浅谈函数的一致连续性.doc

浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打下了坚实的基础。再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。使人们能够对它们有个全面的了解。关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable people to have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.分享到 翻译结果重试抱歉，系统响应超时，请稍后再试 支持中英、中日在线互译 支持网页翻译，在输入框输入网页地址即可 提供一键清空、复制功能、支持双语对照查看，使您体验更加流畅引言 数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。一致连续性函数有着许多性质，而实数的连续性和闭区间的紧致性使得闭区间上的连续函数更有着丰富的性质，以下就简单介绍一下一致连续性的定义、定理、判定、性质以及其延拓。一、一致连续的概念定义：设函数在区间（有限、无限、开、闭、半开半闭等皆可）上有定义，若对任意的，存在正数即（与有关），使得对中的任意两点，只要就有 则称在区间上一致连续。分析：在区间上一致连续与（处处）连续的主要区别在于前者的仅与有关），只要中的距离不管它们落在区间的什么地方，都有，通俗地说，在中的各点的连续程度是一致的，而后者的却不仅与有关而且还与点有关 因此后者可能在中的各点的连续程度很不一致。这里可能有人会想：既然对中的每一点都能找到相应的，那么取这些最小者或下确界作为正数不就可以使其与点无关了吗？事实上这未必是能办到的，原因是区间中有无限多个点，对应着无限多个正数，这无限多个正数未必有最小的正数，而对应点取下确界就可能是零了。如例题中 = 对取下确界就是零，而不是正数了。函数在区间上一致连续的几何解释是：对任给的总存在，使得以为底，为高的矩形能从曲线弧一端沿曲线平移到另一端，而不发生曲线弧与矩形上下底相交的情形，这个与点位置无关的公共的正数的存在性表明了函数在区间中各点的“连续程度”是一致的，这正是一致连续的缘故。由定义可以知道：（1）在区间上一致连续，必在的任一子区间上一致连续。（2）在区间上一致连续，必在上连续。（这只要把一致连续定义中看作中的任一点就行了）（3）在区间上不一致连续的含义应该是：存在某个对任意（不论有多小）在中总可以找到两点， 使得，而 例题1.证明：在（其中）上一致连续，在上不一致连续。证明：（1）对，取，当时，由一致连续的定义知在（）中一致连续。（2），在内取 取，对任意，只要充分大总有 ，在上不一致连续。例题2.证明在有限区间上一致连续，但在上不一致连续。证明：（1）设任意的，因 故对任给的取正数，则当时，就有就证明了在上一致连续。（2）注意到对中的任何，均有 要使点与的距离小于，只需取 因此，存在 对任意的，取，便有而，故在上不一致连续。例题3.设为任一正常数，试证：在内非一致连续，在上一致连续。证明：（1）证明在上一致连续。证明在满足Lipschitz条件， 从而，当时，。（2）证明在内非一致连续。取（=1,2，），则充分大时，且 （当时），但则在内非一致连续。例题4.若在上连续，存在，则在上一致连续。证明：因为，由柯西准则，存在，当 有 又由于在上连续，从而一致连续。故对上述，存在，当且时，有 取，则 且时，则或者 或者 ， 由，均有 此即证在上一致连续。例题5.若函数在区间上满足利普希茨条件：， 则在上一致连续。 证明：，取，则当，且时，则在上一致连续。在区间上连续的函数未必在该区间上一致连续，在对区间上的函数而言，处处连续与一致连续是等价的。二、一致连续性定理一致连续性定理：若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上一致连续。即若，对、有：则称函数在闭区间上一致连续。证法一（应用区间套定理证明） 用反证法。倘若连续函数在闭区间上不一致连续，即存在某一正数，对任何，在闭区间上恒存在相应两点、，尽管-，但有：下面我们将证明这一论断与函数在闭区间上连续性的假设相矛盾。现将闭区间三等份（如图）： 那么在的子区间和中至少有一个子区间具有如下性质：对这个，无论任何正数，在这个子区间上总存在两点、，尽管-，但有。如果这两个子区间都不具有性质，那么对这个，分别存在正数、。对中任意两点、和中任意两点、，只要，就有： （）因此，令=，则对闭区间上任意两点、，只要- ，由式便有：而这与最初假设函数在闭区间上不一致连续相矛盾，现把具有性质的子区间记为（若两个子区间都具有性质，则任选其中一个子区间记为）且有： 再将按上述方法分为两个子区间，同理其中至少有一个子区间具有性质，记这个子区间为，且有： 重复上述步骤并无限地进行下去，则可得到一个闭区间列，在每一个闭区间上都具有性质，且有：，、 由区间套定理，存在唯一一点,、由定理的已知条件函数在点连续，故对上述，存在，对一切，都有：。又由区间套定理的推论，当充分大时，有，故对上任意两点、，由于、，所以也有：于是有：但这与所具有的性质相矛盾，从而证得在闭区间上的连续函数必是一致连续的。-证毕。证法二（应用致密性定理证明） 用反证法，倘若函数在闭区间上不一致连续，则存在某个正数，对任何正数，都存在相应的两点、，虽然-，但有： 现以表示自然数，令=，记与它相应的两点为、，虽然，但有：当取遍自然数时，得数列，由致密性定理（波尔察诺（Bolzano）定理），存在收敛子列，同时也有：且：。由式有： 现让式中的，再由函数在闭区间上的连续性知：此式即为这与,这与相矛盾，所以连续函数在闭区间上一致连续。-证毕。证法三（应用覆盖定理证明） 由函数在闭区间上的连续性，任给正数，对每一个 ，都存在相应的正数，当时，便有： （）于是，当取遍闭区间上的各点后，就得到一个开区间集：它覆盖了闭区间。现由有限覆盖定理知，存在的一个有限子集：覆盖了，记，若、且，则必属于中某开区间，设，即：这时也有：再由（）式，便有：和从而就有：从而即得证了闭区间上的连续函数是一致连续的。-证毕。证法四（应用归结原则证明）用反证法。假设不一致连续，则必有点列使、，且，但：由有界，必有收敛子列，设，由 有则：由函数在点连续，则，由归结原则知：，有，即：。因为，所以矛盾，故假设不成立，因此连续函数在闭区间上一致连续。-证毕。当我们考虑的区间不是有界闭区间，而是开区间或者是无界区间时，函数在区间连续性就不一定能转变为区间的一致连续性，这种转变需要条件。这些条件一方面应该是函数在区间端点处或无远点处的性态，另一方面，应该是函数本身的具有的某些性质。三、一致连续函数的判定及性质 1.一致连续函数的判定定理1：设函数在上连续，在上一致连续的充要条件是：及都存在。证明：作辅助函数 则 又 在 上连续，则在上也连续，于是在上连续，因此在上一致连续，从而在 上一致连续。反之，函数在区间 上一致连续，： 有 ，于是，当时，就有，从而有 因此，由柯西收敛准则知存在。同理可证存在。定理2：设在 上连续，在上一致连续，且，则在上一致连续。证明： 因为 ，则对任给的，存在正数，当时，有。又因为在 上一致连续，则对上述，存在，只要 ，就有。 因此对任意有 ，而在闭区间上一致连续，即对上述，存在，只要，时，有 所以在上一致连续。定理3： 若函数在连续，且，则函数 在上一致连续。证明： 因为，则对任给的，存在正数，只要，就有。又因为在上连续，则在上一致连续，即对上述，存在，对任何， ，有，所以函数 在上一致连续。定理4： 函数在区间上非一致连续的充要条件是在上存在两个数列，使的，但当时 ，。证明： （1）必要性：因在区间上非一致连续，则存在 ，取，存在数列、。当时，有，即当时 ， 。（2）充分性：若在区间上非一致连续，则对任给的，对任意，只要，就有。又因为，则对上述，存在，对于任意的，有，所以，即，与已知矛盾。所以函数在区间上非一致连续。定理5： 若函数在（）上连续且，（，）都存在，则函数在（）一致连续。推论6：若函数在（）上连续，且（）存在，则函数在（）上一致连续。推论7：若函数在上连续且，都存在，则函数在上一致连续。（反之不一定成立，例如在上一致连续，但，都不存在。）例题6. 设都于区间一致连续且有界，证明：也于一致连续。证明：由题设有界，从而存在，使，。再由都一致连续，则和使，且时有，令，则，且时， 在上一致连续。2.一致连续函数的性质由于闭区间上的连续函数一定是一致连续函数，所以一致连续函数具有有界性、最值性和介值性。它还有下面一些常见的性质。(1) 函数与都在上一致连续，则，(有意义)在上一致连续。证明：因为与都在上一致连续，所以，当时，有；，当时，有 。又由一致连续函数有最值性知 与都在上有最大值和最小值，分别设为。取 则，即在一致连续。取则，即在一致连续。取则，即在一致连续。(2)函数与在上一致连续，则，在一致连续。证明：因为与在一致连续，所以，与在连续，且，都存在。所以可以延拓与。令 与都在连续，所以与都在一致连续。应用上面结论知，都在一致连续。又因为在上就是，就是，所以 ，在一致连续。(3)在开区间一致连续，则在有界。证明：与上面证法类似作出。因为在连续，所以在上有界，即在内有界。又因为在上即是，所以在有界。但是若将换成R，则结论不成立。例： ，取，则 ，所以在R上一致连续，但是在R上却无界。下面还有几个常见的错误。(1)若，函数在一致连续，得出在内一致连续。例：在(0，1)不一致连续，但在上却一致连续。由此可见，一致连续函数的倾斜程度很平稳，不会无限大。（2）在R上一致连续，则在R上一致连续。例：在R上一致连续，但在上不一致连续。证明：取，不论正数取的多么小，只要充分大，我们就可以使 与 ，但 ，故在R上不一致连续。四、一致连续函数与连续函数的关系1.一致连续函数必是连续函数。2.若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。证明：（用反证法）假设在上不一致连续，则某个正数，对任何正数，都对应的，虽然，但有。现以表示自然数，令，记与它相应的两点为，虽然，但有 (1)当取遍自然数时，得数列。由致密性定理,收敛子列，()。同时也有，且()。由(1)有 (2)现让(2)式中，再由在连续性知，这与矛盾，所以在一致连续。3. 函数在开区间一致连续函数在开区间连续，且都存在。证明：(必要性) ，由上面证明已知在连续，又由的任意性知 在连续。下面只证存在，的证法与之类似。因为在一致连续，所以，有 。取，则当时，必有 ，也有，。由上式可以推出 ，由极限存在的柯西准则知 存在。(充分性) 令 则由在连续知，在连续从而一致连续。4.若在连续单调、有界，则函数在一致连续。证明：由单调有界性知，存在，由(3)知 在一致连续。5.若函数在上连续，且，则在一致连续。证明：由知，有 。所以，也有 。则。而是闭区间，所以在上一致连续。所以对上述，且，有 ，即 。若或,或，一定得出。综上所述，在一致连续。对于5也可以改为在上连续，且，则在一致连续。证法类似，分别区间为，(，+)。则时，必同时在三个区间之一，所以在一致连续。6.在R上连续周期函数是一致连续函数。证明 设是一个周期，因为在R上连续，且在上连续，所以一致连续。即，有 。：，存在整数，满足，因为 ，所以 ，即 。所以是R上的一致连续函数。五、用连续模数描述一致连续性定义：若在区间上有定义，则称为函数的连续模数。可见是关于的非负、不减函数。下面我们借助它来描述一致连续性。 从定义可以直接看出 因此Lipschitz连续一致连续。这就得到强度依次逆减的三个概念: Lipschitz连续一致连续连续。例题7. 若在区间上有定义，则在上一致连续的充要条件是。证明：（1）必要性。因在上一致连续，因此，当时有。从而 ， 故时， 所以 。（2）充分性。由 知： 使得 ，故当 有所以在上一致连续。注意：由此可得一致连续的观察法。因为的值只与的图形最陡的地方有关，若的图形在某处无限变陡，使得（时），则非一致连续。若在某处最陡，但时，此处的变差，则一致连续。例如：，在处，图形无限变陡时。因此在任何区间上都是非一致连续的。但在区间上，在点最陡，且（当时）。可见在上一致连续。六、一致连续函数的延拓问题前面的例题告诉我们，若在内一致连续，则在端点处有有限极限，因此若将极限值分别作为在点的值，那么被延拓到闭区间上，且在上一致连续，下面我们将此推广到一般的集合上。为此，我们首先把一致连续的概念，推广到任意的集合上。定义：设函数在集合上有定义，若，有 ，则称函数在集合上一致连续。例题8.设在R上