材料力学作业题解第1-4章.doc

1ABCnnmm1 m1 m1 m3 kN（a） NFABnnmm1 m1 m1 m3 kN（b）NFOBnnmm1 m1 m3 kNSFM（c） 1.2 试求图示结构m-m和n-n两截面上的内力，并指出AB和BC两杆的变形属于哪一类基本变形。 解： 一、应用截面法，取n-n截面以下部分为研究对象，受力图如（b），由平衡条件 A=0M，N3320F= 得 N2kNF= BC杆的变形属于拉伸变形。 二、应用截面法，取m-m截面以右，n-n截面以下部分为研究对象，受力图如（c），由平衡条件 O=0M，N2310FM= 得 1 kNmM= =0yF，SN30FF+= 得 S1 kNF= AB杆的变形属于弯曲变形。 1.3 在图示简易吊车的横梁上，F力可以左右移动。试求截面1-1和2-2上的内力及其最大值。 解： 应用截面法，取1-1截面右侧部分为研究对象，受力图如（b），由平衡条件 A=0M，N1sin0FlFx= （1） 得 N1sinFxFl= 因x的变化范围为0xl，所以当xl=时，N1F达到最大值，即 N1sinFF= 2BCA11lx22F（a） BA11lxFN1F（b）B112FN1F2MN2FS2FO（c） 应用截面法，取图（a）所示1-1和2-2截面以右部分为研究对象，受力图如图（c），由平衡条件 =0xF，N2N1cos0FF= （2） =0yF，S2N1sin0FFF+= （3） O=0M，N12sin()0FlxM= （4） 解以上各式，得 N2cot/FxFl=，S2(1/)FxlF=，2()/MlxFxl= 当xl=时，FN2达到最大值，即 N2maxcotFF= 当0x=时，FS2达到最大值，即 S2maxFF= 当/2xl=时，M2达到最大值，即 2max/4MFl= 1.4 拉伸试样上A，B两点间的距离l称为标距。受拉力作用后，用变形仪量出两点间的距离为24.510mml=。若l的原长为100 mm，试求A与B两点间的平均应变m。 解：由平均应变的定义知，AB的平均应变为 244.510=4.510100mll= ABl 31.4* 拉伸试样上A，B两点间的距离l称为标距。受拉力作用后，测得A，B距离为100.045 mm。若l的原长为100 mm，试求A与B两点间的绝对变形和平均应变。 解：由变形定义知，绝对变形为 2100.0451004.510(mm)l= 由平均应变的定义知，AB的平均应变为 244.510=4.510100mll= 1.6 圆形薄板的半径为R，变形后R的增量为R。若80 mmR=，3310mmR=，试求沿半径方向和外圆圆周方向的平均应变。 解：由线应变的定义知，沿半径方向的平均应变为 35310=3.751080RR=径 沿圆周方向的平均应变为 352()22310=3.75102280RRRRRR+=周 ABlRR 412320 kN40 kN30 kN312（a） 2.1 试求图示各杆1-1，2-2，3-3截面上的轴力，并作轴力图。 解： （a）N150kNF=；N210kNF=；N320kNF= （b）N1FF=；N20F=；N3FF= （c）N10F=；N24FF=；N33FF= 2.7 油缸盖与缸体采用8个螺栓连接。已知油缸内径360 mmD=，油压1 MPap=。若螺栓材料的许用应力40 MPa=，试确定螺栓的内径。 解：设油缸盖承压面积为A1，螺栓的横截面积为A，由平衡条件，8个螺栓承受的总轴力为 2N14FpApD= 假设总轴力由8个螺栓平均分担，则每个螺栓承受的轴力为 2NN1832FFpD=螺栓 由强度条件，每个螺栓的应力应 22N221328()4pDFpDAdd=螺栓 于是，有 22136020.1(mm)8840pDd= 应用上取22mmd= 3FFFF（b） 32121112233F（c） 4FpFD 52.9 冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆AB接近水平位置，承受的镦压力1200 kNF=。连杆是矩形截面，高度h与宽度b之比为：1.4hb=。材料为45钢，许用应力58 MPa=，试确定截面尺寸h及b。 解：连杆的轴力FN等于镦压力F，连杆的应力 NFA= 由强度条件，有 NFFAbh= 将1.4hb=代入上式，有 3120010122(mm)1.41.458Fb= 由1.4hb=，有 1.41.4122171(mm)hb= 应用上取122mmb，171mmh 2.11 卧式拉床的油缸内径186 mmD=，活塞杆直径165 mmd=，材料为20Cr并经过热处理，130 MPa=杆。缸盖由6个M20的螺栓与缸体连接，M20螺栓的内径17.3 mmd=，材料为35钢，经热处理后115 MPa=螺。试按活塞杆和螺栓的强度确定最大油压p。 解： 一、按活塞杆强度确定最大油压p 活塞杆受力如右上图，由平衡条件，有 221N()4FpDd=杆 由活塞杆的强度条件 22221N12211()()4=4pDdFpDdAdd=杆杆杆 ABh BAb pFd1 D pNF杆d1 D 6得 221222211306518.1(MPa)18665dpDd=杆 二、按螺栓强度确定最大油压p 设缸盖所受压力由6个螺栓均摊，每个螺栓承担的轴力为 222211N()/6()424FpDdpDd=螺栓 由螺栓的强度条件 22221N122()()24=64pDdFpDdAdd=螺栓螺栓螺栓螺栓 得 22222216115617.36.8(MPa)18665dpDd=螺栓 比较上述结果，取最大油压为6.8MPap 2.12 图示简易吊车中，木杆AB的横截面面积2110000 mmA=，许用应力17 MPa=；钢杆BC的横截面面积22500 mmA=，许用拉应力2160 MPa=。试求许可吊重F。 解： 1 按照钢杆的强度要求确定许可吊重 B点的受力图如图示，平衡条件为 0xF=，oNBCNABcos300FF+= 0yF=，oNBCsin300FF= 解上二式，得 NBC2FF=，NAB3FF= 由钢杆的强度条件 NBC22=FA钢杆 有 NBC22=500160=80000N=kNFA（）80 因 NBC2FF=，故 4kNF0 o30BCAF钢木o30BF钢木NBCFNABFxy 72 按照木杆的强度要求确定许可吊重 由木杆的强度条件 NAB1=FA木杆1 有 NAB11=100007=70000N=kNFA（）70 因 NAB3FF=，故 NAN=4kN3FF0.4 比较二杆许可载荷，得吊车的许可吊重 4kNF=0 2.14 图示拉杆沿斜截面m-m由两部分胶合而成。设在胶合面上许用拉应力100 MPa=，许用切应力50 MPa=。并设胶合面的强度决定杆件的拉力。试问：为使杆件承受最大拉力F， 角应取何值？若杆件横截面面积为2400 mm，并规定o60，试确定许可载荷F。 解：杆的任一斜截面的应力为 22coscosFA= sincossincosFA= 既然由胶合面的强度控制杆件拉力的大小，那么，最合理的状态应是胶合面上的正应力和切应力同时达到各自的许用应力，即 2cosFA= sincosFA= 上二式左右各自相比，有 50tan0.5100= 由此得 o26.6=，此时，杆件承受的拉力最大，即 max22o10040050(kN)coscos26.6AF= FFmm 82.16 在图示杆系中，BC和BD两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同为。为使杆系使用的材料最省，试求夹角的值。 解： B点的受力如图示，平衡条件为 0xF=，N1N2cos0FF= 0yF=，N1sin0FF= 解上二式，得 N1sinFF=，N2cotFF= 最合理的情况为二杆同时达到许用应力值，即 N111FA=，N222FA= 将N1F,N2F代入上二式，得 N11sinFFA=，2cotFA= 结构中二杆的体积为 2112222cos1cos()sincossinsincossin2cos()(tan2cot)sincosFlFlFlVAlAlFlFl+=+=+=+=+ 体积V是角的函数，体积的最小条件是 22222212sin2cos()()0cossinsincosdVFlFld= 即 222cossin0= 解之，得 2tan2=，o54.7= 使结构最省材料的角度为 o54.7=。 BCFDlBFN1FN2Fxy 92.17 阶梯形直杆如图所示。已知：21500 mmA=，22800 mmA=，200 GPaE=。试求杆的总伸长l。 解： AB段轴力：140kNNF= BC段轴力：220kNNF= 杆的总伸长为 33N11N221233124010200201020020010500200108000.055(mm)FlFllllEAEA=+=+=+= 2.18 为了改进万吨水压机的设计，在4根立柱的小型水压机上进行模型试验，测得立柱的轴向总伸长0.4 mml=。立柱的横截面为圆，其直径80 mmd=，长度1350 mml=。材料的210 GPaE=。试问每一立柱所受的轴向力有多大？水压机的中心载荷F等于多少。 解：假设4根立柱平均承担水压机的中心载荷F，且伸缩量相同，由胡克定律 NFllEA= 得每个柱子承受的载荷 32N21010800.44313(kN)1350EAlFl= 水压机的中心载荷为 N443131252(kN)FF= 2.26 抗拉（压）刚度为EA的等直杆，受力情况如图所示。试问： （1）总伸长是否为1122FlFllEAEA=+？如有错误，正确的算式是什么？ （2）应变能是否为22112222FlFlVEAEA=+？如有错误，正确的算式是什么？ （3）若12lll=，12FFF+=（常量），试求maxV和minV，并求两种情况下的比值21FF。 解： （1）总伸长是12122()FFlFllEAEA= C1A2A20020040kN20kN60kNAB2F1F1l2l 10（2）应变能正确的是2212122()22FFlFlVEAEA=+ （3）当12:3:2FF=时，2min10FlVEA=；当10F=，2FF=时，2maxFlVEA=。 2.42 在图示结构中，假设AC梁为刚杆，杆1，2，3的横截面面积相等，材料相同。试求三杆的轴力。 解：3根杆的受力及变形如图示。 1.平衡条件 0yF=，N1N2N30FFFF+= A0M=，N2N320FaFa+= 2.变形几何关系 1322lll+= 3.物理关系 NiiiFllEA=， （i=，1,2,3） 4.补充方程 物理关系与几何关系联立 N1N3N22FlFlFlEAEAEA+= 得补充方程 N1N3N22FFF+= 上式与平衡条件联立，得 N156FF=，N213FF=，N316FF= 2.43 刚杆AB悬挂于1,2两杆上，1杆的横截面面积为260 mm，2杆为2120 mm，且两杆材料相同。若8 kMF=，试求两杆的轴力及支座A的约束力。 解：两杆的受力图和变形如图示。 1.平衡条件 0yF=，N1N2Ay0FFFF+= A0M=，N1N21230FFF+= 2.变形几何关系 aaABC123l F12F2m 1m1m1mABABCF2l1l3lN1FN2FN3F 111212ll= 3.物理关系 N1111FllEA=， N2222FllEA= 4.补充方程 物理关系与几何关系联立 N1N1121N22N221201346023FFlEAEAFlF= 得补充方程 N13.6kNF=，N27.2kNF= 上式与平衡条件联立，得 Ay4.8kNF= 2.46 阶梯形直杆的两端在15 T=时被固定，杆件上下两段的横截面面积分别是2500 mmA=上，21000 mmA=下。钢材的6 112.510l=，200 GPaE=。当温度升高至T2=30时，试求杆内各部分的温度应力。 解：阶梯形直杆的受力图如图示。 1.平衡条件为 0yF=，R1R20FF= 2.变形几何关系 12Tlll+= 3.物理关系 R111FalEA=， R222FalEA= ，T2laT= 4.补充方程 物理关系与几何关系联立，有 R1R2122FaFaaTEAEA+= 补充方程为 R1R20.562.5FF+= 上式与平衡条件联立，得 R1R241.7kNFF= 12FAB1l2lN1FN2FAyFa a R1FR2F 12温度应力分别为 3R1141.710=83.3(MPa)500FA=上 3R2241.710=41.7(MPa)1000FA=下 2.55 图示销钉连接中，已知：95 kN F=，销钉直径30 mmd=，材料的许用切应力60 MPa=。试校核销钉的剪切强度。若强度不够，应改用多大直径的销钉？ 解：销钉每个剪切面（受剪面）承受的剪力均为 S 2FF= 销钉的剪切强度条件为 3S29510 =2230467.2(MPa)=60MPaFFAA= 因，不安全，为安全计，应使 SFA，即S2FFA= 于是，有 242Fd 解之 322951031.8(mm)60Fd= 应用上，32mmd。 2.56 测定材料剪切强度的剪切器的示意图如图所示。设圆试样的直径15 mmd=，当压力31.5 kN F=时，试样被剪断，试求材料的名义剪切极限应力。若取剪切许用应力为80 MPa=，试问安全因数是多大？ 解：由题意知，试样横截面的剪力 dFFF2F2FSFSFFSF2F 13S 2FF= 材料的名义剪切极限应力为 3S231.510 =89.1(MPa)22154uFFAA= 由定义 un= 得 89.11.180un= 2.60 在厚度5 mm =的钢板上，冲出一个形状如图所示的孔，钢板剪断时的剪切极限应力u320 MPa=，求冲床所需的冲力F。 解：钢板的切断条件为 uFA= 由图知，钢板的剪切面积为 2(2200)(250200)52570(mm)AR=+=+= 所需冲力为 2570320822400(N)=822kNuFA= 2.61 为防止过载，可倾式压力机采用压环式保险器（如图示）。当过载时，保险器先被剪断，以保护其他主要零件。设环式保险器以剪切的形式破坏，且剪切面的高度20 mm =，材料的剪切极限应力u200 MPa=，压力机的最大许可压力630kN F=。试确定保险器剪切部分的直径D。 解：由切断条件 SuFA= 有 uFD= 于是，得 36301050.2(mm)20020uFD= dFF2F2F100DF 142.63 图示螺钉在拉力F作用下。已知材料的剪切许用应力为和拉伸许用应力之间的关系为：0.6 =。试求螺钉直径d与钉头高度h的合理比值。 解：当螺钉杆和螺钉头内的应力同时达到各自的许用应力时，d和h之比最为合理。螺钉杆的拉伸强度条件为 N214FFAd= 螺钉头的剪切强度条件为 2SFFAdh= 上二式相比，得 0.64dh= 所以 2.4dh= 螺钉杆直径d与螺钉头高度h的合理比值为2.4. 2.64 木榫接头如图所示。120 mmab=，350 mmh=，45 mmc=，45 kN F=。试求接头的切应力和挤压应力。 解：作用在接头上的剪力SFF=，剪切面积为bh，切应力为 345101.07(MPa)120350SFFAbh= 作用在接头上的挤压力为F，挤压面积为bc，挤压应力为 3bs45108.33(MPa)12045FFAbc= h dFFFhha b cFF 153.1 作图示各杆的扭矩图。图（c）中，各外加扭转力偶之矩从左至右依次为：15kNm，20kNm，10kNm，35kNm。 解：（略） 3.2 直径50 mmD=的圆轴，某横截面上的扭矩2.15kNmT=。试求该横截面上距轴心20 mm处的切应力及最大切应力。 解： 由圆轴扭转横截面上任意一点切应力公式可知，距轴心20mm处的切应力为 6644p2.151020322.15102070.1 (MPa)5032TDI= 横截面上的最大切应力 66max33t2.1510162.151087.6 (MPa)5016TDW= 3.2* 外径50 mmD=，内径30 mmd=的空心圆轴，某横截面上的扭矩2.5kNmT=。试求该横截面上的最小切应力及最大切应力。 解： 空心轴横截面的 4444444p()(5030)54410=53.410 (mm)323232IDd= 4p3t53.410 =21.4 (mm)/225IWD= 由圆轴扭转横截面上任意一点切应力公式可知，最小切应力位于为 6min4p2.5101570.2 (MPa)253.410TdI= 横截面上的最大切应力 6max3t2.510116.8 (MPa)21.410TW= 163.4 图示AB轴的转速120 r/minn=，从B轮输入功率44.13kWP=，功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴II，另一半由水平轴I输出。已知1600 mmD=，2240 mmD=，1100 mmd=，280 mmd=，360 mmd=，20 MPa=。试对各轴进行强度校核。 解： AB轴传递的扭（转）矩为 AB44.13954995493512 (Nm)120PTn= AB轴横截面上的最大切应力为 33ABABmax331t351210163512101001617.9 (MPa) =20 MPaTdW= AB轴满足强度要求 I轴横截面上的最大切应力为 33IABImax332tt/2351210/216175610801617.5 (MPa) =20 MPaTTdWW= I轴满足强度要求。 II轴的转速可由齿轮传动比与直径的关系求得，即 B2I1I240120600nDnDn=，I300 r/minn= II轴传递的扭矩为 II/244.13/295499549703(Nm)300PTn= II轴横截面上的最大切应力为 33IIABIImax332tt/2351210/216175610601616.6(MPa)=20MPaTTdWW= II轴满足强度要求。 综上所述，各轴均满足强度要求。 3dD2 D1 d2 d1 IIIAB 173.7 机床变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为5.5kWP=，转速200 r/minn=，材料为45钢，40 MPa=。试按扭转强度条件初步设计轴的直径。 解： I轴传递的扭矩为 e5.595499549263 (Nm)200PTMn= 由圆轴扭转的强度条件 max33t1616TTTdWd= 可得轴的直径为 33316162631032.2(mm)40Td= 工程中，取直径为34mmd=或35mmd=。 3.8 图示实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速100 r/minn=，传递的功率7.5kWP=，材料的许用应力40 MPa=。试选择实心轴的直径1d和内外径比值为12的空心轴的外径2D。 解： 轴所传递的扭矩为 e7.595499549716 (Nm)100PTMn= 由实心轴的强度条件 max33t1616TTTdWd= 得实心轴的直径 33316167161045 (mm)40Td= 由空心轴的强度条件 max33442t216(1)(1)16TTTDWD= d II第II轴 D2 d2 d1 18得空心轴的直径 33324416167161046 (mm)(1)40(10.5)TD= 3.11 图示传动轴的转速500 r/minn=，主动轮1输入功率1368kWP=，从动轮2和3分别输出功率2147kWP=，3221kWP=。已知70 MPa=，o1 ( )/m=，80 GPaG=。 （1）试确定轴AB段的直径1d和BC段的直径2d。 （2）若AB和BC两段选用某一直径，试确定直径d （3）主动轮和从动轮的位置如可任意改变，应如何安排才比较合理。 解： 首先计算三个轮的外力偶矩 3e3221954995494220 (Nm)500PMn= 2e2147954995492810 (Nm)500PMn= 由力偶的平衡条件 0xM= ，e1e2e30MMM+= 得 e1e2e37030NmMMM=+= 扭矩图如图示。 （1）确定AB段的直径d1和BC段的直径d2 由圆轴扭转强度条件 ABABAB3t116TTWd= 得AB的直径 3AB331161670301080 (mm)70Td= 由刚度条件 ABABAB4p132180180TTGIGd= 5004001231P2P3PABCABCe1Me2Me3M7030Nm4220Nm 19得AB的直径 AB4412921803218070303284.6 (mm)80101TdG= 取 185 mmd= 对BC段，按强度条件，有 3BC332161642201067.5 (mm)70Td= 由刚度条件，有 BC4422921803218042203274.5 (mm)80101TdG= 取 275 mmd= （2）若AB和BC两段选用同一直径，则选直径 85 mmd=。 （3）主动轮放在两从动轮之间，可使最大扭矩取最小值，这样安排才比较合理。 204.1 试求图示各梁中截面1-1,2-2,3-3上的剪力和弯矩，这些截面都无限接近于截面C或D。设F，q，a均为已知。 解： （a） S10F=，1MFa= S2FF=，2MFa= S30F=，30M= （b） S1Fqa=，2112Mqa= S2Fqa=，2212Mqa= S30F=，30M= （c） S12Fqa=，2132Mqa= S22Fqa=，2212Mqa= （d） D1.5FF=，A0.5FF= S10.5FF=，1100MF= S20.5FF=，2200MF= S3FF=，3200MF= (e) A4kN3F=，D8kN3F= S14kN3F=，10.8kNm3M= S22kN3F=，21kNm3M= (f) C12Fqa=，D52Fqa= S1Fqa=，2112Mqa= S232Fqa=，222Mqa= ABDC112233aaaFFABDC112233200200 NF=200200ADC112233aaqC1122aaqBAFqa=2eMqa=ABDC112220010 kN/mq=200200ABDC1122qaaa2eMqa=Fqa= 214.2 设已知图示各梁的载荷F，q，Me和尺寸a。（1）试列出梁的剪力方程和弯矩方程；（2）作剪力图和弯矩图；（3）确定S maxF及maxM。 解： （a） （1）列剪力方程和弯矩方程 AC段： S()2FxF= （0 xa） ()(2)MxFxa= （0xa） CB段： S()0Fx= （2 axa） ()MxFa= （2axa） （2）作剪力图、弯矩图 据剪力方程、弯矩方程，作剪力图、弯矩图如右图。 （3）求梁的最大剪力和弯矩 Smax2FF=，maxMFa= (b) （1）列剪力方程和弯矩方程 AC段： S()Fxqx= （0 xa） 21()2Mxqx= （0xa） CB段： S()Fxqa= （2 axa） 1()()2Mxqaxa= （2axa） （2）作剪力图、弯矩图 据剪力方程、弯矩方程，作剪力图、弯矩图如右图。 （3）求梁的最大剪力和弯矩 SmaxFqa=，2max32Mqa= (c) （1）列剪力方程和弯矩方程 AC段： S()(2)Fxqax= （02 xa） 221()(2)2Mxqaqax= （02xa） CB段： S()0Fx= （23axa） CaaqBA2FeMFa=ABCaaqC2aaqBA2eMqa=OSFxqaOMx212qa232qaOSFx2qaOMxFaFaOSFx2F 222()Mxqa= （23axa） （2）作剪力图、弯矩图 据剪力方程、弯矩方程，作剪力图、弯矩图如右图。 （3）求梁的最大剪力和弯矩 Smax2Fqa=，2maxMqa= (d) A0F=，BFF= （1）列剪力方程和弯矩方程 AC段： S()0Fx= （0 xa） ()0Mx= （0xa） CB段： S()FxF= （2 axa） ()(2)MxFax= （2axa） （2）作剪力图、弯矩图 据剪力方程、弯矩方程，作剪力图、弯矩图如右图。 （3）求梁的最大剪力和弯矩 SmaxFF=，maxMFa= (e) A43FF=，B53FF= （1）列剪力方程和弯矩方程 AC段： S4()3FxF= （0 xa） 4()3MxFx= （0xa） CD段： S1()3FxF= （2 axa） 1()3MxFxFa=+ （2axa） DB段： S5()3FxF= （23 axa） 5()(3)3MxFax= （23axa） ABCaaeMFa=FaABDCaa2FFOMx2qa2qaOSFxFOMxFaOSFxOMx13F53F43F43Fa53Fa 23（2）作剪力图、弯矩图 据剪力方程、弯矩方程，作剪力图、弯矩图如右图。 （3）求梁的最大剪力和弯矩 Smax53FF=，max53MFa= (f) eA32MFa=，e32BMFa= （1）列剪力方程和弯矩方程 AC段： eS3()2MFxa= （0 xa） ee3()2MMxxMa= （0xa） CB段： eS3()2MFxa= （2 axa） e3()