静态电磁场II∶恒定电流的电场和磁场.doc

电磁场讲稿（3）第三章 静态电磁场II：恒定电流的电场和磁场31 恒定电场的基本方程与场的特性1恒定电场由麦克斯韦组的磁场旋度方程，对于导电媒质中的传导电流密度Jc，有上式两边取散度，得又由麦克斯韦组的另一旋度方程而导电媒质的构成方程为由此可见，导电媒质中(电源区域外)恒定电场具有无散无旋场。仿照静电场的处理，引入标量电位函数j(r)作为辅助场量，即令E = -j ，可得电位j满足拉普拉斯方程，即图 扇形导电片中的恒定电流场2j = 0例1：设一扇形导电片，如图所示，给定两端面电位差为U0。试求导电片内电流场分布及其两端面间的电阻。解：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位j，其边值问题为：积分，得j =C1f + C2由边界条件，得 ， 故导电片内的电位 电流密度分布为对于图示厚度为t的导电片两端面的电阻为2电功率图 电功率的推导在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示。该元电流管中的电流密度J可认为是均匀的，其两端面分别为两个等位面。在电场力作用下，dt时间内有dq电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为dW = dU dq于是外电源提供的电功率为故电功率体密度或写成一般形式p = EJ3不同媒质分界面上的边界条件两种不同导电媒质分界面上的边界条件：类同于静电场的讨论，在两种不同导电媒质分界面上场量的边界条件为J1n= J2n 或 en(J2-J1)=0E1t= E2t 或 en(E2-E1)=0对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静电场的折射定律图 由良导体(g1)到不良导体(g2)的电流流向Pa1J2ena2J1g2g1良导体与不良导体分界面上的边界条件：当电流从良导体流向不良导体时，如图所示，设g1 g2，由折射定律可知，只要a1 90，就有a2 0。这表明，当电流由良导体侧流向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体(a20)。换句话说，这时可以不计良导体内部的电压降，而把良导体表面可近似看作为等位面。导体与理想介质分界面上的边界条件：图 输电线电场示意图+UE2tE2nE2E2E2tE2nJc1Jc1g1g2此时，由于Jc2n = 0，必然有Jc1n = 0；且E1t= E2t，电场强度的切向分量连续。应指出的是，虽然E1n=Jc1n /g1= 0，但E2n 0，其结果将使导体外表面处的电场强度E2，与导体表面不相垂直，如图所示。然而，分量E2t与E2n相比是极其微小的，因而在研究导体外表面附近的电场时，可以略去E2t分量的影响。即近似为静电场中导体的边界条件。也就是说，当分析载有恒定电流的导体外部电场时，可以应用静电场分析方法。两种有损电介质分界面上的边界条件：图 两种有损电介质的分界面PJ2sJ1g2, e2g1, e1如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有同时，还有联立求解，得分界面上自由电荷面密度为由此可见，只有当两种媒质参数满足条件时，其上表面自由电荷才为零，即s=0。图 非理想介质的平板电容器中的恒定电流场e2, g2e1, g1U0d2d1例2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。其介电常数和电导率分别为e1，g1和e2，g2，厚度分别为d1和d2，外施恒定电压U0，忽略边缘效应。试求：(1)两层非理想介质中的电场强度；(2)单位体积中的电场能量密度及功率损耗密度；(3)两层介质分界面上的自由电荷面密度。解：(1) 忽略边缘效应，可以认为电容器中电流线与两介质交界面相垂直，用边界条件又有电压关系联立求解两式，得， (2)两非理想介质中的电场能量密度分别为， 相应的单位体积中的功率损耗分别为， (3)分界面上的自由电荷面密度为32 恒定电场与静电场的比拟1静电比拟法将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静电场相比较，可以看出，两者有如下表的对应关系。均匀导电媒质中的恒定电场无源区中均匀介质中的静电场2j = 02j = 0显然，只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位j、电场强度E和电流密度Jc的分布将分别与静电场中的电位j、电场强度E和电位移矢量D的分布相一致。如果场中两种媒质分区均匀，当恒定电场与静电场两者边界条件相似，且两者对应的电导率与介电常数之间满足如下物理参数相似的条件时：则两种场在分界面上的Jc 线与对应的D线折射情况相同。根据以上相似原理，就可以把一种场的计算和实验结果，推广应用于另一种场。这就是静电比拟法。图 同轴电缆中的泄漏电流SBAPrbe, gU0oaJc由静电比拟法，有因此，可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。即 例1：内外导体半径分别为a和b的同轴电缆，如图所示导体间外施电压U0。试求其因绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电阻。解：（1）解法一：恒定电场分析法电场强度E和泄漏电流密度Jc均只有径向分量，作一半径为r的同轴单位圆柱面，且令单位长泄漏电流为I，则， 内外导体间电压为由此可知泄漏电流密度为 电缆的单位长绝缘电阻为（2）解法二：静电比拟法在同轴电缆分析中，已求得电场强度为 故泄漏电流密度 同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为2接地电阻接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施。计算接地体的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。由镜象法得：(a) 电流线J的分布 (b) 镜象法图示 图 半球形接地器 g土壤g土壤aai2ig土壤aobrIJjAB rP图 跨步电压与危险区的分析3跨步电压电力系统接地体一旦有电流通过，由于接地电阻的存在，在地面上存在电位分布。此时，人体跨步的两足之间的电压称为跨步电压。当跨步电压超过允许值时，将威胁人的生命。对于如图所示的半球形接地器，由镜象法，地面上任意点P的电位为如图绘出了地面电位分布。设人的跨步距离为b，在距半球中心距离r点的跨步电压为设U0为人体安全的临界跨步电压（通常小于5070V），可以确定危险区半径r0为第七次课结束作业：3-2，3，433 恒定磁场的基本方程与场的特性1恒定磁场的基本方程由麦克斯韦方程组，描述恒定磁场的基本方程为媒质的构成方程为 2恒定磁场的有旋性在自由空间中，由基本方程可以得出，在恒定磁场问题磁感应强度矢量B与传导电流密度Jc之间的关系为I3I1lI2I4m0S图 环量与激磁电流I间关系说明图上式表明，源于电流的磁场具有旋涡场的特性，表明了磁力线与电流源之间相互交链的基本特征。利用斯托克斯定理，得安培环路定律：式中，电流Ik 正负，取决于电流方向与积分回路绕行方向是否符合右手定则。当方向相符时为正；反之取负值。如图，有：3恒定磁场的无散性基本方程还表明了恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零，具有无散(无源)性。磁力线是无头无尾的闭合曲线，即磁通连续性原理。4矢量磁位的引入由亥姆霍兹定理，磁感应强度B(r)应为式中式中A称为矢量磁位。在SI单位制中，矢量磁位的单位是韦伯/米(Wb/m)。需要说明的是矢量磁位A不是一个物理量，不能被测量，仅是一个为简化计算引入的数学上的辅助矢量函数。对于不同形式的电流源，有：体电流Jc： 面电流K： 线电流I： 5磁感应强度表达式上段讨论表明，自由空间中任意点的磁感应强度等于该点矢量函数A的旋度。若已知Jc(r)，可以先计算矢量磁位A，然后再通过计算A旋度计算磁感应强度B。即由矢量恒等式，得将上式代入B，得这正是毕奥沙伐定律。由该定律可以直接计算电流源在自由空间的磁感应强度B。对于不同形式的电流源，有：体电流Jc： 面电流K： 线电流I： 34 自由空间中的磁场计算思路一：利用毕奥沙伐定律直接计算电流源在自由空间的磁感应强度。思路二：先求矢量磁位，再利用B=A，求磁感应强度。此外，在无电流分布的恒定磁场区域中，由于H=0，也可以引入一个类似于静电场标量电位函数的标量磁位 jm作为辅助函数，以简化恒定磁场的计算。1由毕奥沙伐定律计算磁感应强度应该注意，由毕奥沙伐定律计算磁感应强度时，积分均为矢量积分。图 有限长直线电流I的磁场(a) 场点P距端点垂直距离为r(b) 任意场点P1、P2和P3的位置示意图zjLdzIIdz(dz,eR)RP(r,0,0)reRzzj1IP1P2P3j1j2j2r1r2r3j1j2o而对于具有对称性场分布特征的问题，应用安培环路定律更加简单。例1：计算真空中载流I的有限长直导线所引起的磁感应强度。解：首先，计算图(a)所示场点P处的B；然后，推广至图(b)所示任意场点P1、P2和P3 处的B的计算。 (1)场点 P处的磁感应强度 采用圆柱坐标系，取元电流Idz，在点P处产生的dB为从而 (2)场点P1、P2 和P3 处的磁感应强度基于场点P处B的解答，不难理解图(b)中任意场点P1、P2和P3 处的B分别为 (3)推论：对于P1点，若L，则B为(a) 长直圆柱形铜导体截面(b) 导体内、外|B|的变化曲线Irrm0m0aloBrao图 无限长直圆柱形载流导体的磁场这正是应用安培环路定律的计算结果。例2：计算真空中半径为a，载流为I的无限长直圆柱导体内部和外部的磁场。解：应用安培环路定律，得(1)导体内部(r a)故有 图 长直载流导线的磁场LBdAAoP(x,y,0)zIdzdzLxyzRr圆柱导体内、外B值随坐标r的变化曲线示于图(b)。2由矢量磁位计算磁感应强度由于元电流矢量产生相同方向的元矢量磁位A，这使得在一些问题中A的计算比B的计算更加简单。例1：计算空气中长度为2L的长直载流导线在空间P点的矢量磁位和磁感应强度。解：取圆柱坐标系，由于电流沿z轴方向，故矢量磁位只有z方向分量，即当Lr 时，可表示为从而得与例1结果相符。讨论：从上例可以看出，尽管B的结果与例1相同，但当L时A不存在。其原因在于，在我们给出的标量电位和矢量磁位的计算公式中，均假定电荷和电流分布在有限区域，此时，它们的参考点选择在无限远处。但是，例2不满足这个条件，电流延伸到了无限远，这是，它们的参考点应选择在有限区域内的任意一点。仍以例2为例讨论如下，此时线电流的矢量磁位公式修改为式中C为常矢量，取决于矢量磁位参考点的选择。在有限区域内任取一点为磁位参考点，设选与线电流I相距r0的Q点为矢量磁位参考点，应有故有 P点的矢量磁位为相应的磁感应强度为与上例结果相符。例2：图示无限长直平行输电线，半径为a、线间距离为2b且远大于a。试计算的矢量磁位和穿过输电线间单位长的磁通量。图 无限长直平行输电线的磁场Q ox y z I I A P(0,-b,0)(0,b,0)r1r2r02r01解：本例为平行平面磁场，故只需计算xoy平面中任一场点P处的矢量磁位即可。由例1且设矢量磁位参考点位Q，则P点的矢量磁位A为为计算穿过输电线间单位长的磁通量，将矢量磁位参考点选在原点上，则r01 = r02，得穿过输电线间单位长的磁通量为另外，也可以应用安培环路定律计算，即与由矢量磁位直接计算结果相同。由本例可以看出：穿过任意曲面S的磁通量F也可以直接利用矢量磁位A在该曲面S的曲线l上的环量来计算，曲面S的法线方向与曲线l的绕向满足右手螺旋关系，即第八次课结束作业：3-6，8例3：求图示半径为a的载流小圆环（磁耦极子）在远处的矢量磁位和磁感应强度。解：采用图示球坐标系。定义为磁耦极子的磁矩。可见A仅有f方向分量且与f无关，为简化计算，我们将场点选在f=0的平面。如图所示取两个电流元，得式中由于Ra，有所以3磁力线 与电力线类似，磁力线也可以形象地描绘磁场的分布。磁力线方程为Bdl=0平行平面磁场：在直角坐标系中，B线满足的微分方程为设Jc =J ez，则A = Aez。由B=A，得代入磁力线方程，得即 dA = 0所以 A=常量可见，在平行平面磁场中，A的等值线即为磁力线（B线）且等A线的差值为相邻两条磁力线间隔的单位长磁通量，即 轴对称磁场：在圆柱坐标系下，B线满足的微分方程为设Jc=Jef，则A=Aef。由B=A，得代入磁力线方程，得即 所以 rA=常量这表明，在轴对称磁场中，rA的等值线即为磁力线（B线）。图 磁化媒质建立的磁场35 媒质中的磁场1媒质磁化磁化强度矢量： (A/m )束缚电流密度：设被磁化媒质体积为V，则体积元dV的磁矩产生的矢量磁位为有根据矢量恒等式代入，得可以看出，磁化体电流密度和磁化面电流密度分别为Jm=MKm= Men2磁场强度 媒质在外磁场作用下发生的磁化效应可归结为磁化电流。因此，总的磁场是在真空中电流源Jc和磁化电流Jm共同建立的合成磁场，应有整理，得 定义磁场强度H (A/m)这样，得由此可见，磁场强度的引入简化了媒质中磁场的分析计算，正如使用电位移矢量可以简化电介质中电场的计算一样。3磁导率实验表明，媒质的磁化强度与磁场强度成正比，即M=cmH式中cm 称为磁化率。由磁场强度的定义，得B=m0 H + M = m0 (1+cm)H令 m =(1+cm)m0 = m r m0则有 B=mH式中m称为媒质的磁导率，单位是亨/米 (H/m)，mr为相对磁导率。根据媒质的磁化性能，可分为以下三种类型：(1)抗磁性媒质：当不存在外磁场时，这类媒质的原子中的合成磁矩为零。在外磁场作用下媒质中合成磁场减弱，如银、铜、铋、锌、铅和汞等属抗磁性媒质。(2)顺磁性媒质：当不存在外磁场时，这类媒质的原子中合成磁矩并不为零，仅因热运动之故，其宏观的合成磁矩为零。在外磁场作用下媒质中合成磁场增强。如铝、锡、镁、钨 、铂和钯等属顺磁性媒质。(3)铁磁性与亚铁磁性媒质：这类媒质在外磁场作用下会发生显著的磁化现象。在外磁场作用下产生显著的磁性，如铁、镍、钴等属这类铁磁性媒质(mr 1)，这种铁磁性媒质的磁性能还存在非线性、磁滞与剩磁现象。另一类称为亚铁磁性媒质，如铁氧体等，其磁化现象稍逊于铁磁媒质，但剩磁小，且电导率很低。值得指出，铁磁媒质因其高磁导率的特性，在电磁装置中得到了极其广泛的应用，以满足工程上高磁场能量密度和高磁场强度的应用需求。同样，铁氧体因其电导率很低，高频电磁波可以进入其中，且具有如高频下涡流损耗小等一些可贵的特性，从而在高频和微波器件中获得广泛的应用。 媒质磁化性能也有均匀与非均匀，线性与非线性，各向同性与各向异性等特点。对于均匀媒质Jm=M = (cmH) = cm H =0可见，在均匀媒质中束缚电流密度为零。4矢量磁位的泛定方程基于矢量磁位A的引入、麦克斯韦方程和媒质的构成方程，得由矢量恒等式，有由亥姆霍兹定理可知，仅由B= A定义矢量磁位A并不是唯一的，还必须同时规定A的散度，才能唯一地确定A。为简化分析，令上式称为库伦规范。这样，有如下矢量泊松方程在无源区中，Jc = 0，则上式成为矢量拉普拉斯方程在直角坐标系中，矢量形式的泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为相应的三个坐标分量的方程。但在其它正交曲线坐标系下，矢量的分量一般是相互耦合的。第九次课结束无作业5标量磁位标量磁位的引入：在无源区中，H=0。这表明在无源区中磁场是无旋的，可以仿照静电场那样引入一个标量磁位函数jm，即式中，标量磁位的单位是安培(A)。若选定Q点为标量磁位参考点，即jmQ=0，则任意点P的标量磁位为需要特别注意的是标量磁位jm的使用仅限于无电流分布的区域。此外，标量磁位jm与标量电位j 不同，它不具有任何物理意义。与矢量磁位一样，它纯粹是为了计算方便而引入的一个辅助标量函数。磁压的概念：标量磁位的等值面（线）称为等磁位面（线），等磁位面（线）处处与B线正交。也可以用等磁位面（线）的分布描绘磁场的分布。类比于静电场的电压定义，空间M点和N点之间的磁压定义为可见，两点的磁压即为两点的标量磁位之差。图 磁压和标量磁位多值的说明图Mn INmr应该指出，当磁场中存在电流分布时，两点间的磁压不仅与该两点的位置有关，而且还与积分路径相关。如图所示，如取一与电流I相互交链的闭合路径PnQmP，由安培环路定律，有将上式写为如取积分回路交链电流k次，则图 磁屏蔽设置的示意图ISljm_jm+显然，M、N两点间磁压与所取积分路径相关。这说明在存在电流的区域，即使在磁场中选定了标量磁位的参考点，其标量磁位仍可以是多值函数。为解决在电流区域中应用标量磁位的多值性问题，一般采用磁屏障的方法。如图所示，规定积分路径l不许穿越载流回路所限定的某一曲面S(磁屏障)，这样就保证了两点之间磁压与积分路径无关。标量磁位的泛定方程：将标量磁位和媒质的构成方程代入B=0，得如果媒质均匀，得可见，标量磁位jm满足拉普拉斯方程。6边界条件媒质分界面上的边界条件：对应于B=0，有B1n= B2n 或 en ( B2 - B1) =0表明在两种媒质分界面上的磁感应强度的法向分量是连续的。对于旋度方程H=Jc，取图示跨越分界面的矩形回路l。设分界面上存在面电流K=Kes(该面电流密度的单位矢量es=enet，且与矩形回路l符合右手定则)，由安培环路定律，得H2t-H1t =K 或 en( H2 - H1) = K通常分界面上不存在宏观的自由面电流分布，即K = 0，则有H1t=H2t 或 en( H2 - H1) = 0此时，当两种媒质线性且各向同性，恒定磁场的折射规律为铁磁媒质的边界条件：设m1 m2，由恒定磁场折射定律，必有a20，即B1n= B2n； H1t=H2t 0这表明在铁磁媒质与空气分界面的空气侧，磁力线几乎垂直于铁磁表面。矢量磁位表达的边界条件：由于A=B和A=0，不难推出如下边界条件A1= A2标量磁位表达的边界条件：类似于静电场标量电位的边界条件的推导，标量磁位 媒质分界面上的边界条件为jm1 = jm2而对应于铁磁媒质与空气分界面，由于铁磁媒质表面为等磁位面，其边界条件为jm1 = jm2= C7磁场的计算例1：在图示含气隙的环形铁芯上紧密绕制N匝线圈，环形铁芯的磁导率为m m 0，圆环的平均半径为R，线圈半径为aR，气隙宽度为d a，铁芯内磁场分布均匀。由于气隙宽度d m0，H=-jm0。故工程分析中往往将铁磁媒质近似看作一等磁位体，而磁压集中施加在铁芯的气隙处。例2：半径为a的长直圆柱导体通有电流密度J。试写出矢量磁位的边值问题并求导体内外的磁场。解：选圆柱坐标系，z轴为圆柱导体轴线。矢量磁位仅有z方向分量，其边值问题为, r a, r a, r = aA1=有限值，r 0解得由边界条件，上述四个待定系数为由B=A得例3：推导图示无限大平面媒质中无限长载流导线的镜像法。(b) 上半空间磁场的镜象法图示(a) 线电流无限大平面媒质系统(c) 下半空间磁场的镜象法图示图 磁场中镜象法的应用解：按图(a)所示将线电流I放置在媒质m1中，在媒质分界面上的束缚电流分别由图（b）和图（c）的镜像电流I和I表示。由边界条件，得解得， 例4：设一根载流为I的无限长直导线平行放置图示在半无限大铁磁媒质()上方，导线与铁磁媒质平面间的距离为h。试求在空气和铁磁媒质中的磁场。解：本例中空气为媒质m1=m0，铁磁媒质m2。由镜象法知：在上半空间，磁场可由均匀媒质m0中的线电流I和I=I计算如下。在上半空间任一点P处的磁场强度为图 线电流无限大铁磁平面系统的磁场式中 ，在边界上(y = 0)，任一点P处的磁场强度为上述结果再次表明磁力线垂直于铁磁媒质的表面。在下半空间，磁场可由I0计算。显然，因I0，故铁磁媒质中磁场强度H0。但是，磁通连续，所以铁磁媒质中B绝不可能略而不计，其值是 综合以上解答，可以定性地描绘本例的场图如图示。第十次课结束作业：3-12，13，1636 电感与电容、电阻参数类似，电感是反映线圈磁场能量的集总参数，必须通过磁场的分析来计算。1自感 在线性媒质中，线圈的自感定义为自感磁链Y与其激磁电流I之比，即 ( H )图 内、外磁链区分的示意图取决于线圈几何形状、尺寸以及媒质磁导率。当载流导体截面较大时，通常又将自感磁链Y分为内磁链Yi和外磁链Yo两部分之和。如图所示，闭合管a的磁通与载流导体电流I完全交链，构成外磁链Yo的一部分；而闭合管b则仅与载流导体的部分电流I交链，构成内磁通Yi。对于这种部分交链的情况，其匝数以载流I为基数，以I应计为分数，其匝比为I/I。于是，内磁链为图 同轴电缆的自感此时，自感L为内自感Li与外自感Lo之和，即例1：计算图示同轴电缆的单位长自感（设其外壳厚度可予忽略）。解：为计算自感，设电缆中电流为I。(1)外磁链Yo(2)内磁链Yi内导体中磁感应强度为此时，匝比为于是，内磁链最后，得同轴电缆的单位长自感为值得注意，内自感Li仅与圆导体的长度有关，而与半径无关。2互感在线性媒质中，线圈k与线圈h的互感定义为线圈k上交链的互磁连Ykh与线圈h的电流Ih之比，即 ( H )同理，线圈k对线圈h的互感定义为 ( H )我们将证明 Mkh = Mhk两个线圈的互感取决于他们的形状、尺寸、相互位置和媒质的磁导率。图 两对传输线间的互感例2：计算图示两对输电线间的单位长互感。解：设导线之间的距离DAC、DAD、DBC和DBD均远大于导线半径。设在导线AB(回路1)通有电流I，在导线CD（回路2）交链的互磁通穿过面积CD和面积CD，即单位长互感为图 回路外磁链的计算用图dldlllr3.电感计算的一般公式自感：设电流集中在回路的轴线上。利用矢量磁位A计算外磁链。回路的内周界l为积分路径，外磁链为则，外自感为当线圈由N匝细导线密绕组成时，则单匝回路上的磁通增大N倍，而该磁通又与N匝回路相交链，故外自感为可见，此时外自感Lo与N 2正比，为单匝回路外自感的N 2倍。对于内自感，一般均采用近似计算法。不论回路形状如何，其内自感计算可等同于无限长直导线的情况，回路的内自感为线圈的长度l乘以单位长内自感，即一般而言，回路的内自感远小于外自感，所以回路的自感为图 两个回路间互感的计算dl1l1dl2l2I2rPL=Li+LoLo互感：图示两个回路，设回路2中通电流I2，在回路1的轴线上任一点处产生的矢量磁位为在回路1上交链的互磁链为于是，回路2对回路1的互感为同理可得可见M12=M21 若回路1和回路2分别由N1和N2匝细导线密绕而成，则互感为上述计算回路电感的一般公式被称为诺以曼公式。37 磁场能量1载流回路系统中的磁场能量单个载流回路的磁场能量：设回路电流i从零缓慢增长到终值I，回路磁通链随之由零值缓慢增长到终值，并在载流回路产生感应电压u，在dt内电源作功为dW=uidt，且全部转换为磁场能量储存在磁场中，即dWm= dW=uidt=idY= iLdi在线性媒质中，单个载流回路的磁场能量为由上式，若已知单个载流回路的电流及其磁场能量，则可方便地计算该回路的自感为n个载流回路的磁场能量：令各个回路电流均按比例系数为m(0m1)由零值缓慢增长到终值，在线性媒质中，在某一时刻，各回路电流ik(t)=m(t)Ik，磁链yk(t)=m(t)Yk。在dt内电源在n个载流回路中作功为该n个载流回路的磁场能量为 在线性媒质中，以k号载流回路为例，其磁链 Yk 可表示为自感磁链和互感磁链之和，即代入磁