提升学生数学能力的一种教学模式探索.doc

提升学生数学能力的一种教学模式探索石狮第一中学 张月媚【摘 要】本文针对学生出现的典型错误进行探索，总结出一种有效的教学模式，从而提高学生的数学学习能力。【关键词】数学能力；教学模式；探索笔者在连续多年的高三数学教学实践中，针对学生出现的典型错误进行探索总结出一种行之有效的教学模式，其指导思想是：以提高学生的数学能力为目标去研究解决数学问题；其教学策略是：通过引导学生对一个数学问题的系统性研究学习达到解决一类问题的目的。使之在高考中取得优异成绩。如何使学生通过一个数学问题的系统性研究学习达到解决一类问题的目的、提高学生的数学能力呢？下面以“含参数的不等式恒成立或有解问题”为例进行说明，供一线教师参考：例：设函数f(x)=x3+2x2+x-4，g(x)=ax2+x-8,(1)求函数f(x)的极值；(2)当x0，+)时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围。在解答第(2)问的过程中，许多学生出现以下错误解法：依题，x0，+)时，fmin(x)gmax(x)，往下分别求x0，+)时，fmin(x)和gmax(x)，此处略去不言。学生产生这种错解的根源是什么？如何为学生纠错？如何寻求正确的转化?如何挖掘同类问题的不同形式并形成通法？为解决以上问题，笔者在教学实践中设计以下三个行之有效的教学环节，实现提高学生数学能力的目标。一、层层设问，发现错因，探求正解设问1：首先给出一组图(见图1)，问：(A)(B)两个图哪个能够反映题意？两个都可以，但图(B)显然不满足fmin(x)gmax(x)。设问2：这说明了什么？原题条件“x0，+)时，不等式f(x)g(x)恒成立”转化为“fmin(x)gmax(x)”，是错误的。设问3：条件被强化还是弱化？被强化，这样做不是等价转化，从而改变了原题的条件，所以解得的答案是错误的。设问4：为什么会产生这样的错解？头脑中没有图象，不能“由数画形，以形助数”。设问5：如何寻求正确的转化？“x0，+)时，不等式f(x)g(x)恒成立”中的f(x)g(x)左右的x一致，从图象上看，只要在同一个竖直方向f(x)图象上的点比g(x)图象上的点高，因此只要图(B)的状态即可.设问6：如何用数的形式来刻划图(B)的状态？只要f(x)-g(x)0在0，+)上恒成立。设问7：如何体现“f(x)-g(x)0在0，+)上恒成立”？思路1：构造函数，求新函数的最小值。令，h(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4，x0，+)，只要hmin(x)0。h(x)=3x3+2(2-a)x，令h(x)=0x=0或x=1当a2时，h(x)0在0，+)上恒成立， h(x)在0，+)上递增，hmin(x)=h(0)=40，即f(x)g(x)恒成立，符合题意；当时，由或,由在上递减，在上递增，又在恒成立等价于，综上所述，实数的取值范围是.思路2：分离参数法在恒成立等价于在恒成立，（往下求函数在上的最小值可用三个正数的均值不等式或导数法）.二、以一归类，形成通法，构建系统分析了上面例题的错解和正解之后，及时引导学生站在高中数学系统的高度反思：这个问题是属于什么类型问题？这类问题还有哪些表现形式？每一种形式如何正确转化？使学生通过一题的系统性研究学习达到解决一类问题的目的，使高三数学复习具有系统性，提高复习效率。教学时与学生共同归纳出“含参数的不等式恒成立或有解问题”的各种形式、几何直观、转化途径及解决通法。形式(一)1、已知f(x)c (c为常数)在给定区间D上恒成立，则xD时，fmin(x)c(见图2)；2、已知f(x)c (c为常数)在给定区间D上恒成立，则xD时，fmax(x)c(见图3)。形式(二)1、已知f(x)c (c为常数)在给定区间D上有解(或解集不空)，则xD时，fmax(x)c(见图4)；2、已知f(x)c (c为常数)在给定区间D上有解(或解集不空)，则xD时，fmin(x)c(见图5)。形式(三)1、“已知f(x)g(x)在给定区间D上恒成立”等价于“f(x)-g(x)0在给定区间D上恒成立”转化为“xD时，(f(x)-g(x)min0”(见图6)(错误的转化是：fmin(x)gmax(x)；2、“已知f(x)g(x)在给定区间D上恒成立”，转化为“xD时，(f(x)-g(x)max0”(见图7)(错误的转化是：fmax(x)gmin(x)。形式(四)1、“已知f(x)g(x)在给定区间D上有解”等价于“f(x)-g(x)0在给定区间D上有解”转化为形式(二)“时，(f(x)-g(x)max0”；2、“已知f(x)g(x)在给定区间D上有解”等价于“f(x)-g(x)0在给定区间D上有解”转化为形式(二)“xD时，(f(x)-g(x)min0”。归纳形式(一)至形式(四)的解题通法：方法1：直接求f(x)的最值(如形式(一)(二)或构造函数h(x)=f(x)-g(x)，求h(x)的最值(如形式(三)(四)；方法2：分离参数法；方法3：若是二次不等式恒成立或有解问题，可利用二次函数的图象数形结合。形式(五)1、已知“任意x1，x2D，使f(x1)g(x2)恒成立”转化为“xD时，fmin(x)gmax(x)”(见图8)；2、已知“任意x1，x2D，使f(x1)g(x2)恒成立”转化为“xD时，fmax(x)gmin(x)”(见图9)。形式(六)1、已知“存在x1，x2D，使f(x1)g(x2)成立”转化为“xD时，fmax(x)gmin(x)”(见图10)；2、已知“存在x1，x2D，使f(x1)g(x2)成立”转化为“xD时，fmin(x)gmax(x)”(见图11)。形式(七)已知“任意x1，x2D，使|f(x1)-f(x2)|c恒成立”转化为“xD时，fmax(x)fmin(x)c”。归纳形式(五)至形式(七)的解题通法：直接求f(x)或g(x)的最值三、典例精析，适量训练，提升能力精选例题，对学生进行适量训练，使学生巩固和熟练掌握上述各种形式、转化途径及解题通法，是提升学生数学能力的不可缺少的重要环节。例1：(07福建文20)设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(xR，t0)，(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)-2t+m对t(0，2)恒成立，求实数m的取值范围。分析：(1)略；(2)由(1)知h(t)=-t3+t-1(t0)，构造新函数，令g(t)=h(t)+(-2t+m)=-t3+3t-1-m，t(0，2)，已知h(t)-2t+m对t(0，2)恒成立等价于gmax(t)0 t(0，2)，往下利用导数知识讨论函数g(t)的单调性，求g(t)的最大值。评注：此题是属于形式(一)的三次不等式恒成立问题，中档难度，在2007年全国高考数学试题中，同类题的还有全国文科第20题。例2：(04天津文21)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值-2，(1)求f(x)的单调区间和极大值；(2)证明对任意x1，x2(-1，1)，都有|f(x1)-f(x2)|4。分析：(1)略；(2)由(1)知，f(x)=x3-3x，要证：对任意x1，x2(-1，1)，都有|f(x1)-f(x2)|4，只要证：x(-1，1)时，fmax(x)-fmin(x)4，往下利用导数知识讨论函数f(x)的单调性，求f(x)的最大值和最小值。评注：此题是属于形式(七)含绝对值的三次不等式恒成立问题，中档难度。解题关键是掌握一个重要关系式：|f(x1)-f(x2)|fmax(x)-fmin(x)，去绝对值号，转化为求函数f(x)的最大值和最小值还要注意一个细节问题：|f(x1)-f(x2)|fmax(x)-fmin(x)中的等号何时取到？例3：已知函数f(x)=2x3+2x2+x-4，g(x)=-x2+x-a，若对任意的x1，x2-1，+都有f(x1)g(x2)，求实数a的范围分析：已知对任意的x1，x2(-1，+)都有f(x1)g(x2)等价于x-1，+)时fmin(x)gmax(x)，往下利用导数知识讨论函数f(x)的单调性，求f(x)的最小值，利用二次函数的图象，求g(x)的最大值。评注：此题与本文开头例(2)形似而质不同，难度较大，主要在于学生对于已知“对任意的x1，x2-1，+都有f(x1)g(x2)”，理解和转化有困难，突破难点的关键是数形结合。例4：设为实常数，函数，（1）若函数图象在点处的切线的倾斜角为，求函数的单调区间；（2）令，若存在，使，求的取值范围分析：（1）略 （2），已知存在，使，即时，有解，有两种转化途径思路1：等价于时；思路2：等价于（往下过程与本文开头例的正解类似）.评注：相对于恒成立问题，存在性问题难度更大，主要还是学生理解和转化有困难。思路1的另一