2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式.doc

模块基本信息一级模块名称微分学二级模块名称基础模块三级模块名称高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块编号2-10先行知识 导数的概念模块编号2-2知识内容教学要求掌握程度1、高阶导数的概念1、理解高阶导的概念一般掌握2、常见初等函数的高阶导数2、熟记常见初等函数的高阶导3、莱布尼兹公式3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶）4、隐函数的高阶导数4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶）5、参数方程的高阶导数5、熟记正弦、余弦等常见函数的n阶导数公式能力目标1、提高学生的观察分析能力2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力时间分配45分钟编撰黄小枚校对方玲玲审核危子青 修订肖莉娜二审危子青一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。二、授课部分 1.引例（1） 变速直线运动的速度是位置函数对时间t的导数，即 或（2） 速度函数对时间t的变化率就是加速度，即是对t的导数： 或（3）加速度就是位置函数对时间t的导数的导数，称为对t的二阶导数，记为或2高阶导数的定义设y=f(x)在某区间上可导，即有 存在，如果也可导，则称 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 , 或 , , 根据导数的定义可知： 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n-1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y, y (4), , y (n) 或, , , . 函数f(x)具有n 阶导数, 也常说成函数f(x)为n 阶可导. 注：（1）如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. （2） 二阶及二阶以上的导数y, y, y (4), , y(n)统称高阶导数. 3.常见初等函数的高阶导数例1 已知 求 （一级） 解: 课堂练习：已知y=ex 求它的n 阶导数. 例2 已知求它的n 阶导数. （一级） 解:, , , , 一般地, 可得 , 即. 用类似方法, 可得.（选讲）例3 已知求它的n 阶导数. （一级）解： 一般的，可得课堂练习：求函数的n 阶导数 常见初等函数的高阶导数4.莱布尼茨公式如果函数及都在点处具有阶导数, 那么显然函数，也在点处具有阶导数, 且 , 此式称为莱布尼茨公式. 例4求). （二级）解: 设 则 代入莱布尼茨公式, 得5.隐函数的高阶导数例1.是由方程所确定的隐函数,试求,。（二级）解: 方程两边对求导： 方程两边再对求导： 由原方程知，当时，代入得再将，代入式，得注：隐函数的高阶导数就是对方程两边多求几次导，然后把低价导数代入等式。6.参数方程的高阶导数 例1 求方程 所确定的函数的一阶导数及二阶导数. （二级） 解： 注：求参数方程的高阶导数应注意在求导数的时候找准函数的自变量.三、能力反馈部分 1