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电力变压器铁芯柱截面的优化设计摘要针对问题一，要求铁心柱的外接圆直径为毫米的时候各级尺寸，根据铁心柱截面级数的选择（表1）可将级数的范围确定在级。查阅相关资料，假设叠片系数为，则铁芯柱截面的有效截面积与铁芯柱截面的理论面积的关系为。以最大有效截面积为目标，根据各级宽度、厚度和外接圆直径的几何关系，建立非线性整数规划模型（式4-4），并运用lingo软件编程求解。得到如下结果：当级数为级的时候，铁芯柱的有效截面积最大为,铁芯柱利用率为，同时可得出各级硅钢片的具体尺寸为表4-3。针对问题二，求线圈的内筒和铁心柱的外接圆的公差带。我们根据其半径与铁芯柱截面利用率的关系，再在此基础上设计出线圈内筒直径和铁芯柱的外接圆直径二者各自的公差带。以问题一为基础，建立规划方程，利用图解法，运用lingo软件和matlab软件求得优化后的直径为。经分析和查阅相关资料，并以优化后的直径最为其基本尺寸，运用国际孔与轴的基本偏差表的数据及计算公式建立模型并求解，求得结果为：线圈内筒直径的公差带是,铁芯柱外接圆直径的公差带为。针对问题三，要分别求出前两问中增设油道后的截面情况：求解问题一时，考虑到油道分割的五部分的面积要近似相等，建立以最大有效截面积为目标的规划模型，运用lingo软件，解得油道位置应在、2级之间和4、5级之间，在此基础上结合第一问中的思路设计出此时的铁心截面尺寸，详见表4-7。求解问题二时，为了使铁心利用率尽可能大，结合第二问的思路，以半径为目标建立规划模型（式4-8），求得铁心利用率最大时的外接圆半径为337.3。在此基础上，建立非线性整数规划模型，比较分析油道在不同级之间时，按分割面积相似度最高的要求，得出油道也应该设在、2级之间和4、5级之间。关键词：铁心利用率 规划模型 公差带 油道一、问题重述1.1问题的重述电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸。根据多年的生产经验，各生产厂提出改进设计的要求，以在提高使用效果的同时降低变压器的成本。现在以心式铁心柱为例试图进行优化设计。电力变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构，如图1所示。截面在圆内上下、左右轴对称。阶梯形的每级都是由许多同种宽度的硅钢片迭起来的。由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为的倍数（单位：毫米）。因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为毫米，硅钢片的宽度最小为毫米。铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数。而叠片系数通常与硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度有关。设计时希望有效截面尽量大，既节省材料又减少能量损耗。显然铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大。但这样制造也工艺复杂，一般情况下铁心柱的级数可参照表1选取。表1-1 铁心柱截面级数的选择铁心柱直径80195200265270390400740760以上级数5781011121415表1-2 冷却油道数的选择铁心柱直径mm半圆中6mm油道个数380-4100420-5001510-6902700-84031.2问题的提出问题一：当铁心柱外接圆直径为650毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大。问题二：实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。请结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带。问题三：铜导线在电流流过时发热造成的功率损耗简称为铜损；铁心在磁力线通过时发热造成的功率损耗简称为铁损。为了改善铁心内部的散热，铁心柱直径为380毫米以上时须设置冷却油道。简单地说，就是在某些相邻阶梯形之间留下6毫米厚的水平空隙（如图2所示），空隙里充满油，变压器工作时油上下循环带走铁心里的热量。具体油道数可按表2选取。油道的位置应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等。分别针对问题一和问题二的情况，增加油道要求再给出设计，并指出油道的位置。二、基本假设1、铁心柱截面外接圆直径与线圈内筒直径相等，且每一级硅钢片的顶点都在截面外接圆上。硅钢片平整程度以及压紧程度良好，即每一级硅钢片截面均为规整的矩形。2、叠片系数为。3、各级宽度逐级递减。4、硅钢片的宽度取的倍数（单位：毫米）。5、铁芯柱中心轴始终与线圈内筒中心轴重合。6、孔与轴取同一个公差等级。三、符号说明 铁心柱截面外接圆直径 第级硅钢片的宽度， 第级硅钢片的厚度， 第级硅钢片的截面面积， 多级铁心柱的总几何截面积 多级铁心柱的有效截面积叠片系数 线圈内筒与铁心柱外接圆之间的最大间隙长度 线圈内筒与铁心柱外接圆之间的最小间隙长度 铁心利用率(铁心柱有效截面积与其外接圆面积的比值) 最优直径标准公差因子基本尺寸线圈内筒直径公差带 铁心柱截面外接圆直径公差带四、模型的建立与求解4.1 问题一的建立与求解4.1.1问题一的分析：问题一要解决的是当铁芯柱外接圆直径为毫米时，如何确定铁芯柱截面的级数、各级的尺寸大小，才能使铁芯柱的有效截面积最大的问题。因此，我们可以通过分析铁芯柱截面有效面积与其级数、各级的尺寸大小的关系，建立非线性整数规划模型，并由lingo软件进行编程求解。4.1.2问题一的建立与求解铁芯柱截面有效面积的计算：为第级宽度（），为第 级的厚度（），由于假设叠片系数为，则铁芯柱截面总面积就等于铁芯柱截面各级的面积的总和，也即是，即： （4-1）宽度 、厚度 与铁芯柱外接圆半径r的关系：铁芯柱各级的宽度的一半：，由于优化时各级片宽尺寸为的倍数，因此各级片宽尺寸的尾数一般取或者，根据勾股定理可算出对应的级厚。现假设硅钢片所有的点都在外接圆周上，有， ， ， ， ，（为圆的半径），则由勾股定理可得，即。 同理，在第二级硅钢片中，又由勾股定理可得，即。依次类推可得与的关系为： （4-2）由此我们得出非线性整数规划模型： （4-3） （4-4）当铁芯柱外接圆直径为650毫米时,的取值根据题设给的数据（如下表1）可知，可取12,13,14 。表4-1铁心柱截面级数的选择铁心柱直径80195200265270390400740760以上级数5781011121415记铁芯柱截面的利用率为,用ingo编出相应的程序（程序见附录1）,可得出在当级数分别12、13、14级时的有效截面面积及铁芯柱截面的利用率，结果如下表所示：表4-2各级所对应的铁心利用率级数121314有效截面积（铁芯利用率根据题意，并结合上表中的比较可知，在铁芯柱外接圆直径为毫米时，当级数为14级才能使铁芯柱的有效截面积最大，其各级的宽度及厚度取值见下表：表4-3 当级数为14级时各级宽度及厚度各 级 宽 度 各 级 厚 度 最终得到铁心柱有效截面积为，铁芯柱截面的利用率为。4.2 问题二的建立与求解4.2.1问题二的分析： 问题二要求我们解决的问题是结合铁芯柱截面的优化设计而设计出线圈内筒直径和铁芯柱外接圆直径二者各自的公差带。 1、优化铁心柱截面半径的设计：为使得铁心柱有更好的截面形状，可以适当假定其外接圆半径的增加范围，然后根据外接圆半径和铁心柱截面利用率的关系求出最优化半径。在问题一的基础上，利用lingo软件和matlab软件进行求解，在利用曲线拟合求得最优化半径，即得到优化后的界面设计。 2、优化后公差带的设计：经分析，可以认为变压器的线圈内筒与铁心柱的关系等价于机械设计上的孔与轴的关系。 （1）、根据1的优化结果，将优化后的外接圆的直径作为孔与轴的基本尺寸; (2)、根据题设和查询相关资料，可以确定该孔（H）与轴（h)的配合制为基孔制。又因为题设要求“留有一定的间隙以便于安装和维修，同时根据相关机械资料中间隙配合的定义，将该题孔与轴的配合关系为间隙配合。 （3）、由于该题没有给出明确给出公差等级，根据相关资料，可以将其公差等级设定为IT5到IT13，并对其进行分析。由于各等级的计算方法相似，因此可选定一个公差等级（IT8）进行计算分析。（4）、查阅相关图表，根据机械方面的知识求得孔与轴的相关数据，再由此确定相应的公差带。4.2.2模型二的建立及求解 （一）优化铁芯柱的截面形状根据题设要求，稍微增加铁心柱的外接圆的直径可以使得铁心柱有更好的截面形状，即通过增加铁心柱外接圆的半径来增加铁心柱截面的利用率。 （4-5） 同理，由问题一的几何关系假设铁心柱外接圆的半径增量为，由于设计尺寸一般以5为步长，所以可假定直径的正偏差在5之内，即，由此得到规划方程为： (4-6)运用lingo软件编程求解得出不同半径所对应的铁心利用率，如下：表4-4不同半径所对应的铁心利用率铁心柱外接圆半径对应的铁心利用率铁心柱外接圆半径对应的铁心利用率然后用matlab软件对上述结果进行曲线拟合，得到下列图表：因此，根据图表中的数据可知，当时，铁芯柱截面的利用率最大为 ，即优化后的铁芯柱截面外接圆的直径为。（二）优化基础上公差带的计算 由（一）可知优化后铁心柱的外接圆直径为，将此作为孔与轴的基本尺寸，记为。假定电力变压器的线圈（孔）和铁心柱（轴）的配合机制为基孔制，则孔的基本偏差代号为，相应的，根据一般情况下大尺寸分段（）的同级配合的原则可知，轴的基本偏差代号为. 根据机械设计的要求和知识可知，基础尺寸在的范围内的标准公差因子的计算公式如下： 由于设计的要求，公差等级可取IT5到IT13，但因为公差等级的计算方法是类似的，故可以以公差等级IT8为例，来计算优化后外的公差带。查阅相关资料可知： 在IT8时,在基本尺寸分段表（见附录三）中的主段落尺寸上属于的范围，于是可得此尺寸分段的基本尺寸为 从而得到相应的标准公差因子为： 根据尺寸500mm时公差等级IT5IT13的标准公差计算表（见附录二）得到孔与轴的公差为：同时根据标准公差数值表（见附录四）可得标准公差值为。根据题设条件可知外接圆的直径要稍大，所以轴（铁心柱）的最小尺寸为。根据机械设计方面的知识，分别求得孔与轴的最大和最小极限尺寸，以及他们之间最大和最小间隙，以及配合公差。即：对于孔：最大极限尺寸：最小极限尺寸：对于轴：最大极限尺寸：最小极限尺寸： 孔与轴的最大间隙：孔与轴的最小间隙： 孔与轴的配合公差：综合以上数据得出一下图表：表4-5 公差带计算表单位：孔轴基本尺寸上偏差（基本偏差）下偏差（基本偏差）标准公差最大极限尺寸最小极限尺寸最大间隙最小间隙配合公差由此得到的结论是：当外接圆的直径（孔与轴的基本尺寸）时，线圈内筒的公差带是，铁心柱外接圆的公差是。43 模型三的建立与求解4.3.1模型的分析问题三要求是分别针对问题一和问题二的情况，给出增加油道后铁心柱的设计，并指出油道位置。首先，确定冷却油道的个数。因为铁心柱外接圆的直径在范围内，查下面题给的冷却油道数的选择表，得半圆中的油道个数为个。表4-6 油道数选择表铁心柱直径半圆中油道个数其次，确定冷却油道的具体位置。因为油道的分布是上下对称的，所以只要考虑上半圆中油道的位置即可得到整个圆中四个油道的具体位置。运用目标规划模型可以得到油道分布的最佳位置，即圆被油道分割成的五部分的面积相似程度最高。最后，运用lingo软件求解目标规划模型得到相应的最具利用率的铁心柱截面面积。4.3.2模型三的建立与求解 （一）针对问题一： 问题一已经得到最优的铁心柱级数为14级，加入油道仅仅影响各级厚度，最优油道依然不变为14级，因为油道是上下对称的，所以只要考虑上半圆的雨哦哒哦位置即可得到四个油道的具体位置。于油道被分割成的五部分的截面积要近似相等，而1/5铁心柱的截面积，同时根据题一中已求得的数据知，铁心柱第一、二级的截面积分别为，若在第二级加油道，则此油道间的截面积。因此确定其中一个油道所在的级数为级之间，通过直径及厚度的计算得到，另一油道的位置在级或级的范围内。现分别计算值取在级或级时对应的差值如下表： 表4-6 不同油道所对应的差值计算表差值差值由于得到最佳油道位置在硅钢片1级与2级之间和硅钢片的4级与5级之间。现求此时铁心柱截面积的设计，可以根据问题一中的思路来求解。构造的目标规划模型为： （4-7）由lingo软件（程序见附录）可求的，此时铁心柱截面的设计为14级，各级的宽度及厚度见下表：表4-7 设置油道时各级宽度与厚度第级1234567宽度635610580550515475440厚度69.436.834.426.525.117.617.4 第级891011121314宽度40536532027522516595厚度1514.71411.610.49.47.2（二）、针对问题二根据原来问题二中的条件，增加铁心柱外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状，即表示通过增加铁心柱外截圆的半径来增加铁心利用率。根据问题一得到当直径为时，因此求的一个的取值范围，使得此时，以半径为目标建立规划模型： （4-8） 通过lingo软件（程序见附录），所得结果并整理的如下表格：表4-8不同半径所对应的铁心利用率外接圆半径337337.1337.2337.3337.4337.5铁心利用率0.9277970.9278010.9278050.9278080.9277840.927785由表格可知，当外接圆半径为337.3时，铁心柱的利用率达最高为72.78%。当外接圆半径为337.3，且增加了油道时，同问题一中的思路一样得到油道分别在4,5级之间和在5,6级之间时，各级的宽度厚度及面积。油道在4,5级之间时：表4-9油道设在4,5级之间时各级尺寸第级1234567宽度660635605570525500465厚度69.838.135.431.219.12117.9面积4606824193.5214171778410218.5105008323.5第级891011121314宽度425385340290235175100厚度17.61514.413.211.69.67.8面积748057754896382827261680780油道在5,6级之间时：表4-10油道设在5,6级之间时各级尺寸第级1234567宽度660635605570535495460厚度69.838.135.431.225.117.717.6面积4606846068214171778413428.58761.58096第级891011121314宽度420390335285230170100厚度17.214.714.112.911.49.37.2面积722457334723.53627.526221581720 由此表不难得出，如果油道设在1,2级之间和4，5级之间，三块面积分别是92136, 63394.5, 73991；如果油道设在1,2级之间和5，6级之间，三块面积分别是92136，85584.5,43137。通过面积相似度得比较的，此时半圆中的油道的位置应设在1,2级之间和4，5级之间。五 参考书目【1】袁新生 邵大宏，lingo和excel在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007【2】陈晔 何荣坚，电力变压器铁心柱截面优化设计，数学建模论文集，第三期：54-64,2004年12月【3】谭永基 蔡志杰 ，数学模型，上海：复旦大学出版社，2005【4】刘满凤 陶长琪 柳健等，运筹学教程，北京:清华大学出版社，2010 六 附录附录一model:sets:kdu/1.12/:width;jihou/1.12/:height;ji/1.12/:shu;endsetsdata:r=?;f=0.98;enddatafor(jihou(i)|i #eq# 1:height=13);for(ji:gin(shu);for(ji:shu=4);for(kdu(i):width-5*shu=0);for(kdu(i)|i #gt# 1:width(i)=13);for(ji:gin(shu);for(ji:shu=4);for(kdu(i):width-5*shu=0);for(kdu(i)|i #gt# 1:width(i)=width(i-1);for(kdu(i):width*width/4+sum(jihou(j)|j #le# i:height)*sum(jihou(j)|j #le#i:height)-r*r=0);max=sum(kdu(i):2*width*height)*f;Objective value: 314338.0Extended solver steps: 505Total solver iterations: 25716Variable Value Reduced CostR 325.0000 0.000000F 0.9800000 0.000000WIDTH( 1) 640.0000 0.000000WIDTH( 2) 620.0000 0.000000WIDTH( 3) 595.0000 0.000000WIDTH( 4) 570.0000 0.000000WIDTH( 5) 540.0000 0.000000WIDTH( 6) 51