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梯形知识要点：1梯形的定义： 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形说明：（1）梯形是一种特殊的四边形； （2）证明梯形时除了证明一组对边平行外，特别注意还要证明另一组对边不平行； 有时证明不平行比较困难，还可以证明平行的这一组对边不相等2梯形常用的辅助线做法： (1) 过一顶点作一腰的平行线，分解成一个平行四边形和一个三角形；(2) 过一顶点作一条对角线的平行线，构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形； (3) 过一腰中点作另一腰的平行线，构造出平行四边形和一对全等的三角形；(4) 过一底边的端点作另一底边的垂线, 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等;(5) 延长梯形的两腰使其交于一点, 构成两个形状相同的三角形；(6) 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交，构造一对全等的三角形， 将梯形作等积变换； 3特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等 （2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形例题分析例1已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。求证：证明：四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，且为其对角线，。在和中，又，例2已知，如图，梯形ABCD中，延长AB到E，使，求证：证法一：由四边形ABCD是等腰梯形， 又， ADC=CBE 在与中， 于是，故。证法二：如图，连结BD，由可知四边形DCEB为平行四边形，所以 又四边形ABCD为等腰梯形，于是，故证法三：如图，作于于M。 在与中， ， 所以 又，故 又由，可得MF=BE 所以 所以F为AE的中点，CF为AE的垂直平分线，所以证法四：如图，连结BD。 由知四边形BECD为平行四边形，所以。 又四边形ABCD是等腰梯形，所以 又由，可知。 所以1=2 所以1=3 所以AC=CE 说明：本题采用了几种常用的作辅助线的方法证得结论，目的是说明解与梯形有关的问题经常用这些作辅助线的方法。例3如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画出来： （1）不是正方形的菱形一个；（2）不是正方形的矩形一个；（3）梯形两个；（4）不是矩形、菱形的平行四边形一个；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。解：例4如图，已知：四边形ABCD是等腰梯形，其中，若，. 求：梯形ABCD的面积. 解答：过点D、C作于E，于F. 则根据等腰梯形的轴对称性可知：. ， 四边形CDEF是矩形. . 在中，根据勾股定理有， .例5如图，已知：在梯形ABCD中，AC、BD相交于点O. 求证：. 证明：，A、D两点到BC的距离相等. 即中BC边上的高与中BC边上的高相等. （等底等高）. 例6已知梯形ABCD中，ADBC，AD=5cmBC=7cm，AB=6cm求另一腰CD的取值范围解：如图，过D点作DEAB，交BC于点E ADBC，DEAB，四边形ABED是平行四边形，DE=AB=6，在DEC中，4（cm） DC 8（cm）例7如图，已知：在等腰梯形ABCD中， （1）若，梯形的高是4，求梯形的周长；（2）若，梯形的高是，求梯形的周长；（3）若，求证：解：（1）如图，过点A作于点， 则在等腰梯形ABCD中， 在中， 所以，等腰梯形ABCD的周长是（2）类似（1）， 在中， 所以，等腰梯形ABCD的周长是（3）如图，过点D作，交BC的延长线于点F， 即得平行四边形ACFD， 则， 在等腰梯形ABCD中， 而 在中， 所以BDF=90，即BDDF 又因为 所以例8如图，在梯形ABCD中，对角线于点P求证：证明：由，可知，且所以，解答问题：（1）上述证明得到的性质可以叙述为：_（2）已知：如图，等腰梯形ABCD中，对角线于点P，利用上述的性质求梯形的面积解析：（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半（2）先利用例7（3）的方法，求出； 再利用上述性质，求出例9已知：梯形ABCD中，ADBC，E为DC中点，EFAB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积解：如图，过E点作MNAB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点DE=EC，ADBC，可以证明DEM CNE，四边形ABNM是平行四边形EFAB，S梯形ABCD=SABNM=ABEF=3cm5cm=15cm2例10已知：梯形ABCD中， AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积。解：如图，作DEAC，交BC的延长线于E点。ADBC四边形ACED是平行四边形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5DE=AC=4在DBE中，BD=3，DE=4，BE=5BDE=90作DHBC于H，则例11已知：梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，ECD的面积为10，求梯形ABCD的面积。解：如图12，取DC的中点F，连结EF，作DHBC于H点。AE=EB，DF=FC，ADBC，EFADBC，DHEFEFDH=20例12有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图上），并给予合理的解释图（1） 图（2） 分析：思路（一）连接梯形上、下底的中点思路（二） 在下底上截一边及另一腰为边的三角形，使它们面积为原梯形面积的一半思路（三） 取梯形一条对角线的中点，连接另外两个顶点所得的两个四边形解：设梯形上、下底分别为、，高为方案一：如图（1），连接梯形的上、下底的中点E、F，则方案二：如图（2），延长BC至F，使，取的中点E，连接AE，则方案三：如图（3），连接AC，取AC的中点E，连接BE、ED，则四边形ABED的面积等于梯形ABCD的面积的一半分析可知，因为，所以，所以，故有四边形ABED的面积等于梯形ABCD的面积的一半【同步练习】一、填空题1.梯形的定义是：_ _.2.在梯形中，不是同一底上的两组角的比值分别为13和37，则四个角的度数为 .3.如图,梯形ABCD中，ADBC，AC为对角线，AEBC于E，ABAC，若ACB=30，BE=2.则BC=_ _. 4.直角梯形的定义是：_.5.直角梯形一腰长16 cm,和一个底所成的角为30,那么另一腰长_ cm.6.等腰梯形的两底差等于腰长，腰与下底边的夹角为_，与上底的夹角为_.7.满足 条件的梯形是等腰梯形.8.等腰梯形有下列性质：从角看：在同一底上的两个角_；从边看：两腰_ _ _；从对角线看：两条对角线_ _；从图形的对称性看：是_对称图形.二、选择题1.如下左图，梯形ABCD中，ADBC，设AC，BD交于O点，则图中共有对面积相等的三角形.（ ）A.2B.3C.4D.5 2.如上右图，在直角梯形ABCD中，AB=4 cm,AD=4.5 cm,C=30,则DC= cm，BC= cm（ ）A.8,4B.8 cm,(4.5+4) cmC.4(+1)+,8D.8 cm,(4+4) cm3.等腰直角三角形各边中点连线围成的多边形是（ ）A.平行四边形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形三、请你来完成1.用下面的方法来说明：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.(1)如下左图，分别延长梯形ABCD的腰BA，CD，设它们相交于点E.通过证明EAD和EBC都是_三角形来证明. （2）如上右图，作梯形ABCD的高AE，DF，通过证明RtABERtDCF来证明定理.说理过程：（1）（2）2.已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15 cm,49 cm,求它的腰长.参考答案一、1.略2.45，135，54，126 3.84.有一个角是直角的梯形叫直角梯形 58 6.60 1207.同一底上两底角相等(或对角线相等)8.相等 相等 相等 轴对称图形二、1.B 2.B 3.C三、1.(1)等腰(1)证明：延长BA、CD交于EB=C,BE=CE又ADBCEAD=B,EDA=CEAD=EDA,AE=D