数列知识点回顾.doc

数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念1理解数列定义的四个要点数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列在数列中同一个数可以重复出现项a与项数n是两个根本不同的概念数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2数列的通项公式一个数列 a的第n项a与项数n之间的函数关系，如果用一个公式a=来表示，就把这个公式叫做数列 a的通项公式。若给出数列 a的通项公式，则这个数列是已知的。若数列 a的前n项和记为S，则S与a的关系是：a=。第二部分：等差数列1等差数列定义的几个特点： 公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = aa(n2)或d = aa (nN)要证明一个数列是等差数列，必须对任意nN，aa= d (n2)或d = aa都成立一般采用的形式为： 当n2时，有aa= d (d为常数)当n时，有aa= d (d为常数)当n2时，有aa= aa成立若判断数列 a不是等差数列，只需有aaaa即可2等差中项若a、A、b成等差数列，即A=，则A是a与b的等差中项；若A=，则a、A、b成等差数列，故A=是a、A、b成等差数列，的充要条件。由于a=，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。3等差数列的基本性质公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd若 a、 b为等差数列，则 ab与kab(k、b为非零常数)也是等差数列对任何m、n，在等差数列 a中有：a= a+ (nm)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性、一般地，如果l，k，p，m，n，r，皆为自然数，且l + k + p + = m + n + r + （两边的自然数个数相等），那么当a为等差数列时，有：a+ a+ a+ = a+ a+ a+ 公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)如果 a是等差数列，公差为d，那么，a，a，a、a也是等差数列，其公差为d；在等差数列 a中，aa= aa= md (其中m、k、)在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项当公差d0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d0时，等差数列中的数等于一个常数设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（1），则a=4等差数列前n项和公式S=与S= na的比较前n项和公式公式适用范围相同点S=用于已知等差数列的首项和末项都是等差数列的前n项和公式S= na用于已知等差数列的首项和公差5等差数列前n项和公式S的基本性质数列 a为等差数列的充要条件是：数列 a的前n项和S可以写成S= an+ bn的形式(其中a、b为常数)在等差数列 a中，当项数为2n (nN)时，SS= nd，=；当项数为(2n1) (n)时，SS= a，=若数列 a为等差数列，则S，SS，SS，仍然成等差数列，公差为若两个等差数列 a、 b的前n项和分别是S、T(n为奇数)，则=在等差数列 a中，S= a，S= b (nm)，则S=(ab)等差数列a中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y =x + (a)上记等差数列a的前n项和为S若a0，公差d0，则当a0且a0时，S最大；若a0 ，公差d0，则当a0且a0时，S最小第三部分：等比数列1正确理解等比数列的含义q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q = (n)或q = (n2)由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0要证明一个数列是等比数列，必须对任意n，= q；或= q (n2)都成立2等比中项与等差中项的主要区别如果G是a与b的等比中项，那么=，即G= ab，G =所以，只要两个同号的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A是a与b的等差中项，那么等差中项A唯一地表示为A=，其中，a与b没有同号的限制在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同3等比数列的基本性质公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q( m为等距离的项数之差)对任何m、n，在等比数列 a中有：a= a q，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性一般地，如果t ，k，p，m，n，r，皆为自然数，且t + k，p，m + = m + n + r + (两边的自然数个数相等)，那么当a为等比数列时，有：aaa = aaa 若 a是公比为q的等比数列，则| a|、a、ka、也是等比数列，其公比分别为| q |、q、q、如果 a是等比数列，公比为q，那么，a，a，a，a，是以q为公比的等比数列如果 a是等比数列，那么对任意在n，都有aa= aq0两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积当q1且a0或0q1且a0时，等比数列为递增数列；当a0且0q1或a0且q1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q0时，等比数列为摆动数列4等比数列前n项和公式S的基本性质如果数列a是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S=也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q1进行讨论当已知a，q，n时，用公式S=；当已知a，q，a时，用公式S=若S是以q为公比的等比数列，则有S= SqS若数列 a为等比数列，则S，SS，SS，仍然成等比数列若项数为3n的等比数列(q1)前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列二、难点突破1并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的2等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项3数列的表示方法应注意的两个问题： a与a是不同的，前者表示数列a，a，a，而后者仅表示这个数列的第n项；数列a，a，a，与集合 a，a，a，不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性4注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq， aq， a，aq，aq，；对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq， aq， aq，aq，5一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a0，因为当a= 0时，虽有a= a a成立，但a不是等比数列，即“b= a c”是a、b、 c成等比数列