的选法 例5某班一天有数学 语文 物理 英语 体育 自习六节课 按下例要求排课表 分别有多少种不同的排法 1