高中数学复习教案大全Word版100-127.doc

第九章 直线、平面、简单几何体第74课时：直线与平面垂直课题：直线与平面垂直一复习目标：1掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。二知识要点：1直线与平面垂直的判定定理是 ；性质定理是 ；2三垂线定理是 ；三垂线定理的逆定理是 ；3证明直线和平面垂直的常用方法有：三课前预习：1若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是 （ ） 2已知与是两条不同的直线，若直线平面，若直线，则；若，则；若，则；，则。上述判断正确的是 （ ） 3在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）4.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：若，则是的垂心若两两互相垂直，则是的垂心若，是的中点，则若，则是的外心其中正确命题的命题是 四例题分析：例1四面体中，分别为的中点，且，求证：平面 证明：取的中点，连结，分别为的中点，又，在中，又，即，平面 例2如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，（1）求证：；（2）当，时，求的长。（1）证明：取的中点，连结，是的中点， ， 平面 ， 平面 是在平面内的射影 ，取 的中点，连结，又，由三垂线定理得（2），平面，且，例3. 如图，直三棱柱中，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面证明：连结，在直三棱柱中，平面，是侧面的两条对角线的交点，是与的中点，连结，取的中点，连结，则，平面，平面，是在平面内的射影。在中，在中，平面五课后作业：1下列关于直线与平面的命题中，真命题是 （ ）若且，则 若且，则若且，则 且，则2已知直线a、b和平面M、N，且，那么（ ）（A）Mba （B）babM（C）NMaN （D） 3在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为 （ ）线段 线段 的中点与的中点连成的线段的中点与的中点连成的线段4三条不同的直线，、为三个不同的平面若 若.若、若上面四个命题中真命题的个数是 5如图，矩形所在的平面，分别是的中点，（1）求证：平面； （2）求证：（3）若，求证：平面6是矩形，沿对角线把折起，使，（1）求证：是异面直线与的公垂线；（2）求的长。7如图，已知是由一点引出的不共面的三条射线，求证：8矩形中，平面，且，边上存在点，使得，求的取值范围。第十三章 导数第100-102课时：导数的应用(3)课题：平面与平面垂直一复习目标：1掌握平面与平面垂直的概念和判定定理性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题。2在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使得问题获得解决二主要知识：1二面角的范围： ；二面角平面角的作法： ；二面角的求解步骤： ；2平面与平面垂直的概念： ；3平面与平面垂直的性质定理 ；符号语言表示为 4.平面与平面垂直的判定定理 ；符号语言表示为 .三课前预习：1已知正方形所在的平面，垂足为，连结，则互相垂直的平面有 （ ）5对 6对 7对 8对2平面平面，=，点，点，那么是的（ ）充分但不必要条件 必要但不充分条件充要条件 既不充分也不必要条件3若三个平面，之间有，则与 （ ）垂直 平行 相交 以上三种可能都有4已知，是两个平面，直线，设（1），（2），（3），若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是 ( ) 0 1 2 3四例题分析：例1 在四面体中，且，求证：平面平面第十三章 导数第100-102课时：导数的应用(3)课题：导数的应用3：切线与速度的问题(3课时)一用导数求曲线的切线函数在处导数的几何意义，就是曲线在点处切线的斜率，也就是说，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。二用导数求瞬时速度 物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。三范例分析例1求过抛物线y=ax2+bx+c（a0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。分析：为求斜率，先求导函数：y=2ax+b，故切线方程为yy0=(2ax0+b)(xx0)即y=(2ax0+b)xax+c，亦即y=(2ax0+b)xax+c.抛物线焦点：F（,），它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。解：显然，y0=ax+bx0+cy=2ax+b 故在P点处切线斜率为2ax0+b，切线方程y(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(xx0)，亦即y=(2ax0+b)xax+c.由于y=ax2+bx+c按向量=平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax）的切线l ：y=2ax0xax 满足：焦点关于l的对称点为（m，n）.当x00时，消去n. 知 m=x0.当x0=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，故从焦点发出的光线射到（x0，ax）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.例2求函数y=x4+x2 图象上的点到直线y=x4的距离的最小值及相应点的坐标.分析：首先由得x4+2=0 知，两曲线无交点.y=4x3+1，切线要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.故切点：（0 , 2）一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的 距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的 直线若与曲y=f(x)相交，（A为一交点），则l与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l间的距离，亦即A到l的距离.当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x+x02)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离，故距离最小距离为上述等号当且仅当x=0时取得，故相应点坐标为（0，2）。解：y= 4x3+1，令4x3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，2）的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到 已知直线距离最近，为.例3已知一直线l经过原点且与曲线yx33x22x相切，试求直线l的方程。分析： 设切点为（x0，y0），则y0x033x022x0，由于直线l经过原点，故等式的两边同除以x0即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程。在两边同除以x0时，要注意对x0是否为0进行讨论。解：设直线l：ykx 。 y3x26x2， y|x=02，又直线与曲线均过原点，于是直线ykx与曲线yx33x22相切于原点时，k2。若直线与曲线切于点(x0，y0) (x00)，则k，y0x033x022x0，=x023x02，又ky|3x026x02，x023x023x026x02，2x023x00，x00，x0，kx023x02，故直线l的方程为y2x或yx。例4已知曲线及其上一点，过作C的切线，与C的另一公共点为（不同于），过作C的切线，与C的另一公共点为（不同于），得到C的一列切线，相应的切点分别为，。（1）求的坐标；（2）设到的角为，求之值。解：（1）设，过作C的切线。C在处的切线的方程为：，代入，并整理得。即（舍去）或。由题意，从而，（nN*）即；（2）的斜率。的斜率。例5在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离s27t0.45t2（单位是米），这列火车在刹车后几秒钟才停车？刹车后又运行了多少米？解：当火车运行速度为0时，火车停车。vs(27t0.45t2)270.9t，令270.9t0，得t30（秒），则s27300.45302405（米），故这列火车在刹车后30秒钟才停车，刹车后又运行了405米。例6求曲线y在横坐标为x0的点处的切线方程，并求此曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。分析：先根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线方程，从而求出切线被两坐标轴所截线段，再用基本不等式求其最小值。解：由导数的定义可得y /，则过()点的切线方程为，由此得切线在x轴与y轴上的交点分别为A(x0，0)，B(0，)。则|AB|2，|AB|，当且仅当，即x0时，等号成立。故最短长度为。例7如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M。又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度。（1984年全国高考附加题）分析： 设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导。解：如图，作CDAM，并设AP=x，AM=y，COA=，由题意弧AC的长为，半径OC=1，可知=，考虑（0，）。APMDCM，。DM=y- (1-cos)，DC=sin， 。上式两边对时间t进行求导，则 。=当时，代入上式得点M的速度。例8已知在R上单调递增，记的三内角的对应边分别为，若时，不等式恒成立（）求实数的取值范围；（）求角的取值范围； （）求实数的取值范围解：(1)由知，在R上单调递增，恒成立，且，即且， 当，即时，时，时，即当时，能使在R上单调递增，(2)，由余弦定理：，(3)在R上单调递增，且，所以，故，即，即，即例9已知函数在区间单调递增，在区间单调递减.（）求a的值；（）若点A（x0,f(x0)）在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；（）是否存在实数b，使得函数的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.解：（）由函数单调递减，（）（）函数四、专题训练1一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=53t2，则它在1,+t内的平均速度为（ C ）（A）3t+6 （B）3t+6 （C）3t6 （D）3t6提示： 选（C）2曲线y=x3x2+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为 （ D ）（A） （B） （C） （D）提示：y=x22x. 当x=1时，y=1 选（D）3设曲线在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为（ C ）A（3，9）B（3，9）C（）D（）4某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为（ B ）A1B3C7D135函数处的切线方程是（ D ）ABCD6某物体的运动方程为，则该物体在时的瞬时速率是（ A ）（A）36 （B）26 （C）14 （D）287曲线与曲线的公共切线的条数是 （ B ）A1条 B2条 C3条 D0条8曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0点的坐标是（ B ） A(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)9给出下列命题：(1)若函数f(x)=|x|，则f(0)=0；(2)若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+x,3+y)，则=4+2x(3)加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；(4)y=2cosx+lgx，则y=-2cosxsinx+其中正确的命题有（ B ） A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个8函数处的切线方程是（ D ）ABCD9已知函数的图象与x轴切于点（1，0），则的极值为（ A ）A极大值，极小值0B极大值0，极小值C极小值，极大值0D极大值，极小值010已知二函数，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ C ）A0B12C0或12D4或111如果曲线处的切线互相垂直，则x0的值为 . （）12曲线上一点M处的切线与直线垂直，则切线的方程是_ 或13求曲线y = sinx在点x=处的切线方程。提示：根据导数的几何意义求出曲线y = sinx在点x=处的切线斜率。解：y=cosx，切线的斜率k= -1，切线方程为 y- 0=- (x- )，即x+y-=0。14求过点P（2，2）且与曲线y=x2相切的直线方程.解：y=2x，过其上一点（x0，x）的切线方程为yx=2x0(xx0)，过P（2，2），故2x=2x0（2x0）x0=2. 故切线方程为y=(4)x(6).15由y=0，x=8，y=x2围成的曲边三角形，在曲线弧OB上求一点M，使得过M所作的y=x2的切线PQ与OA，AB围成的三角形PQA面积最大。答案：（16/3，256/3）16路灯距地面8m，一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走，则人影长度变化速率是多少？（要求以m/s为单位）解：.OM= 4BM同理ON=4CN两式相减，知，影长变化BMCN= (OMON)=MN=t84m/min.17已知直线y=3x+1是曲线y=x32x+a的一条切线，求a的值.解：y=3x22. 令3x22=3， x=.代入切线方程知y0=1，a=y0+2x0x .18设曲线S：y=x36x2x+6，S在哪一点处的切线斜率最小？设此点为P（x0，y0）求证：曲线S关于P点中心对称.解：y=3x212x1当x=2时有最小值.故P：（2, 12）.S在（2，12）处的切线斜率最小，为13.又y=(x2+2)36(x2+2)2(x2+2)+6=(x2)313(x2) 12故曲线C的图象按向量=(2，+12)平移后方程为y=x 13x为奇数，关于原点对称，故P（2，12）为曲线S的对称中心.19曲线y=x(x+1)(2x)上有一点P，它的坐标均为整数，且过P点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.解：y=x3+x2+2x y=3x2+2x+2令y0 知x(， )又xz x=0或1 P点坐标为（0，0）或（1，2）.切线斜率k=2或1，切线方程为y=2x或y=x+1.20曲线：y=ax3+bx2+cx+d在（0，1）点处的切线为l1：y=x+1，在（3,4）点处的切线为l2：y=2x+10，求曲线C的方程。分析：已知两点均在曲线C上，y=3ax2+2bx+c (0)=c， (3)=27a+6b+cl1：y=cx+1 l2：y=(27a+6b+c)(x3)+4与已知比较，分别求出d=1，c=1，a=，b=1.答案：C：y=x3+x2+x+1.说明：求曲线过一点处的切线，先求斜率即导函数在x0处的值，再用点斜式写出化简.第十三章 导数第103课时：导数小结课题：导数小结一课前预习：1设函数在处有导数，且，则（）10 2 2设是函数的导函数，的图象如下图（1）所示，则的图象最有可能的是（）（1） 3若曲线与轴相切，则之间的关系满足（）4已知函数的最大值不大于，又当时，则15若对任意，则四例题分析：例1若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围解：，令得或，当时，当时，例2已知函数是上的奇函数，当时取得极值，（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意，不等式恒成立解：（1）由奇函数的定义，应有，即， ，由条件为的极值，必有，故，解得，当时，故在单调区间上是增函数；当时，故在单调区间上是减函数；当时，故在单调区间上是增函数，所以，在处取得极大值，极大值为（2）由（1）知，是减函数，且在上的最大值，最小值，所以，对任意的，恒有例3设函数的定义域为，当时，取得极大值；当时取得极小值，且（1）求证：；（2）求证：；（3）求实数的取值范围（1）证明：，由题意，的两根为，（2），（3）若，则，从而，解得或（舍），得若，则，从而，解得或（舍），综上可得，的取值范围是小结：本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识，综合分析问题和解决问题的能力五课后作业：1函数在0,3上的最大值与最小值分别是 （ ） 、 、 、 、2关于函数，下列说法不正确的是 （ ）在区间内，为增函数 在区间内，为减函数在区间内,为增函数在区间内为增函数3设在处可导，且，则等于（ ）1 4设对于任意的，都有，则（ ） 5一物体运动方程是，则时物体的瞬时速度为 6已知函数在处取得极值（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程7某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（吨）与每吨的价格（元/吨）之间的关系为，且生产吨的成本为元，问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润收入成本）8已知，函数的图象与函数的图象相切，（1）求的关系式（用表示）；（2）设函数在内有极值点，求的取值范围第十四章 复数第104-106课时：复数的有关概念课题：复数的有关概念一教学目标：1使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；2掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；3掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法4通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力5通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育二教学重点：复数三角形式表示法及复数的运算法则，复数与实数的区别和联系。三教学过程：（一）主要知识：1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；2.复数的代数表示与向量表示；3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；4.复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点：（1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭等外，还要注意一些重要而常不引起重视的概念。如：若有“34”。就是说，而且很快联系到或，又是不可能的，。复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。复数的几何意义也是解题的一个重要手段。（2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练以突破此难点；(3)重视以下知识盲点：不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来；容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。（二）知识点详析1知识体系表解2复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位,规定,形如a+bi的数称为复数,其中a，bR(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，bR）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的复数z=a+bi在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)(7)复数与实数不同处任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方而复数对四则运算和开方均通行无阻3有关计算：怎样计算？（先求n被4除所得的余数， ）是1的两个虚立方根，并且：3 复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。4 棣莫佛定理是：5 若非零复数，则z的n次方根有n个，即：它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆n等分。6 若，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则AOB（O为坐标原点）的面积是。7 =。8 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：轨迹为一条射线。轨迹为一条射线。轨迹是一个圆。轨迹是一条直线。轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在。轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在。4学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z=r(cos+isin)(Z(a,b)z=a+bi(3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想将复数问题实数化（三角化、几何化）；复数集纯虚数集虚数集实数集(7)掌握方程思想利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。（三）例题分析：.2004年高考数学题选1. (2004年四川卷理3)设复数i，则1A.B.2C.D.2(2004重庆卷2）)设复数, 则（ ）A3 B3 C3i D3i3. （2004高考数学试题广东B卷14）已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = .范例分析实数？虚数？纯虚数？复数z是实数的充要条件是：当m2时复数z为实数复数z是虚数的充要条件：当m3且m2时复数z为虚数复数z是纯虚数的充要条件是：当m1时复数z为纯虚数【说明】要注意复数z实部的定义域是m3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件要特别注意复数za+bi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0 ，所以，代入得，故选解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点求：z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z运算简化解：设z=x+yi(x，yR)将z=x+yi代入|z4|z4i|可得xy，z=x+xi(2)当|z1|13时，即有xx6=0则有x=3或x=2综上所述故z0或z=3+3i或z=-22i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质其性质有：(3)1+2i+3+1000【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，要记住常用的数据：，。（2）原式(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：设S1+2i+3+1000，则iSi+2+3+999+1000，(1i)S1+i+1000【说明】充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法【例5】（1）若，求： （2）已知，求的值。解：（1）【例6】已知三边都不相等的三角形ABC的三内角A、B、C满足、的值.【解】得3分上式化简为6分9分当12分【例7】设z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(aR)，若z1z20，z1z2+=0，问在（0，2）内是否存在使(z1-z2)2为实数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【分析】这是一道探索性问题可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答【解】假设满足条件的存在因z1z20，z1z2+=0，故z1z2为纯虚数又z1z2=(1-cos+isin)(a2+ai)=a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini，于是，由知a0因(0，2)，故cos1于是，由得a=另一方面，因(z1-z2)2R，故z1-z2为实数或为纯虚数又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于是sin-a=0，或1-cos-a2=0若sin-a=0，则由方程组得=sin，故cos=0，于是=或=若1-cos-a2=0，则由方程组得()2=1-cos由于sin2=1-cos2=(1+cos)(1-cos)，故1+cos=(1-cos)2解得cos=0，从而=或=综上所知，在(0，2)内，存在=或=，使(z1-z2)2为实数【说明】解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z0，z+=0z纯虚数以及z2RzR或z纯虚数（注：Re(z)，Im(z)分别表示复数z的实部与虚部）解题规律：对于“是否型存在题型”，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立【例8】设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a【分析】由于z2=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论【解】设|z|=r若a0，则z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数，从而r2=2ra解得r=(r=0，不合，舍去)故z=()i若a0，对r作如下讨论：（1）若ra，则z2=a-2|z|0，于是z为实数解方程r2=a-2r，得r=(r=0，不合，舍去)故z=()（2）若ra，则z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数解方程r2=2r-a，得r=或r=(a1)故z=()i(a1)综上所述，原方程的解的情况如下：当a0时，解为：z=()i；当0a1时，解为：z=()，z=()i；当a1时，解为：z=()【说明】解题技巧：本题还可以令z=x+yi(x、yR)代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解【例9】（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷18）已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.【解】由，解得，.方程的判别式.，由此得方程无实根.【例10】给定实数a，b，c已知复数z1、z2、z3满足求az1+bz2+cz3的值【分析】注意到条件(1)，不难想到用复数的三角形式；注意到条件（2），可联想使用复数为实数的充要条件进行求解【解】解法一由=1，可设=cos+isin，=cos+isin，则=cos(+)-isin(+)因=1，其虚部为0，故0=sin+sin-sin(+)=2sincos-2sincos=2sin（cos-cos）=4sinsinsin故=2k或=2k或+=2k，kZ因而z1=z2或z2=z3或z3=z1若z1=z2，代入（2）得=i，此时az1+bz2+cz3=|z1|a+bci=类似地，如果z2=z3，则az1+bz2+cz3=；如果z3=z1，则az1+bz2+cz3=解法二由（2）知R，故=，即=由（1）得=(k=1，2，3)，代入上式，得=，即z12z3+z22z1+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2，分解因式，得(z1-z2)(z2-z3)(z3-z1)=0，于是z1=z2或z2=z3或z3=z1下同解法一【说明】解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件：zRz=，以及视，等为整体，从而简化了运算解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔，而不注意充分观察题目的已知条件，结论特征等，从而使问题的求解或是变得异常的复杂，或干脆就无法解出最终的结果（四）巩固练习：设复数z=3cos+2isin，求函数y=-argz(0)的最大值以及对应角的值【分析】先将问题实数化，将y表示成的目标函数，后利用代数法（函数的单调性、基本不等式等）以及数形结合法进行求解解法一、由0，得tan0，从而0argz由z=3cos+2isin，得tan(argz)=tan0于是tany=tan(-argz)=当且仅当，即tan=时，取“=”又因为正切函数在锐角的范围内为增函数，故当=arctan时，y取最大值为arctan解法二、因0，故cos0，sin0，0argz，且cos(argz)=，sin(argz)=显然y(-，)，且siny为增函数siny=sin(-argz)=sincos(argz)-cossin(argz)=当且仅当，即tan=，取“=”，此时ymax=arctan解法三、设Z1=2(cos+isin)，Z2=cos，则Z=Z1+Z2，而Z1、Z2、Z的辐角主值分别为、0，argz如图所示，必有y=ZOZ1，且0y在ZOZ1中，由余弦定理得9图xargzyoZ1Z2Zcosy=+当且仅当4+5cos2=6，即cos=时，取“=”又因为余弦函数在0为减函数，故当=arccos时，ymax=arccos【说明】解题关键点：将复数问题通过化归转化为实数问题，使问题能在我们非常熟悉的情景中求解解题规律：多角度思考，全方位探索，不仅使我们获得了许多优秀解法，而且还使我们对问题的本质认识更清楚，进而更有利于我们深化对复数概念的理解，灵活驾驭求解复数问题的能力解题易错点：因为解法的多样性，反三角函数表示角的不唯一性，因而最后的表述结果均不一样，不要认为是错误的四课后作业：1、下列说法正确的是 A0i是纯虚数B原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D是虚数2、下列命题中，假命题是 A两个复数不可以比较大小B两个实数可以比较大小C两个虚数不可以比较大小D一虚数和一实数不可以比较大小3、已知对于x的方程+（12i）x+3mi=0有实根，则实数m满足 4、复数1+i+等于 Ai B i C2i D2i5、已知常数，又复数z满足，求复平面内z对应的点的轨迹。6、设复数，记。（1）求复数的三角形式；（2）如果，求实数、的值。7、（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理17)）已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求8、已知复数满足，且。(1)求的值；(2)求证：；(3)求证对于任意实数，恒有。9、（1992三南试题）求同时满足下列两个条件的所有复数z：(1)z+是实数，且1z+6；(2)z的实部和虚部都是整数参考答案1、解0i=0R故A错；原点对应复数为0R故B错，i2=-1R，故D错，所以答案为C。2、解本题主要考察复数的基本性质，两个不全是实数的复数不能比较大小，故命题B，C，D均正确，故A命题是假的。3、解本题考察复数相等概念，由已知4、解：因为i的四个相邻幂的和为0，故原式=1+i+i2+0+0=i，答案：A。5、解：Z对应的点的轨迹是以对应的点为圆心，以为半径的圆，但应除去原点。6、答案：（1）；（2）7、解：设，则复数由题设8、答案（1）；（2）、（3）省略。9、分析：按一般思路，应设zxyi（x，yR），或z=r（cos1t6=t2-400，解方程得又z的实部和虚部都是整数，t=2或t=6故z=13i或z=3i解法二：z+R，从而z=或z=10若z=，则zR，因1z+6，故z0，从而z+6，此时无解；若z=10，则1z+6设z=x+yi(x、yZ)，则12x6，且x2+y2=10，联立解得或或或故同时满足下列两个条件的所有复数z1+3i，1-3i，3+i，3-i。第十四章 复数第107-110课时：复数的代数形式及其运算课题：复数的代数形式及其运算一教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。二教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。三教学过程：（一）主要知识：1共轭复数规律，；2复数的代数运算规律（1）i=1，i=i，i=1，i=i；（3）iiii=1，iiii=0；3辐角的运算规律（1）Arg（zz）ArgzArgz（3）Arg=nArgz（nN），n1。或zR。要条件是|z|a|。（6）zz0，则4根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。5求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式|z|z|zz|z|+|z|的运用。即|zz|z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。|zz|z|z|等号成立的条件是：z，z所对立的向量共线且异向。（二）范例分析.2004年高考数学题选1.（2004高考数学试题（浙江卷，6）已知复数z1=3+4i, z2=t+i, 且是实数，则实数t=( )A B C- D-2.(2004年北京春季卷，2)当时，复数在复平面上对应的点位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是( C )A一条直线 B两条直线 C圆 D椭圆.主要的思想方法和典型例题分析：1化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式，正面求解。解法一、设zxyi（x，yR），原方