纳思教育研究院-个性化教育研究杂志1 初中数学几何学习方法浅谈.doc

寄语学生善于学习，积极思考，融会贯通，举一反三，触类旁通。初中数学几何学习方法浅谈纳思书院杭州凤起学习中心 李胜一、源于课本，深入教材，要善于学习，积极思考，学习需要独立思考的过程。在学习三角形时，我们知道构成三角形的条件是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。换言之就是：第三边大于两边的差，小于两边的和。【例1】 已知，两边,，则第三边的范围是多少？ABC的确，根据课本给出的结论，马上可以算出来两边差是ACAB=53=2，ACAB=53=8很明显我们知道。现在回过头想想，我们是不是仅死记这个结论，而就此止步了呢？我们是否从三线段形成三角形的过程考虑过？BC的大小直接跟的大小有关，越小BC越小，越大BC越大。可以通过如下图形过程了解：ABCABCABC 这样能理解课本上结论的本质了吧。【拓展延伸1】 已知，两边,，AD是第三边上的中线，则AD的范围是多少？ABCD根据中线定义，我们只知道D为BC的中点，而课本上也没有关于一般三角形中线长度的求法，也就只有个直角三角形斜边上的中线定理。那么这个问题该怎么考虑呢？我们通过例1，了解到三角形形状是不定的，BC的长度也是变化的，同样AD也是变化的。思考，通过变化引起BC变化再引起AD变化这个过程，而D为BC中点这个又始终固定不变，找到解决问题的突破口。可以通过如下图形过程了解：ABCDABCD DABC由此不难得出，当为时，AD最小为1，当为时，AD最大为4，所以。【拓展延伸2】 已知，两边,，AD是的角平分线，则AD的范围是多少？ABCD根据角平分线定义，我们只知道，而课本上也没有关于一般三角形角平分线长度的求法。这个问题又该怎么去考虑呢？通过上述问题，又如何找到突破口呢？同样可以通过如下图形过程了解：ABCDABCD DABC几个过程我们也能清楚的描述出来，也知道当为时，AD最小，当为时，AD最大，此题和上一题不同，上一题D点是固定的，而本题未知，只知D在BC上，那AD范围当如何考虑呢？这时需要我们仔细思考，既然要求范围，我们只考虑两个极端情况即可了，即当为时，A与D点重合，AD最小为0，当为时，A与C重合，AD最大为5。所以。【拓展延伸3】 已知，两边,，AD是第三边BC上的高，则AD的范围是多少？ABCD如果AD为高，则AD可能在中内部和外部两种情况，当为和时，是否就是两种极端情况呢？根据图形我们发现，若为或时，AD均为0，也就是最小值。那什么样情况下AD最大呢？ DABCABCDABCD通过图形的变换过程，我们会发现，当AD和AB重合时（如下图），即时，AD有最大值为3，且能取到。所以。AB（D）C以上几题都是同一个类型，在解题思维的变换中不断深化，加强。平时在学习时要不断加强练习，提高数学解题思维能力。在学习命题与证明后，可以回顾以前学过的一些重要结论，试图证明逆命题是否成立，我们会发现很多问题都没有想象的那么容易证明。简单的举几个例子：（1）“平行四边形对角相等”的逆命题是“对角相等的四边形是平行四边形”。这个不难证明，只要抓住四边形内角和为这个关键点证明同旁内角互补即可。（2）“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形时直角三角形”。此题可以根据三角形内角和为，再结合等腰三角形性质即可证明。也可以倍长中线，补成一个四边形，证明四边形为矩形来证明。（3）“等腰梯形的对角线相等”的逆命题是“对角线相等的梯形是等腰梯形”。这个不妨去证明下，很多学生做这道题目没什么思路，因为要涉及到添辅助线。需要掌握了梯形辅助线的六种添法，运用平移对角线，然后再证明全等即可。在几何的学习中，有很多的时候需要我们自己不断的思考，不断的归纳总结。只要我们仔细研读课本，深入研究教材，积极思考，学习其实是很快乐的。二、利用所学知识，善于归类，深化加强，举一反三，融会贯通。我们在学习中位线时，都知道：三角形中位线平行且等于底边的一半，梯形中位线平行且等于上下底和的一半，但涉及到需要做辅助线问题时却没什么思路。一般来说，若图形当中有两个及以上中点时，必定是考虑中位线，若两中点连线非中位线时，再通过构造找出一个中点，连接各中点，必定有中位线，然后利用中位线性质，问题就会得以解决。【例2】如图，ABC中，ABAC ，D为AC上一点，且CD=AB，E，F分别为BC，AD的中点，BA的延长线交EF的延长线于点G。求证：AG=AF。FAGBECD 此题出现两个中点，而EF并非是中位线，而此题很明显是根据中位线性质来做，如何找到问题的突破口就成为解决这道题目的关键，而条件CD=AB又如何用呢？既然有中点没有中位线，我们就另找个中点，构造中位线。如图，若连接BD，取BD中点P，连接PE，PF，问题马上就迎刃而解了。CD=AB这个条件也用上了，根据中位线性质可以得到PE=PF，从而，再根据平行，可以得到，所以，所以AG=AF。FAGBECDP 【拓展延伸1】在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点， FE的延长线分别与BA，CD的延长线分别交于点G，H。求证：BGE=CHE。HFDAGBCEH 有三角形进一步深化到四边形，方法还是一样，添加辅助线如图，可知PE，PF都是三角形中位线，根据AB=CD即可得到PF=PE，从而得到，再根据平行同位角和内错角即可证。PFDECAGBH【拓展延伸2】在ABC中，AD是角平分线，交BC于点D，点E，F分别是AB、AC上的点，BE=CF， M、N分别为EF、BC的中点。求证：MNAD。AEFMBDNC本题是在上一题的基础上进一步加深，方法一样，但要注意在得出后如何考虑的问题。要证明MNAD，可证明同位角相等即可。由于AD是角平分线和PM、PN分别是中位线可得到，而，即可得，故MNAD。PAEFMBDNCGH（2011年育才期中卷）如图，已知AD为的角平分线，ABAC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC、AE的中点，求证：MN/AD。熟悉了上面几题的方法后，此题就不难证明了。【拓展延伸3】在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是AB，CD的中点，M、N分别为AD、BC上的动点且MNEF。求证：DMN=CNM。ABCDFEMN此题是在上面几题的基础上再深一步，方法一样，连AC，找中点P，连PE、PF，可得PE、PF均为中位线，且PE=PF，。但似乎和MN还扯不上关系，且MNEF条件怎么用，这是关键。深入思考，既然M、N分别为AD、BC上的动点，那么在动的过程中是否可与等腰三角形PEF的三线合一呢？想到这里问题就解决了。作，则可得平分EDF，根据中位线平行，同位角、内错角相等可得，因此DMN=CNM。ABCDFEMNP通过中点利用中位线或构造中位线解题，相信以上类型问题你已经融会贯通了吧。下面给大家留一个类似的问题，自己去独立思考哦，看看是不是能快速的证明出来呢？如图，在中，AF为角平分线，D，E分别在AB，AC上， BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q，求证：AFAQABCDEPQMNF提示：辅助线如图所示。ABCDEPQMNFG三、注重平时学习方法的积累，在关键时刻能够灵活运用，触类旁通，难题就会迎刃而解。【例3】我们在学习正多边形时，发现了以下一组有趣的结论：如图1，若P是圆内接正三角形ABC的外接圆的上一点，则；如图2，若P是圆内接正四边形ABCD的外接圆的上一点，则；如图3，若P是圆内接正五边形ABCDE的外接圆的上一点，请问与PA有怎样的数量关系，写出结论，并加以证明；若P是圆内接正n边形的外接圆的上一点，请问与又有怎样的数量关系，写出结论，不要求证明. 在证明线段和的问题时，一般我们用到的方法是截长补短法。即:（1）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）已知，如图，在中，BAC、BCA的角平分线AD、CE相交于O。求证：ACAECD。 F要证明此题，可在AC上截取一段AF，使AF=AE，再通过证明CF=CD即可。此题较常见，相信大家都会证明。（2）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）已知，如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。求证：EFBEDFABCDFE ABCDFEG要证明此题，可在CB的延长线上取一点G，使BG=DF，再通过证明AEGAEF得GE=EF即可.再回到例3上来，对于第题，我们使用两种方法均可证明。但结合，我们会发现各小题使用的解题方法都一样，深入思考下，我们采取“补短法”较好.证，延长PB到D，使BD=PC，又AB=AC，ABD=ACP（圆内接四边形一个外角等于相邻角的对角），故有ABDACP（SAS），所以AD=AP，因为APB=，所以APD为等边三角形，所以PA=PD=PB+PC。ABCPD ABCPDE证，同理，延长PB到E，使BE=PD，又AB=AD，ABE=ADP（圆内接四边形一个外角等于相邻角的对角），故有ABEADP（SAS），所以AE=AP，因为APE=，所以APE为等腰直角三角形，所以.证，同理可证，ABFAEP（SAS），故有所以AF=AP，因为APE=，所以APE为等腰三角形，而PB+PE=PF,要求PA与PF关系，可过A作AGPF，则,而，所以.PABCDEFG总结以上结论，中，中，中，以此类推中.本题为综合探究型题型，需要我们