第十一章静止流体.doc

第十一章靜止流體引言液體表面液體中的壓強毛細現象液柱氣泡和液滴阿基米德原理球面兩側的壓強差大氣壓強測量Y的方法壓強計和真空泵表面能表面張力引言液體和氣體可以流動所以稱為流體（fluid）。在考慮靜止流體性質之前，讓我們先定義一些基本術語，作為溫習。任取一質富為m、體積為V的物質作為樣本，它的密度P定義為： 用文字來表達，即密度是單位體積的質量。4時，水的密度是 100g cm-3，在國際單位制是1.00103 kgm-3；在室溫水銀的密度大約是13.6 gcm-3或13.6103 kgm-3。相對密度（relative density）這個術語有時也會用到，其定義是：它是一個比值，囚此沒有單位；而水銀的相對密度是13.6。如果一個力作用在面上（像磚的重量作用在地面上），考慮施加的壓強通常比考慮力的作用更為有用。有力F，垂直作用於一面積為A的面上，這個力所引起的壓強p定義為：因此壓強是單位面積所受的力。壓強的國際單位是帕斯卡（Pa），等於1 Nm-2。液體中的壓強在設計如圖11.1的水壩時，工程師必須掌握很多資料，尤其是大壩後面的水施加於壩上合力的大小及作用點的位置，這包括以液體壓強表達式為基礎的計算。（1）液體壓強的表達式與液體接觸的任何表面都受到液體施加的壓強。因為液體具有重量，壓強便隨茗深度的增加而增加。我們定義液體中某點的壓強為該點周圍很小面積上單位面積所受的力。因此，如果 dF是作用力， dA是很小的面積，那麼該點的壓強定義為：更精確一點，用微檳分術語，由以下方程定義：通過研究一個非常小的水平面積dA，如圖 11.2所示，我們可以導出來密度為r、深度為h的液體中壓強的表達式。垂直向下作用於 A上的力 dF等於高度為 h橫截面積為dA的液柱重。我們可以得到： 而 p = hrg所以液體中某點的壓強僅依賴於液體的密度和該點的深度。如果h的單位是米， r的單位是千克每立方米， g的單位是米每秒平方（ms-2）或牛頓每千克（N kg-1），那時壓強的單位便是帕斯卡。注： （i） 在上面的推導中，我們認為dA是水平的。但可以證明：dA的任何取向，都會得到同樣的結論，即液體中某點的壓強在各個方向是相等的，這也為實驗所證實。 （ii） 作用於與靜止液體接觸表面上各點的力垂直於表面。否則，由容器表面作用於液體的大小相等、方向相反的力會有一個平行於液體表面的分力，這個分力會使液體流動。（2）壓強的傳遞液體能把作用於其上的任何外部壓強，傳遞到液體的各個部分。水壓機應用這個性質，能從較小的力產生一個較大的力。最簡單的水壓機是由一個窄的圓筒及另一個和它相連通的寬圓筒組成，裡面裝有液體（一般是油），並配有活塞A和活塞B，如圖11.3a所示。如果A的截h積是10-4 m2 （即1cm2）， 並有1N的力向下作用於A上，超過大氣壓10-4 Pa（1Ncm2）的壓強便會通過液體傳遞。假如B的橫截面積是10010-4 m2 （即100cm2），那麼B將受到100N向上的作用力。活塞B可作用於一固定鋼板上，可用於鍛造金屬。圖 11.3b所示的大型壓機，一直都是用來將鋼材鍛造成汽車部件，直到更先進的製造技術取代它為止。汽車修理廠中用來提升汽車的液壓千斤頂和汽車的液壓剎車系統都是使用這個原理。在後者，施加在剎車踏板上的力使活塞在一個裝滿油的液壓缸中產生壓強增大，這個壓強通過裝滿油的管子傳遞到另外4個活塞。這些活塞作用於制動器，剎住4個輪子。這樣，所有輪子都受到 相同的壓力，從而使剎車時汽車駛向一邊或打滑的危險減至最低。（3）高壓水射流切割這是一個完全無塵的新切割技術，用於切割各式各樣的材料，例如石板、石料、制動襯墊材料、膠木、橡膠、泡沫塑料等，而巨特別適用於石棉這類材料，因這類材料所散發出的塵埃很容易會引起呼吸氣管疾。液柱（1） U形管流體壓強計（U tube manometer）裝有合適液體的開口U形管可以用來測量壓強，例如測量氣體的壓強，稱為U形管流體壓強計。它利用液柱的壓強正比於液柱高度這一事實。在圖11.5a的U形管流體壓強計，被測的壓強p作用於液面A上並平衡作用於B上高為h的液柱的壓強加上大氣壓強p，因此 pPhrg這裡 r 就是流體壓強計中液體的密度。圖11.5水或較輕的油用於惻量較小的壓強，而水銀則適宜於測量中等的壓強。P 超出大氣壓的值即（pP），等於由液柱BC產生的壓強即hrg 所以用水或水銀柱的高度值（若干毫米）來表示壓強一般比用帕斯卡來表示更為方便。當要求測量的是絕對壓強而不是超出大氣壓強多少的時候，與大氣相通的那一端的開口管，為一密封的、抽空的管所代替，如圖 11.5b所示。那時，液柱的高度h直接給出了絕對壓強的值。水銀氣壓計利用這個原理測量大氣壓強，它以水銀槽代替短的分支，如圖 11.5c。水銀柱的重量由作用在水銀槽中水銀表面的空氣壓強支承。若大氣壓有任何變化，水銀柱的高亡也會隨之變化。（2）液柱的平衡假如一個U形管裝有兩種密度不同互不相混的液體，則U形管兩端的液面，便會在不同的水平面上。在圖 11.6a中，水柱AB與煤油柱CD相平衡。因此， B處壓強 = D處壓強 h1r1g = h2r2g 這裡h1，r1以及h2，r2，分別是水和煤油的高度及密度。由此得到： 測量h1和h2，就會給出一個求煤油相對密度的簡單方法。U形管的兩個分支，管口的直徑不一定要相等（假如不是太小的話）。為甚麼？圖 11.6水銀可將能溶和的液體分離，如圖 11.6b所示。在這種情況下，可以通過加入液體以調節液柱的高度，直至水銀面完全水平為止，接著便從這水平面測量h1和h2。4p10-7m0d rse 2 pq lwWW a b g -1Fl m-2abgE 2 E 阿基米德原理（Archimedeprinciple）當物體侵入液體時，物體會浮起，而巨重最減小，這個向L的力稱為液體對物體的浮力（OpthTTSt）O這個浮力是由於液體對物體下表面作用的壓強大於上表面，囚壓強是隨著深度的增加而增加。阿基米德在二千多年前已發現概括這些結果的定律。這個定律也應用於氣體中的物體，並可作如下的陳述：當一物體部分或全部浸入流體時，它受到一向上的浮力，或表觀上失去一些重量，這個浮力等於被排開的流體的重量。圖117a說明了一個用數字表示的例子。簡單來說：浮力。被排開流體的重量。 384這個原理可以用實驗證明，也可以通過理論推導，即計算液體對長方形固體上下表面所施加的壓強來證明這個理，如圖 117b所示。（人家可U行驗證）（1）浮體川oatiny body）如果一物體部分浸在液體中並浮起（如一艘船，或上全浸人液體（如潛艇）或氣體（如氣球）中，這時物體的重量似乎月零。我們可以說： 對物體的浮力。浮體的重晏據阿基米德原則， 對物體的浮力一排問的流體的重爭巴此， 浮體的重量。排開的流體的重量這個結論有時稱作浮力原理hue甽e oMoatatlon），足阿基米地理的一個特例，並t小歧述如I：排開流體的重量等於浮體的重量。祥物體完全浸八流跆的時候，川杲它所排開流體的下量仍小於上自身的重量，物體就訶下儿。當浮體（例如胭船）傾側的時候，亡的穩定性取決於船的重心G和浮心B的相對位r。船的。打量w作用於c點，向1的浮力U作用於浮UB O人樹11划中，船處於平穩狀態，B和仕M垂直線上。如果船傾側，排問的水形狀發土改變，怏栘動叫以刀此產生力偶。這DA力似使船曰復到它旺先的平衡付r，又或者使舢傾斜得可園主。川的中心線與過B點垂線的交洸叫定傾中心MO如果在G乳的卜n，41岡11Rb，仙d囚力爬具有一道時針的短。八這個炬的作川下，船的傾例減低。這時，船的平衡是穩定的。如果M在G點之下，如圖 11RC，出於力偶見仁一順時針的炬，這個折f吏船進一步傾斜，於足平衡是不穩定的叫3了得到最大的楊這性，G點應I亥低而M點應該高。0EllB 385叫比重計（hydrometer）比重計是一個應用浮力原理來快速測定液體相對密度的儀器，例如涮定鉛蓄電池中酸的相對密度口它包括一窄小的玻璃管、一個大的浮泡以及一個較小的裝有鉛丸粒的球狀泡，這可使比重計漂浮時保持直立，如圖119o把比下計漂浮在被測的液體中，取與液面相平處管內刻度的讀數，就可找出液體的相對密度。圖丁的比重計的使用範圍是從100到 130，數字向卜增大 （為甚麼？），巨刻度是不均勻的。Iffil 19大氣壓強（atmospheric pressure）氣體壓強是由容器內氣體分子撞擊容器壁所引起的。在較小的體積內，氣體壓強是到處均勻的，但在大的體積內，如大氣層，重力使氣體的密度發生變化，從而使氣體的壓強在較低區域比較高區域大口事實上，儘管大氣層伸延到50km的高度，但在6km處的大氣壓強僅是海平面處大氣壓強的一半。大氣壓強是760mm的水銀柱。這說法的意思是：大氣壓強等於高為760rum水銀柱底部的壓強。有時，壓強的單位是按托里拆利（Torricel川的名字而命名的（他首先製出水銀氣壓計）o托（torr）1毫米水銀柱（沔）0為了得出用國際單位表示的大氣壓強的值，應用公式P。pgh o這裡h0760m，p。136X 10kgm，g。gBNkg“，因此， n”0760X 136x 103x98lmXkgm3xwxgu 101X IOSPS標準壓強或一個大氣壓了義為高76Omm水銀柱底部的壓強，水銀的密度被指定，重力加速度g也取某特定的值O一個大氣壓等於IO325X105pa”壓強計（Pressur gauges）和真空泵acuum PumPs）U形管流體壓強計可用來測量中等的壓強，即大氣層範圍的壓強。高和低的壓強要用特殊的壓強計。 386（1）布爾登氣壓計（Bourdon gauge）這種壓強計可測量高達約2000個大氣壓的壓強。它包括一個金屬彎管（一端被焊緊），被測的壓強作用於金屬管上，如圖1110O當壓強增大時，金屬管便會伸長，並使齒條和小齒輪帶動指針轉過一個刻度。（2）旋轉真空泵（rotsry vacuum PumP）一台旋轉真空泵可產生約10mmHg的壓強，兩大連在一起，可達到10“mmHg o真空泵包括一偏心地裝在內部的圓柱形轉子（rotor），轉子與圓柱形定子（stator）一點相接觸，如圖111o附於轉子上兩個彈簧加壓的葉片，緊壓著定子的壁。整個真空泵浸於一特殊的低蒸汽壓的油中。這些油既可密封又可潤滑真空泵。當電動機驅動轉子轉動時，每個葉片輪流把氣體吸入到體積不斷增大的入風一側A，接著把氣體壓縮到空間B，並從排氣閥把氣體排出。較低的壓強，如低至10“mmHg的壓強，則要用擴散泵（diffusionPumP）o表面張力（surface tension）（1）某些現象某些現象，使人想起液體表面的性質有點像一張被拉伸的彈性表皮，即液體表面處於繃緊的狀態。例如，把一根鋼針輕輕放在一碗水的表面L，儘管鋼針的密度較大，它也會浮起（還有甚麼東西支持它的重量？）口表面張力的效應，能使某些昆蟲可以越過池塘表面而不會弄濕，如圖112 O M圖1111 3870Elll2小液滴的形狀接近球形，這可從水龍頭滴F的水珠看到，如圖1112O對於一定的體積，球面具有最小的表面積口（是甚麼東西使較大的水滴變形？）圖1114a的裝置亦可顯示液向具有收縮及保持最小面積的趨勢。當棉線圈內的肥皂薄膜被刺破，棉線便被拉成圓形，如圖Ill4b O因為對定的周長，圓具有最大的面積，線外的肥皂膜面恆也就足量小。（2）定義和單位從棉線圈變圓的上述演示中，我們可以總結出：液體（肥皂溶液）沿棉線周長各點，垂直地拉著棉線，如圖1115，這就暗示我們可用下列方法定義液體的表面張力。L ffilll5想像在液面上有一長為I的直線線段。如果力F位於液面上且垂直作用於這線段，如圖1116，那麼液體的表面張力Y定義為：總之，Y是作用於表面且垂直於表面線段，單位長度上一側所受的力OY的單位是牛頓每米（Nffi中Y的值除依賴於其它因素外，還依賴於液體的溫度。在20時，水的Y一刀6 X0N O“，水銀的Y一465 X 10。N。必須強調：在一般情況下，作用於液面上任河一條線兩側的表面張力相等，即液而處於繃緊狀態。只有當線的一側沒有液體時，表面張力的效果才明顯。例如，如圖1117所示，為了使金屬線AB靜止，必須施加一向右的外力以抵消向左作用的表面張力0一薄膜有兩個面，因此對寬為l的框架，表面張力的值是ZYI，這裡倀液體的表面張力。M圖1117又如在盛水的破子上灑上石松子粉末，當一滴肥皂液滴入那碟水中央時，石松子粉末移向碟子的邊緣，并在中央留下清澈的、與周圍不同的一片，這是由於水的表面張力比肥皂液的表面張力大。，D刈而在兩種液體邊界附近，兩種表面張力1平衡，於是粉末被水從碟中心帶走。 389（3）分子解釋在液體的表面，分子的分佈比液體內部稀疏，即表面層分子間的距離比液體內部大。這是由於從液態到汽態分子間距的增大並不足個突然的轉變，液體的密度必然經由液面減JO在液體裡，分子間的相互作用力與固體裡的一樣，是既有引力。也有斥力的。當分子間的距離處於平衡值時，斥力和弓忱相抵消。從分子間作用力和距離的關係曲線（頁137圖slla），我們可以看到：富l子間距大於平衡值几）時，分子間的弓巾便會超過斥力，這就是分子間距較大的液h層分子所處的情況。由於液面層分子每一側都受到鄰近分子的引力作用，這使液面層處於繃緊狀態，見圖11180因此，液面的特性就像一拉伸的彈性表皮。如果分子間產生張力的鍵因為液面的分離或斷裂而在一側被切斷，這時，只有另一側分子的作用，於是便會有一引力合力作用於分子，表面張力的效果這時就顯現出來。當液面面積增大時，液體的Y值並不增大，這是由於有更多的分子進入表面層，使分子間距保持不變。否則，任何間距的增加將會使分十問的引力增加，表面張力也同時增加。液體表面（1）液面的形狀液面必定與作用於其上的合力相垂直，否則，這力將有一與液面平行的分力使液體運動。液面通常是水平的，即與重力垂直叫B液面與固體接觸的地方通常是彎曲的。為了解釋圖119中液面的形狀，我們考慮緊靠著垂直固體器壁在B點的液體。由於鄰近液體分子的作用，液體B受到一引力BC，這是以前討論過的內聚力（cohesive force）。內聚力使液體分子結合在一起，並使它們具有液體的性質。由鄰近固體分子產生的引力BA也作用在B上，稱為附書力（adhesive force）。如果附著力大於內聚力，那麼作用於B點液體的合力BR將朝向器壁的左下方，作用方向如圖所示。Mffilllg 390在B點的液面必須與BR的方向垂直，因此向上彎。因為那時處於平衡狀態，這合力必定被分子間合適的斥力所平衡。離器壁較遠的液面上的點，附著力較小，合力接近垂直，因此液面幾乎是水平的。與此相反，當液體分子間的內聚力大於固體分子與液體分子間的附著力時，合力BR的作用方向如圖 1120所示，且靠器壁處的液面向下彎，這是水銀與玻璃接觸的情形。M ffil 120接觸角（angle ofcontac吸定義為固體表面與液面叨平面之間含有液體這邊的夾角。在圖 1121a中，液體與某一固體的接觸角是銳角（090”），而在圖112fo接觸角是鈍角。和許多有機液體一樣，水與潔淨玻璃面的接觸角是零，即附著力遠大於內聚力，因而水面平行於與它接觸的玻璃，見圖 12iC 0在一水平潔淨的玻璃面上，水傾向於無限地散開，并形成一非常薄的膜。表面的污染，對接觸角會有明顯的影響，水在多脂的玻璃面上的接觸角也許是10”，并使水形成水滴而不是散開。水銀與清潔的玻璃接觸，接觸角大約是140”，並傾向於形成水銀滴，而不是在玻璃面上散開OA ffi 1121接觸角為銳角的液體稱為浸潤液體。，而接觸角為鈍角的液體稱為不浸潤液體口圖 1122a顯示能浸潤表面的液滴，而圖 1122b則顯示不浸潤表面上的液滴。0 ffil 122（2）液面鋪展的實際應用心體與固體接觸的特性在實際應用中很屯要。只有常熔融焊劑（一種規鉛六金）能浸潤和鋪展到被焊接的金屬時，才能形成良好的銲接點。如杲液態焊劑的表面張力小，就容易出現鋪展。與焊劑一起使用的助熔劑 391 （例如松香）清潔金屬表面，起著浸潤劑。的作用，有助於焊劑的鋪展。像鋁這類金屬，具有一層幾乎是永久的氧化層，這氧化層抵抗助熔劑的作用，用一般的焊接方法很難獲得良好的焊接點。在噴漆過程中，浸潤劑。起著重要的作用。在噴漆的地方，油漆鋪展時必須保持為層狀而不形成滴；使用擴散劑（例如硬脂酸）亦可幫助潤滑油黏附在輪軸、軸承上。如果洗滌劑要除去藉油脂黏附在織物上骯髒的顆粒，必須先把洗滌劑滲透織物，才能去除油污。正因為這個原因，洗滌劑溶液的表面張力與接觸角都應該是小的。與此相反，防水織物是用硅酮預先加工處理，使水聚集成滴而不散開。毛細現象（capdlarity）表面張力使接觸角小於90”的液體在毛細管中上升，並高於外面液面的高度。管越窄，則液體上升得越高，見圖 1123 O這效應稱為毛細現象，在實際應用中非常重要。0 ffil 123浸潤液體為甚麼能在毛細管內上升呢？在圖 124a中，在液面與管內壁接觸的環形邊界L，由於表面張力未被抵消，因此它對管施加一個向下拉的力，而管就對液體施加一個大小相等方向向上的力（牛頓第三運動定律），並使液體升高，見圖 11 24b 0當垂直向下作用的上升液柱的重量等於管對液體施加的向L力的垂直分量（verticalcomPonent）時，液體便停止上升，見圖 1124c oL ffil 124 392如果液體的密度是P，表面張力是Ywi接觸角為0，並設管的半徑為r，在管內卜汁的高亡為卜忽略彎月向門小量的液體，則 地并重量W。nrbeg 支承力的垂直分量YCOSOXZttf因為這些力沿周長為Zrrr的圓周作用，兒圖IL24d o因此更為精確的論述表明，上式僅適用於內徑很小的管子，在管內彎月面上的曲率處處相等，是球面的一部份。分析同時也表明r是彎月面處管的十徑（頁396）0將Y，r，P，g的值代人L述表達式，可以得到上升高度h的估計值。例如在極乾淨的玻璃管內， 0O”，即水面與管垂直接觸，因而COSO一；還有p10g crn10y 10kgrn以及Y73XIONrn“o如果毛細管的半徑是05OX0m，那麼如果0大於90”，彎月面向上凸， COS6是負數，而表達式也將表明h是員的，這意味著毛細管內的液體卜降至管外液體水下面之卜口在玻璃毛細管中的水銀通常表現為這個形式，見圖1125 O當00“時，會發生甚麼？0 ffil 125吸墨紙的吸乾作用是由於墨水利用毛細作用上升到紙的細孔中去。在焊接中，毛細作用有助於熔化了的焊劑滲入每一條裂縫Qtfl從前面h的表達式可以知道，要發生滲透，焊劑的表面張力要大，而這卻又不利於焊劑的鋪展（見頁39）。tR明顯，這需要一個折衷方法，使焊劑既能滲透也能鋪展。織物的染色也有類似的情況。染色的成功很大程度上取決於染料利用毛細作用滲到織物中去。 393氣泡和液滴氣泡和液滴的研究，不僅有助於確定液體表面張力（見本章稍後的一節），而巨和實踐也有關係。例如，氣泡的形成在泡沫塑料（如聚苯乙烯）的生產中起重要的作用；在燃油鍋爐壓力燃燒室內，油氣快速高效燃燒，取決於油氣微滴的形成：在蒸汽加熱系統中，如果水蒸氣能冷凝成液滴而不是冷凝成薄層，則來自水蒸氣的熱轉換效率將會更高。目前，人們正努力實現將水蒸氣冷凝為液滴。被吹大的肥皂泡附於吹管的一端，接著讓另一端通向大氣，我們可以見到肥皂泡逐漸變小，這說明肥皂泡內的空氣被排出。表面張力企圖使薄膜收縮，從而使氣泡內壓強大於泡外壓強。我們可以得到球形肥皂泡內適量田強（excess pressure）的表達式。考慮從表面張力為Y的肥皂溶液吹出一個半徑為r的氣泡。設大氣壓強為P並設氣泡內的壓強比P還多p，即（P十p），見圖1126a o考慮左半部氣泡的平衡。這裡有兩組相反的力。111 126 （i）大氣壓強沿不同方向作用於半球面上，由於垂直分量相互抵消 （大氣壓強的垂直變化忽略不算），左半部由大氣壓強引起的合力 水平地作用，方向向右，見圖 1126b 0可以證明：流體對曲面沿某 一方向的作用力等於流體對曲面沿該方向投影的作用力（請參閱後 面的注）。曲面沿某方向的投影是指把曲面投影到以該方向為法線 的平面LO在這裡，半球沿水平方向的投影是一個圓，因此由大氣 壓強產生的水平力等於壓強和投影面積的乘積，即PXffrZO還有，由 右半球（圖 126bM未畫出）作用在左半球圓形邊緣 L的表面張 力，其方向沿著左半球的內、外表面（類似的表面張力由左半球作 用於右半球），這個力等於ZYX27trO因此，向右的總的水平力是 Pnrz4Ynr“ （l）壓強（PP）作用於左半球彎曲的內表面，並產生一個水平向 左且等於（pp）冗T的力。 394 因此，如果水平方向的力平衡，我們可得 Pn什4Ynr。（Pp）xr 4Yxr pnr 那時，氣泡內的逾量壓強p是： 4v 取肥皂溶液的Y為25X 10Nm“，在十徑為10cm或IDX 10m氣泡內的適 量壓強是： 4XZ3XIU“NU “Inln7 m IJ）X fi“ 10P8 如果用圖 1127的裝置分別吹出兩個十徑不同的肥皂泡然後打開旋塞T 和T。使兩氣泡相通（T；是關閉的）我們可以看到：較小的氣泡慢慢縮 小，而較大的氣泡則逐漸膨脹。為甚麼？常A變成彎曲的小薄膜，薄膜的 曲車半徑等於氣泡B的半徑時，兩者逾量壓強相等，從而達到平衡。 L圓1127 在空氣中的球形液滴或在液體中的氣泡，只有一R表面，在表面內部的 逾量壓強足Zyr，證明方法和前面對肥皂泡所用的相類似。 注：在流體中均勻壓強對曲面的