大学物理(第二版)上册课后习题详解第四章-静电场

26 第第 4 4 章章 静电场静电场 4 1 如题 4 1 图所示 位于x轴上的两个点电荷 分别带电 2q 和 q 相距l 求 1 第三个点电荷 0 q放在x轴上哪一位置 时 它所受合力为零 2 若第一点电 荷为 2q 第二点电荷为q 情况又将 如何 解解 1 由于两电荷为正电荷 所以 0 q必须在两电荷之间才能平衡 设与2q之间的距离为x 若合力为零 则有 00 22 00 211 44 qqqq xlx 由此可得 024 22 llxx 解此方程可得 22 xl 只能取负号 所以 22 xl 为稳定平衡状态 2 若两电荷分别为q2和q 那么 0 q必须放在q 的右侧一点x处 若合力为零 则有 00 22 00 211 44 qqqq xlx 由此可得 02 22 llxx 解此方程可得 12 xl 只能取正号 所以 21 xl 4 2 一根不导电的细塑料杆 被弯成近乎完整的圆 圆的半径为 0 5m 杆的两端有 2cm 的缝隙 9 3 12 10 C 的正电荷均匀地分布在杆上 求圆心处电场的大小和方向 解解 运用叠加原理 可以把带电体看成是一个带正电的整圆环和一段长为 2cm 带负电的 圆弧产生的电场的叠加 而圆环在中心产生的电场为零 所以电场就等于长为 2cm 的带负电 的圆弧产生的电场 由于圆弧长度远小于半径 故可看成是一点电荷 所以 9 9 223 00 113 12 100 02 8 9 100 72 4422 3 14 0 5 qQ l E RRR Vm 1 4 3 一均匀带电直线 长为L 电荷线 密度为 求直线的延长线上距 L 中点为r 2rL 处的场强 解解 建立如题 4 3 图的坐标 取微元 题 4 3 图 O x dx x 2L 2L P rx 题 4 1 图 27 dqdx 在 P 点产生的电场为 2 0 1 4 dx dE rx 方向向右 所以总场为 2 222 2 00 11 4 4 4 L L dxL EdE rxrL 方向向右 4 4 如题 4 4 图所示 电荷 Q 均匀分布在半径为 R 的半圆周上 求曲率中心 O 处的电场强度 解解 建立如题 4 4 解图坐标 取微元dqRd 由对称性知 0 y E 只有x分量 且 2 0 sin 4 x Rd dE R 因为 222 0 00 sin 42 xx RdQ EdE RR 所以 22 0 2 x Q EE R 方向沿x正方向 4 5 将一 无限长 带电细线弯成题 4 5 图所示的形状 设电荷均匀分布 电荷线密度 为 四分之一圆弧 AB 的半径为R 试求圆心 O 处的场强 解解 由例 4 4 的结论可知 半无限长均匀带电细线AC在 O 处的场强为 RR E x 0 00 0 1 4 1 8 0c o s90 cos 4 RR E y 0 00 0 1 4 90sin180 sin 4 题 4 4 图 x y dE x dE 题 4 4 解图 y dE E x R RO d 4 5 解图 题 4 5 4 5 解图 28 所以 4 0 1 ji R E 半无限长均匀带电细线BD在 O 处的场强为 RR E x 0 00 0 3 4 90sin180 sin 4 RR E y 0 00 0 3 4 180cos90 cos 4 所以 4 0 3 ji R E 设四分之一圆弧 AB 在圆心 O 处的场强为 jEiEE yx 222 因为 R d R Rd R dq dE 0 2 0 2 0 2 444 1 所以 cos 4 cos 0 22 R d dEdE x 由此可得 R d R E x 0 2 0 0 2 4 c o s 4 又因为 sin 4 sin 0 22 R d dEdE y 所以 R d R E y 0 2 0 0 2 4 sin 4 由此可得 4 0 222 ji R jEiEE yx 因此圆心 O 处的场强为 4 0 321 ji R EEEE 4 6 如 题 4 6 图 所 示 电 场 强 度 分 量 为 1 2 x Ebx 0 yz EE 其中800b N C 1 m 1 2 试求 1 通过正立 方体的电通量 2 正立方体的总电荷是多少 设10a cm 题 4 6 图 29 解解 1 因为E只有x分量 所以上 下 前 后四个面的通量为零 只有左右两个 面的通量不等于零 左面通量为 5 2 x E SE Sba 右面通量为 5 2 2 2 x E SE Sba 总通量为 5 2 12 21 ba 5 2 800210 11 04 Wb 2 由高斯定理可得 0 q 所以 1212 0 1 04 8 85 109 27 10q C 4 7 一对无限长的共轴直圆筒 半径分别为 1 R和 2 R 筒面上都均匀带电 沿轴线单位 长度的电量分别为 1 和 2 求 1 各区域内的场强分布 2 若 12 情况如何 画出 此情形的Er 曲线 解解 1 根据电荷的分布 带电体具有轴对称分布 所以选择同心的圆柱面为高斯面 其高度为h 因为只有圆柱面侧面的通量不为零 所以 1 rR SdE 1 20rhE 所以 1 0E 21 RrR 0 2 q SdE 所以 0 1 2 2 l rlE 由此可得 r E 0 1 2 2 2 rR SdE 3 12 3 0 2 h rhE 所以 12 3 0 2 E r 2 若 12 则 1 rR 和 2 rR 时 0 31 EE 21 RrR 时 1 2 0 2 E r 4 8 一个内外半径分别为 R1和 R2的均匀带电球壳 总电 荷为 Q1 球壳外同心罩一个半径为 R3的均匀带电球面 球面 题 4 8 图 0 2r E rR 题 4 7 图 1 R 2 R 3 R 30 电荷为 Q2 求电场分布规律 解解 因电荷呈球对称分布 电场强度也为球对称分布 取半径为 r 的同心球面为高斯面 由高斯定理得 0 2 4 q ErSdE 当 1 rR 时 该高斯面内无电荷 0q 故 1 0E 当 12 RrR 时 高斯面内电荷 33 11 33 21 Q rR q RR 故 33 11 2 332 021 4 Q rR E RR r 当 23 RrR 时 高斯面内电荷为 1 Q 故 1 3 2 0 4 Q E r 当 3 rR 时 高斯面内电荷为 12 QQ 故 12 4 2 0 4 QQ E r 电场强度方向均沿径矢方向 各区域的电场强度分布曲线如图所示 4 9 如题 4 9 图所示 一均匀带电球体 半径为 R 体电 荷密度为 今在球内挖去一半径为 0 r 0 rR 的球体 已知 a为带电球体的球心到空腔中心的矢量线段 求证由此形成的 空腔内的电场是均匀的 并求证其值为 0 3 Ea 解解 用补偿法 先在空腔内填入电荷体密度为 的电荷 再填入电荷体密度为 的电荷 则空腔内的电场强度可看作 O E 2 R 1 R 3 R r 题 4 9 图 31 是半径为R 电荷体密度为 的均匀带电球体的场强 1 E 与原空 腔处电荷体密度为 的半径为 0 r的均匀带电球体的场强 2 E 的 叠加 所以 21 EEE 先求电荷体密度为 的均匀带电实心球体内的场强 由对称 性可知 电场 1 E 的方向沿半径向外 以 O 为圆心 取一半径为r的 球面为高斯面 此球面上场强的大小处处相等 由高斯定理可得 3 2 11 00 14 4 33 rr r EE 由高斯定理可得半径为 0 r 电荷体密度为 的均匀带电球体在r处产生的场强为 3 2 22 00 4 3 4 3 arar arEE 由上面的结论 有 0 1 3 r E 0 2 3 ra E 于是 空腔中任一点P的场强可由叠加原理求出 12 0 3 a EEE 由上式结果可知 在空腔内各处的场强均相等 方向由O指向 O 4 10 两个平行无限大均匀带电平面 面电荷密度分别为 11 1 4 10 C m 2和 11 2 2 10 C m 2 求此系统的电场分 布 解解 如题 4 10 图所示 三个区域的场强由两平行无限大均匀带 电面产生的场强的叠加 其电场强度分别为 1 1 0 2 E 2 2 0 2 E 设水平向右的方向为场强的正方向 则 左边区域 11 12 12 12 0 2 10 1 13 22 8 85 10 EEE Vm 1 方向向左 中间区域 4 10 解图 1 E 1 E 1 E 2 E 2 E 2 E 1 2 a O R p r0 o 4 9 解图 32 11 12 21 12 0 3 2 10 3 39 22 8 85 10 EEE Vm 1 方向向右 右边区域 11 12 12 12 0 2 10 1 13 22 8 85 10 EEE Vm 1 方向向右 4 11 电量 q 均匀分布在长为2l的细杆上 求在杆外延长线上与杆端距离为a的 P 点的 电势 设无穷远处为电势零点 解解 如图 4 11 所示 取微元dqdx 其中 2 q l 则微元电荷在 P 点处的电势为 0 1 42 dx dU lax 所以 2 0 00 12 ln 1 428 l dxql UdU laxla 4 12 设半径为R的均匀带电圆盘 其电荷面密度为 求均匀带电圆盘在圆心处的电 势 解解 选半径为r Rr 宽度为dr的细圆环 由例 4 13 的结 论 4 31 式可 得该细圆环的电势为 r dq dU 0 4 其中rdrdq 2 积分可得均 匀带电圆盘在圆心处的电势为 0 00 2 42 R rR Udr r 4 13 如题 4 13 图所示 半径为 1 R和 2 R的两无限长直共轴圆筒 内筒带正电荷 外筒 带负电荷 线密度大小都为 求 1 内 外两筒间的电势差 2 若外筒接地 内筒的 电势为多少 解解 1 两圆筒的电场分布分别为 1 12 0 2 0 2 0 rR ERrR r Rr 则两筒之间的电势差为 2 12 1 R RR R UUUE dl 2 1 2 001 1 ln 22 R R Rdr rR 2la dxx 4 11 解图 题 4 13 图 o r R dr 4 12 解图 33 2 若外筒接地 则 2 0 R U 所以 1 2 01 ln 2 R R U R 4 14 如题 4 14 图所示 一对均匀带等量异号的平行平面 若其间距离d远小于带电平面的线度时 这对带电面可看成是 无限大的 这样的模型可叫做电偶极层 求场强和电势沿垂直 两平面的x方向的分布 取离两平面等距的 O 点为电势零参考 点 解解 由叠加原理容易得出电场的分布 当2dx 或 2dx 时 0 31 EE 当 22 dd x 时 02 E 即沿x轴的负方向 根据电势的定义可得 当 2 d x 时 0 0 2 2 0 2 d dxE l d EU dx x 当 22 dd x 时 0 0 2 0 x dxE l d EU xx x 当 2 d x 整个区域电势相等 0 0 2 2 0 2 d dxEl dEU dx x 4 15 在氢原子中 正常状态下电子到质子的距离为 11 5 29 10 m 已知氢原子核 质子 和电子带电各为 e 19 1 60 10e C 把氢原子中的电子从正常状态下离核的距离拉开 到无穷远处所需的能量 叫做氢原子的电离能 求此电离能是多少电子伏和多少焦耳 解解 氢原子核外的电场强度为 2 0 4r e E 所以电势为 00 4 00a e E d rl dEU aa 电子在氢原子中的电势能为 18 31 219 9 00 2 1036 4 1029 5 106 1 109 4 a e eUWp J 所以电离能为 18 1036 4 J3 27 eV 本题未考虑电子绕核运 动时的动能 4 16 如题 4 16 图所示 一细直杆沿 z 轴由za 延伸到 题 4 14 图 题 4 16 图 34 za 杆上均匀带电 其线电荷密度为 试计算x轴上0 x 各点的电势 并由电势梯 度求场强 解解 建立如图的坐标 取微元电荷dqdz 则微元在x 处产生的电势为 2222 00 1 44 dqdz dU xzzx 总电势为 22 0 4 a a dz UdU xz 22 22 0 ln 4 axa axa 所以电场强度为 2222 0 0 2 4 2 Uaa E xx xax ax 4 16 解图 4 17 两个同心的薄金属球壳 其内 外球壳半径分别为 1 0 02R m 和 2 0 06R m 两球壳间充满相对介电常量为 r 3 的电介质 设内球壳带电 8 6 10Q C 求内球壳上的电 势 解解 由电位移矢量D 的高斯定理 0 qSdD 可得 1 Rr 0 1 D 1 Rr 2 2 4 r Q D 再由 ED r 0 可得 1 Rr 0 1 E 21 RrR 2 0 2 4r Q E r 2 Rr 2 0 3 4r Q E 所以内球壳的电势为 20210 32 4 11 4 2 2 11R Q RR Q drEdrEl dEU r R R RR xp x z a dz z a 35 4 8 9 8 9 1068 1 06 0 106 109 06 0 1 02 0 1 3 106 109 V 4 18 如题 4 18 图所示 设有两个薄导体同心球壳 A 与 B 它们的半径分别为 1 R10cm 与 3 R 20cm 并分别带有电荷 8 100 4 C 与 7 100 1 C 球壳间有两层介质 内层介质的 0 4 1 r 外层介质的 2r 2 0 其分界面的半径为 2 R 15cm 球壳 B 外的介质为空气 求 1 两球间的电势差 UAB 2 离球心 30cm 处的电场强度 3 球 A 的电势 解解 1 由介质中的高斯定理 有 1 2 4QDrSdD 由此可得 1 Rr 0 11 ED 21 RrR 2 1 2 4 r q D 2 0 1 2 1 4r Q E r 32 RrR 2 21 3 4 r QQ D 2 0 21 3 2 4r QQ E r 3 Rr 2 21 4 4 r QQ D 2 0 21 4 4r QQ E 所以两球壳间的电势差为 32323 11212 2323 RRRRR AB RRRRR UE dlEdlEdlE drE dr 11 4 11 4 320 1 210 1 21 RR Q RR Q rr V 600 2 0 1 15 0 1 2 1 15 0 1 1 0 1 4 1 104 109 89 V 2 离球心 30cm 处的电场强度为 3 2 78 9 2 0 21 4 106 3 0 10100 4 109 4 r QQ E Vm 1 3 取无穷远处电势为零 则球 A 的电势为 3 12 3 03 2 1 10 4 AABAB B QQ UUEdlU R V 题 4 18 图 36 4 19 半径为 0 1 的金属球 带电 8 1 0 10qC 把一个原来不带电的半径为0 2m 的金属球壳 其厚度不计 同心地罩在 球的外面 1 求距离球心为0 15m的 点的 电势 以及距离球心为0 25m的 点的电势 2 用导线把 和 连接起来 再求 点和 点的电势 解解 1 金属球外的电势为 0 4 q U r P 点处的电势为 98 0 1 9 1010600 40 15 P P q U r V Q 点处的电势为 98 0 1 9 1010360 40 25 Q Q q U r V 2 用导线把 和 连接起来后 球壳 B 内的电势与球壳 B 的电势相等 因为 2 Rr 0 1 E 所以 2 Rr 2 0 2 4r q E P 点处的电势为 2 98 2 02 1 9 1010450 40 2 P rR q UE dlE dr R V Q 点的电势不变 0 360 4 Q Q q U r V 4 20 如题 4 20 图所示 一导体球带电q 半径为R 球 外涂有一层厚度为d 相对介电常数为 1 r 的均匀电介质 介质外为空气 充满其余整个空间 1 求离球心 为r处的 电位移D与电场强度E分布 2 求离球心 为r处的电势U 分布 解解 1 电场具有球对称性 由于是导体球带电 所以 rR 0D rR 作同心球面为高斯面 由高斯定理 qDrSdD 2 4 可得 2 4 q D r 因为是导体球带电 由关系式 0r DE 可以得出 题 4 20 图 37 2 00 2 0 0 4 4 rr rR Dq ERrRd r q rRd r 2 rRd 2 00 44 rr qdrq UE dl rr RrRd 22 00 44 R d rrR d r qdrqdr UE dl rr 000 44 4 rr qqq rRdRd rR 22 00 44 R d rRR d r qdrqdr UE dl rr 0 11 4 r r q RRd 4 21 半径为 的导体球 带有电荷q 球外有一均匀电介质的同心球壳 球壳的内外 半径分别为a和b 相对介电系数为 r 如题 4 21 图所示 求 1 介质内外的电场强度 E和电位移D 2 介质内的电极化强度P和介质表面上的极化电荷面密度 3 离球 心 为r处的电势 解解 1 此电场具有球对称性 选同心球面为高斯面 根据高 斯定理 rR qDrSdD 2 4 所以 2 4 q D r rR 0D 由关系式 0r DE 得出 2 0 20 0 2 0 0 4 4 4 r r rR q Rra r D Eq arb r q rb r 2 根据极化强度 P 与电场的关系 0 1 r PE 可得 2 1 4 r r q P r 题 4 21 图 38 因为 SqSdP 所以 2 1 4 r a r q a 2 1 4 r b r q b 3 因为离球心距离为r处的电势为 r l dEU 所以 rb 2 00 44 rr qdrq UE dl rr arb 22 000 11 444 b r rrb rr qdrqdrq UE dl rrrb Rra 222 000 444 ab rrab rr qdrqdrqdr UE dl rrr 0 111 4 rr rr q rab rR 222 000 444 ab rRab rr qdrqdrqdr UE dl rrr 0 111 4 rr rr q Rab 4 22 是三块平行金属板 面积均为200cm2 相距4 0mm 相距2 0mm 两板都接地 如题 4 22 图所示 设 板带正电 7 3 0 10 C 不计边缘效应 求 板和 板上的感应电荷 以及 板的电势 解解 设三个极板的 6 个面电荷面密度依次为 从左到右 123456 且均为正电荷 当 B C 接地后 16 0 1 由于每个面均可看成是无限大均匀带电平板 所以每个面在空 间任一点产生的场强均为 0 2 E 设向右的场强为正 由于带电导体内部场强处处为零 所 以三个极板内部的电场均为零 设金属板内的电场 分别为 A E B E C E则有 题 4 22 图 CAB 3 1 2 4 4 22 解图 39 2345 0 1 0 2 A E 2 2345 0 1 0 2 B E 3 2345 0 1 0 2 C E 4 根据电荷守恒有 34 Q S 5 又因为 ACAB UU 所以 2345123452 dd 6 联立求解 1 6 可得 S QA 3 2 32 S QA 3 1 54 所以 板上的感应电荷 7 5 1 0 10 3 A B Q QS C 板上的感应电荷 7 2 2 2 0 10 3 A C Q QS C 板的电势为 3 2543 0 1026 2 2 1 ACUU ACA V 4 23 有一外半径 1 R为 10cm 内半径 2 R为 7cm 的金属球壳 在球壳中同球心地放一 半径 3 R为 5cm 的金属球 球壳和球均带有电量为 8 1 0 10 C 的正电荷 求 1 两球体上 的电荷如何分布 2 球心的电势 解解 1 根据对称性 此电场具有球对称性 在球壳内做同心球面为高斯面 根据高斯 定理可以得出 SdE 1 0 0 AR QQ 所以 1 8 10 RA QQC 根据电荷守恒有 12 8 10 RR QQ C 2 8 2 10 R Q C 2 金属球单独存在时的电势 03 4 A A Q U R 40 金属球壳单独存在时 半径为 1 R的电势为 1 1 01 4 R R Q U R 半径为 2 R的电势为 2 2 02 4 R R Q U R 由电势叠加原理 球心的电势为 12 OARR UUUU 12 030102 2314 444 RR A QQ Q RRR V 4 24 静电天平的装置如题 4 24 图所示 一空气平行板电容器两极板的面积都是 相 距为x 下板固定 上板接到天平的一头 当电容器不带电时 天平正好平衡 然后把电压 U加到电容器的两极上 则天平的另一头须加上质量为 的砝码 才能达到平衡 求所加 的电压U 解解 固定极板产生的场强为 S Q E 00 22 如图所示 平行板电容器的电容量为 0 QS C Ux 所以 S CU E 0 2 上极板所受到的吸引力为 2 2 0 0 0 2 0 22 2 22x SU x S S U S UC QEF 天平平衡时 mgF 即 2 0 2 2 SU mg x 所以 0 2 UxmgS 4 25 盖革计数管可用来测量电离辐射 它由一细金属丝和包围它的同轴导电圆筒组成 金属丝直径为 2 1 2 5 10d mm 圆筒直径为 2 25d mm 管长100L mm 计算 1 盖 革计数管的电容 可用无限长导体圆筒的场强公式计算电场 2 如果在导线与圆筒之间 加上U 850 V 的电压 求导线与金属圆筒间的电场强度分布 解解 设金属丝单位长度带电为 则两极间的电场强度分布为 0 2 E r 两极板间的电压为 22 11 2 001 ln 22 RR ab RR ddr UE dl rd 单位长度的电容为 0 0 21 2 ln ab C Udd 题 4 24 图 41 此盖革计数管的电容为 13 0 0 21 2 8 05 10 ln L CC L dd F 2 因为 2 01 ln 2 ab d U d 所以 021 2ln ab U dd 当850 ab U V 时 电场强度为 021 11123 2ln U E rddrr Vm 1 4 26 如题 4 26 图所示 一空气平行板电容器 极板 面积为 S 两极板之间距离为d 今插入一块与极板面积 相同而厚度为 3d的各向同性均匀电介质板 其相对介电 常数为 r 试计算电容的改变量