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例2 学校开设语文 数学 外语 政治 物理 化学 体育7门课 如果星期五只开设4节课 体育不排在第1 4节 问有多少种排列法 间接法 解3 共有 A74 2A63 600 种 解2 共有A62 A52 600 种 特殊位置优先考虑 解1 共有A64 A21A63 600 种 特殊元素优先考虑 两种途径 特殊元素分析 特殊位置分析 直接法 例3学校组织老师学生一起看电影 同一排电影票8张 5个学生 3个老师 要求老师在学生中间 且老师互不相邻 共有多少种不同的坐法 解先排学生共有种排法 然后把老师插入学生之间的空档 共有4个空档可插 选其中的3个空档 共有种选法 根据乘法原理 共有的不同坐法为种 常用的方法 1 插空法 对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题 可以用插入法 即先排好没有限制条件的元素 然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可 例45个男生3个女生排成一排 3个女生要排在一起 有多少种不同的排法 解因为女生要排在一起 所以可以将3个女生看成是一个人 与5个男生作全排列 有种排法 其中女生内部也有种排法 根据乘法原理 共有种不同的排法 常用的方法 2 捆绑法 要求某几个元素必须排在一起的问题 可以用捆绑法来解决问题 即将需要相邻的元素合并为一个元素 再与其它元素一起作排列 同时要注意合并元素内部也可以作排列 例5期中安排考试科目9门 语文要在数学之前考 有多少种不同的安排顺序 解不加任何限制条件 整个排法有种 语文安排在数学之前考 与 数学安排在语文之前考 的排法是相等的 所以语文安排在数学之前考的排法共有种 常用的方法 3 对等法 在有些题目中 它的限制条件的肯定与否定是对等的 各占全体的二分之一 在求解中只要求出全体 就可以得到所求 练习2 2005年辽宁卷 用用1 2 3 4 5 6 7 8组成没有重复数字的八位数 要求1与2相邻 3与4相邻 5与6相邻 而7与8不相邻 这样的八位数共 个 用数字作答 练习3A B C D E五人站成一排 如果B必须站在A的右边 那么不同的站法有多少种 练习5给定数字0 1 2 3 5 9 每次数字最多用一次 1 可以组成多少个四位数 2 可以组成多少个四位奇数 3 可以组成多少个四位数偶数 练习4马路上有编号为1 2 3 10的十只路灯 为节约电而不影响照明 可以把其中的三只路灯关掉 但不能同时关掉相邻的两只或三只 也不能关掉马路两端的灯 问满足条件的关灯方法有多少种 例6高二年级8个班 组织一个12个人的年级学生分会 每班要求至少1人 名额分配方案有多少种 解此题可以转化为 将12个相同的白球分成8份 有多少种不同的分法问题 因此须把这12个白球排成一排 在11个空档中放上7个相同的黑球 每个空档最多放一个 即可将白球分成8份 显然有种不同的放法 所以名额分配方案
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