蜘蛛网模型.doc

参赛队号#1144第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛承 诺 书我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。我们的参赛队号为：1144参赛队员 (签名) ：队员1：刘阳 队员2：吴平队员3：王臣杰 参赛队教练员 (签名)：邓昌瑞 参赛队伍组别：专科组第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛编 号 专 用 页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：1144 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2012年第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛 题 目 探讨蜘蛛网结构的合理性 关 键 词 捕食期望 能量守恒 整形规划 蛛网结构 摘 要自然界中绝大部分蜘蛛依靠织网捕食为生，但同一种类织网捕食的蜘蛛往往由于某种原因，其所织网的结构有所差异。而蜘蛛网织成怎样的结构才最合理呢，对于这个问题，我们分别运用捕食期望、边界讨论、整型规划、阻尼运动等方法建立了数学模型，顺利地解决了该问题。首先，蜘蛛停留在网的中心，由于蜘蛛网上每个点出现猎物的概率是相等的，运用函数方程求解出蜘蛛网上每个点的捕食期望，进而得出整个蛛网的捕食期望。结构不同的蜘蛛网其捕食期望值也不同。期望值越大，这种结构的蜘蛛网捕食能力越强。把蜘蛛网的周长作为一个定值，可以衍生出的蜘蛛网结构有三角形，正四边形，正五边形，以此类推，当蜘蛛网半径趋于无穷大时，把此时的结构看作圆形来处理。其次，选取三角形、四边形，圆形这三种蜘蛛网结构，结合极限思想分别求得其各自的捕食期望值。通过对比，得出圆形结构为最合理的蜘蛛网结构。根据捕丝之间存在的几何关系，运用整形规划，列出目标函数。通过查得的数据，对半径丝条数与体重、捕食面积与体重，以及捕食丝间距与蜘蛛体重进行拟合，得到三个二次函数的关系式，应用软件求解，得出当蜘蛛网结构的半径条数为条，捕丝条数为条，各条捕丝之间的间距为时，该蜘蛛网结构将更加趋于合理。然后对昆虫冲向蜘蛛时蛛网所做的运动进行考虑。在昆虫撞向蜘蛛网的那一刻，昆虫具有一个初速度，受到阻挡作用，昆虫开始做加速度逐渐增大的减速运动，由于蛛网对昆虫具有一个黏聚力，此时蜘蛛网开始运动。蜘蛛网具有一定的韧性，对其进行静力学分析，把昆虫的运动作为阻尼振动处理。先求出蜘蛛网受到昆虫冲击时承受的回复力，对其积分得到回复力所做的功，遵循能量守恒定律，进一步求得蛛网在昆虫撞击时所能承受的回复力公式。分别选取三角形，正方形，圆形的蜘蛛网结构，通过查阅资料，求得当昆虫被困在蜘蛛网上时，三角形所能承受的回复力大小为，正方形为,圆形结构为。由此可以看出圆形结构才是最合理的的蜘蛛网结构。但是圆形结构是理想的结构，所以蜘蛛网应织成半径丝条数为条正多边形，捕食丝边数为个，各条捕丝之间的间距为，此时的蛛网结构是最合适的。最后，提出了模型的改进方向，更深一步对蜘蛛网结构的合理性进行了补充，并对模型进行了评价与推广，保证了模型的有效可行。参赛密码 （由组委会填写）参赛队号 #1144 所选题目 A题 AbstractNature, most of the spider rely on netting a predator, but the same species of spider web feed on often for some reason, the difference between the structure of the web. And the structure of the spider webs made just the most reasonable how? To this problem, we are using predator expectations, boundary discussion, integer programming, damping and other sports method to establish the mathematical model, successfully solved this problem.First of all, stay in the center of the spider web, because the web each point in the probability of prey is equal, using the function equation of a spider web each point prey on expectations, and a conclusion that the entire web of the hunt expectations. The different structures of the spider webs its prey on expectations are different. The greater the expectations, the structure of the stronger ability to prey on the web. The perimeter of the web as a fixed value, can bring out web structure have triangle, are quadrilateral, pentagon is, and so on, when the radius of the web to infinite, the structure of the right now as round to deal with.Secondly, the selection of the triangle, quadrilateral, round the three web structure, combining extreme thought respectively given.according their respective hunting the expectations. By comparison, draw round structure for the most reasonable web structure. According to capture the geometric relationships between silk, using plastic planning, listed the objective function. Through the check data, to the radius of the article and weight, silk number prey on area and weight, and prey on space and the spider silk weight was fitted, get three quadratic function of the relationship, solving the application software, it is concluded that the structure of the article radius when web for article 38, hunt for article 45 article silk, catching the spacing between various silk for, the spider web structure will be more more reasonable.And then the insects to spider web do when considering the movement. In insects, crashed into the spider webs of that a moment, insects have a velocity, by blocking effect, insects begin to do is gradually increasing acceleration of the deceleration movement, because the web with a stick insect gathered force, this time the spider webs began to exercise. Web has certain toughness, and carry on the statics analysis, the movement of the insects as damping vibration processing. Seeking first by a web of shock response under insects force, the integral reply to force the work done, follow the law of conservation of energy, further seek in insects hit the web to withstand reply force formula. Were selected triangular, square, round spider webs structure, access to information, get when the insect is trapped in the spider web, triangle could take back force size of 0.183, a square is 0.3376, the circular structure for 0.958. Can see from this circular structure is the best reasonable cobwebs structure. But the circular structure is the ideal structure, so web woven wire should be the radius of the number of article 38 article is polygon, capture the size as silk 45, catching the spacing between various silk for, at this time of the web is the most appropriate structure.Finally, put forward the improving direction of model, one step further on the rationality of the spider web structure the supplement, and on the model evaluation and promotion, ensure the effective and feasible model.Keywords: feed on expectations web radius plastic planning software law of conservation of energy参赛队号#11441 问题重述1.1历史背景世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。蜘蛛的捕食方式：结网是蜘蛛通过丝囊尖端的突起分泌粘液，这种粘液一遇空气即可凝成很细的丝。以丝结成的网具有高度的粘性，是蜘蛛的主要捕食手段。对粘上网的昆虫，蜘蛛会先对猎物注入了一种特殊的液体枣消化酶。这种消化酶能使昆虫昏迷、抽搐、直至死亡，并使肌体发生液化，液化后蜘蛛以吮吸的方式进食。蜘蛛如果要获取足够的食物，就必须织出合理结构的蜘蛛网。1.2 问题提出请建立合理的数学模型，说明蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的。2 问题假设与符号说明2.1 问题假设：1 蜘蛛的吐丝总量是一定的。 2 每根丝的黏度及韧度相同。3 昆虫的质量相同。4 昆虫在未被捕捉前的运动情况一样。5 蛛网的分布是均匀的。6 昆虫被捕捉时开始做的运动为阻尼振动。7 蜘蛛网是一个平面图形，上面的每个点出现昆虫的概率的是相等的。8假设每相邻两条捕食丝的间距相等，两条相邻半径之间有条捕食丝，最长的一条捕食丝为2.2 符号说明：昆虫的质量 ：蜘蛛网对昆虫所做功：昆虫在蜘蛛网上的位移总和 ：昆虫做阻尼运动时的加速度：昆虫散发到空气中的能量 ：蜘蛛捕食函数的一个常量：捕食面上各点出现昆虫的概率 ：空气阻力对昆虫的回复力：蛛网对昆虫的回复力 ：昆虫冲向蜘蛛网的初速度 ：空气对昆虫的阻力系数 ：捕食面上任意一点的概率函数：不是平面任意一点的概率期望 ：整个捕食平面的捕食期望：半径丝的条数，即正多形的边数 ：半径丝的长度 ：每根的捕食丝的长度 ：最长的捕食丝：半径丝和捕食丝之和 ：半径丝的总长度：捕食丝的总长度 ：捕食丝与捕食丝之间的距离3 问题分析由于要说明蜘蛛网织成怎样的结构才最合适，我们对蜘蛛织网的结构做了调查，通过对蜘蛛捕食的过程的了解，分别对以下可能出现的蜘蛛网结构来进行分析。 首先由假设可知，蜘蛛网上的每个点出现昆虫的概率都是相等的，为了便于计算出蜘蛛网捕食面上的捕食期望，假定蜘蛛停留在蛛网的中心位置，并且每次捕食猎物所耗费的时间相等，通过计算期望值，可以看出哪种蛛网结构的捕食效果最好。 其次，当蜘蛛的吐丝量一定，即蜘蛛网的周长一定时来确定说明哪种蛛网结构的捕食面积最大。根据查阅资料所知，可能出现的蜘蛛网结构有三角形、正方形、正五边形，由此递推至正多边形，当边数趋近于无穷大时蜘蛛网结构就会变为圆形。选取三角形、四边形，圆形这三种蜘蛛网结构，分别求出各个结构的期望值，结合期望值并且运用极限思想，即在周长一定时比较上面三种蜘蛛网结构哪种捕食面积最大，通过最大的捕食面积来确定哪种蜘蛛网结构是最优的。然后，在上面确定出的最优蜘蛛网结构的前提下，运用整型规划来进行分析。根据捕丝之间存在的几何关系，把蜘蛛丝的总长度作为约束条件，确定出目标函数的表达式。通过查资料已知，蜘蛛的捕食面积和半径丝的条数分别与其体重呈正相关。先确定出一个蜘蛛丝的总长度，根据已知的关系，对半径丝条数与体重、捕食面积与体重，以及捕食丝间距与蜘蛛体重进行拟合，得到三个二次函数的关系式，应用软件求解，则可以得出蜘蛛网结构的半径条数、捕丝条数及各条捕丝之间的间距，用得到的数据进行蜘蛛网的排布，蜘蛛网结构的合理性才会增强。 接着，对蜘蛛网上的昆虫进行受力分析，。从昆虫冲向蜘蛛网的那刻开始，蜘蛛网就给昆虫一个阻止其向前运动的力，此时昆虫做加速度增大的减速运动，但这并不是周期性变化的，因为每一个来回都有能量损失，此时可以把昆虫所做的运动看着为阻尼振动。假定蜘蛛网对昆虫的回复力的大小与丝的拉长量成正相关，依据能量守恒定律，分别求解出正四边形，三角形以及圆形在昆虫冲向蜘蛛网时蛛网所受的回复力大小。通过对比，选出捕捉能力最强的蜘蛛网结构。最后，结合上面的分析，协调好最优蜘蛛网结构、最优半径丝条数和捕丝条数之间的关系，可以得到最合理的蜘蛛网结构。4 模型的建立与求解4.1 预备知识半径丝：半径丝是蜘蛛网的主要支撑结构，从网络的中心区域引出，与框丝相连，是一种黏性丝，具有很强的延展性。捕丝：捕丝通常呈现螺旋状结构，从网的中心区域向外旋转织出，用以黏住猎物，捕丝的间距可以反映蜘蛛的捕食策略和捕食效率。中心区域：位于圆网的中心，中心区域是用来均衡半径丝的拉伸力，来保持网的结构。框丝：位于蜘蛛网的外围，支撑半径丝和中心区域的连接，它决定了蜘蛛网的大小和朝向。停泊丝：是连接蜘蛛网与其固定物，对蜘蛛网起到固定和支持的作用。捕丝间距：两条相邻捕食丝之间的距离。阻尼振动：由于外界的摩擦和介质阻力总是存在的，在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会逐渐减小，经过一段时间，振动就会完全停下来，这种振幅越来越小的振动叫做组尼振动。4.2 捕食面的捕食期望模型建立每张网上的蜘蛛只有一只，假设蜘蛛未捕食时停留在蜘蛛网中心，并且蜘蛛每次捕食结束后都要回到原点。昆虫落到网上的位置与蜘蛛的距离有近有远，当昆虫落到距蜘蛛较近的地方时蜘蛛很快就能捕食，当昆虫落到距蜘蛛距离相对较远时，蜘蛛就没有那么迅速进行捕食。因为捕食面上每点出现昆虫的概率相等，故把捕食函数设为：捕食面上任意一点的捕食期望：整个捕食面的捕食期望：不同结构的蜘蛛网，其捕食面上的捕食期望值是不相同的，由上式可知，捕食期望越大时捕食能力就越强，即捕食期望大的蜘蛛网结构捕食效果就好。4.3 蜘蛛网最优形状模型由于面积越大蜘蛛捕到食物的几率就越大，把周长看作为一个定值，通过周长来确定出蜘蛛网面积，面积最大的时也就是蛛网的最优形状。假设周长为,三角形的各边长分别为 ，由海伦公式可得：由于：（当且仅当时取等号）图1 三角形状的蜘蛛网 当蜘蛛网结构为正三角形时，三角形的蛛网结构面积达到最大。此时最大面积为：，同时也说明，任意一个多边形其相同边数时正多边形面积是最大的。对于正方形其对应的面积为：图2 正方形状的蜘蛛网正六边形的面积为：图3 正六边形状的蜘蛛网圆形的面积为：图4 圆形状的蜘蛛网从上面的结果猜想可知，随着边数的增加则蜘蛛网面积随之增大。根据极限思想可知圆的边数最多，此时圆的面积也是最大的。证明： 在周长相同的情况下，圆的面积最大。定理： 周长为定值的边形中以正变形的面积为最大.(，公元前2世纪，希腊）。有公式可知：圆的面积为，正多边形的面积为，（其中为固定周长为正多边形的边数； 为正多边形外接圆的半径；为各边所对圆心角，可由公式知当时，最大，正多边形面积最大为比较可知：故，在周长一定的情况下，圆的面积最大。4.4 蜘蛛网结构参数最优化 由问题分析可知，蜘蛛织网时吐的丝为一定量，即半径丝和捕食丝长度之和是一定的，就是要求得捕食面最大、蛛网强度相当的蜘蛛网。在下面的模型中我们运用整型规划，求出最优半径丝和捕食丝的条数。首先，确定目标函数，即蜘蛛网的面积，其面积可分割成个大等腰三角形的面积和。周角记为，多边形边数为，即相邻两条半径丝的夹角为，利用三角函数求得大等腰三角形的腰长为，底边长为，切割一个大等腰三角形如图所示 图5 半径丝与捕食丝的关系由以上的图，可得整个蜘蛛网的面积为其次，确定目标函数的约束条件（1）蜘蛛丝的长度限制，蛛网所用丝的总长为半径丝与捕食丝之和由假设得出半径丝的总长度为即捕食丝可由个等腰大三角形中各个小等腰三角形底边边长的总和求得，由于捕食丝间距均为，把相邻两条的半径丝之间的各捕食丝记为，则捕食丝的总长度为可由三角形相似得等腰三角形底边长即捕食丝成等差数列，则有第一根捕食丝的长度 第二根捕食丝的长度 第三根捕食丝的长度 第四根捕食丝的长度 以此类推第根捕食丝的长度 所以可得捕食丝总长为综上可得蜘蛛丝总长度为由于蜘蛛丝为一定量，可知即可得到模型（2）半径丝的条数的范围由于半径丝根数与体重成正相关，根据在网上查得蜘蛛体重和半径丝的数据，利用相关的软件可将其拟合一个二次函数，解得：（其中为蜘蛛体重，单位，为半径丝根数，单位：条）把蜘蛛体重和捕食面面积的数据，也拟合成一个二次函数，解得（其中为蜘蛛体重，单位，为捕食面面积，单位）同以上的算法，拟合出蜘蛛体重和捕食丝间距关系，如下（其中为蜘蛛体重，单位，为平均捕食丝间距，单位）（3）确定模型中的数值根据文献资料得到蜘蛛的捕食面积与其体重呈正相关：；半径丝根数与其体重也呈正相关：。由于捕丝间距一定，捕丝条数越多时，捕食面积就越大，故半径丝条数与捕丝条数的比值可以近似地看作面积与半径丝的比值，即，把其捕食丝的相关数据处理得捕食丝长。（4）得出结果运用软件，对上面的最优化问题进行求解，得出其面积的最大值（程序见附录A）为 根据面积求出捕丝数为多边形的边数为捕丝间距为 通过以上的计算得出当，捕食丝数，捕丝间距时，形状为为正三十八边行，即为最合适的蜘蛛网结构。4.5 蛛网为何是弧形通过查阅资料我们发现当蜘蛛网受到外力作用时，能将外力传递到网的每一根线上。当虫子撞击网时，网能将能量传递到整张网络上，通过网的阻尼振动将虫子能量传递给空气，从而被消耗掉。保证了网不易被撞破或虫子被弹开。下面通过对网的静力学分析，预测虫子撞网后的运动状态。首先分析网的中心点力学特性:图6 捕食丝的受力图如上图，受拉力时缠绕在半径丝网的捕食丝节点间距会缩小，变得松驰，因此此时可以不计捕食丝的作用昆虫在未接触蜘蛛网之前，蜘蛛网处于平静状态，昆虫以某一初速度冲向蜘蛛网的时候，由于受到空气阻力和蛛网的缓冲力让昆虫做加速度增大的减速运动，直到速度减为0，然后做加速度减小的加速运动，在这期间能量已经有了很大损耗，这样昆虫在蜘蛛网上反复的做振动，由于有能量的损耗，这样的振动我们用阻尼振动来模拟，其昆虫在蜘蛛网上的运动情况就如下图所示：图7 昆虫位移的运动图像假设空气给予昆虫的弹性回复力为：，昆虫撞击到蜘蛛网的初速度为：，空气对昆虫的阻力系数为：，则上面几个量满足关系：。所做功为：昆虫在蜘蛛网上除了受到空气的阻力外还受到蛛网缓冲昆虫的回复力，我们用表示该回复力。由于蜘蛛网的丝是有韧性的，其中的力学性能类似于外力对弹簧的作用所以假设：蛛网对昆虫的回复力的大小与丝的拉长量成正相关的故有，蜘蛛网对昆虫所做功为：。对蜘蛛网对昆虫的作用力积分，可得其做功：昆虫在蜘蛛网上的运动是做阻尼振动，整个过程能量在不断地消耗能量的，但整个过程能量是守恒的，昆虫刚进蜘蛛网时的动能为：，而散发到空气中的能量为，蛛网所做功为：，由能量守恒守恒原理可得：空气阻力所做功为：所以有：求得：所以对昆虫总得回复力为：由网上查询资料可知：，假设：所以可计算出假设昆虫在冲向蜘蛛网的时候距离蜘蛛的高度为0.5米，蜘蛛网铺的是直线，昆虫撞击蛛网面为一个正方形。当蜘蛛网形为三角形时其中弧线长度为：，所以：总回复力为：当蜘蛛网形为圆形时:总回复力为：由于可知蜘蛛网织成圆形的结构其总回复力为最大的，此时此刻该网对昆虫的捕捉力最强，所以是最优的。因为在实际生活当中蜘蛛网是不可能织成圆形的，只能是正多边形。综上所述：蜘蛛网织成正38边形，半径丝的条数为38条，面积，圈数为45圈，这样的蜘蛛网结构捕捉昆虫是最合适的。5 模型的改进方向本文主要解决了理想化蜘蛛网的结构的组成，对网的面积进行了确定，对半径丝的条数进行了优化，以及对形成蛛网的圈数进行了合理的分析，这些都是单独在理想的环境条件下考虑的，而蜘蛛网是蜘蛛捕食的工具，蜘蛛网的结构影响蜘蛛捕食效率。 在不同环境条件下蜘蛛网的结构也会发生相应的变化，而这种变化通常都是都是用来调整蜘蛛捕食的策略和维持蜘蛛网的稳定。 由于在求解蛛网面积、半径丝条数、蛛网圈数对其中的约束条件限制得不是很好，所以需要做修改，在改进时需要用层次分析法对约束条件进行重新确定，让所求的的值更优的接近于蜘蛛网实际织网的情况，这才能更好的与实际相结合起来。6 模型的评价与推广6.1 模型的评价1.模型的优点（1）所建模型具有较强的物理理论基础，可信度较高。（2）模型的建立中运用到的基本数学方法（如：求导、求积分、三角函数）都比较简单易懂。（3）文中建立的模型与实际紧密联系，考虑了几种不同的蜘蛛网形状，并从中选出结构最优的，使模型贴近实际。（4）本文的假设合理，从一个角度出发，一步步的数学建模，逐个找出蜘蛛网的一些特征，所得的结论基本与实际吻合，从而说明了模型的合理性。2模型的缺点（1）本模型只对蜘蛛网的一些基础信息提出了我们的了解和看法，但对蜘蛛网对应的猎物没有进行分析，具有一定的局限性。（2）在问题中的有些问题没