第五章 数列.doc

安徽高中数学 第五章 数列(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知实数列1，x，y，z，2成等比数列，则xyz等于 ()A.4B.4 C.2 D.2解析：xz(1)(2)2，y22，y(正不合题意)，xyz2.答案：C2.等差数列an的通项公式是an12n，其前n项和为Sn，则数列的前11项和为()A.45 B.50 C.55 D.66解析：Sn，n，的前11项的和为66.答案：D3.已知an是等差数列，a415，S555，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A.4 B. C.4 D.解析：an是等差数列，S55a355，a311.a4a315114，kPQ4.答案：A4.在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为 ()A.4 B.6 C.8 D.10解析：由已知得：(a2a10)(a4a8)a65a680a616，又分别设等差数列首项为a1，公差为d，则a7a8a16d(a17d)(a15d)a68.答案：C5.记数列an的前n项和为Sn，且Sn2n(n1)，则该数列是 ()A.公比为2的等比数列 B.公比为的等比数列C.公差为2的等差数列 D.公差为4的等差数列解析：由条件可得n2时，anSnSn12n(n1)2(n1)(n2)4(n1)，当n1时，a1S10，代入适合，故an4(n1)，故数列an表示公差为4的等差数列.答案：D6.定义：在数列an中，an0且an1，若anan1为定值，则称数列an为“等幂数列”.已知数列an为“等幂数列”，且a12，a24，Sn为数列an的前n项和，则S2009 ()A.6026 B .6024 C.2 D.4解析：2416aa324a3，得a32，同理得a44，a52，这是一个周期数列.S2009(24)26026.答案：A7.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).试问三角形数的一般表达式为 ()A.n B.n(n1) C.n21 D.n(n1)解析：由123nn(n1)可得.答案：B8.在数列an中，a11，a22，an2an1(1)n，那么S100的值等于 ()A.2500 B.2600 C.2700 D.2800解析：据已知当n为奇数时，an2an0an1，当n为偶数时，an2an2ann，50502600.答案：B9.在函数yf(x)的图象上有点列xn，yn，若数列xn是等差数列，数列yn是等比数列，则函数yf(x)的解析式可能为 ()A.f(x)2x1 B.f(x)4x2 C.f(x)log3x D.f(x)()x解析：结合选项，对于函数f(x)()x上的点列xn，yn，有yn()xn.由于xn是等差数列，所以xn1xnd，因此()xn1xn()d，这是一个与n无关的常数，故yn是等比数列.答案：D10.数列an满足：a11，且对任意的m，nN*都有：amnamanmn，则 ()A. B. C. D.解析：因为anmanammn，则可得a11，a23，a36，a410，则可猜得数列的通项an，2()，2(1)2(1)答案：D11.各项都是正数的等比数列an中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为()A. B. C. D.或解析：设an的公比为q(q0)，由a3a2a1，得q2q10，解得q.从而q.答案：B12.已知等比数列an的各项均为不等于1的正数，数列bn满足bnlgan，b318，b612，则数列bn前n项和的最大值等于 ()A.126 B.130 C.132 D.134解析：由题意可知，lga3b3，lga6b6.又b318，b612，则a1q21018，a1q51012，q3106.即q102，a11022.又an为正项等比数列，bn为等差数列，且d2，b122.故bn22(n1)(2)2n24.Sn22n(2)n223n(n)2.又nN*，故n11或12时，(Sn)max132.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上)13.设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S64S3，则a4.解析：设等比数列的公比为q，则由S64S3知q1.S6.q33.a1q33.答案：314.已知数列an满足(nN*)，且a11，则an.解析：由已知得，a11，左右两边分别相乘得an1答案：15.“欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为an，则数到2 008时对应的指头是，数列an的通项公式an.(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).解析：注意到数1,9,17,25，分别都对应着大拇指，且18(2511)2 001，因此数到2 008时对应的指头是食指.对应中指的数依次是：3,7,11,15，因此数列an的通项公式是an3(n1)44n1.答案：食指4n116.等差数列an的前n项和为Sn，且a4a28，a3a526.记Tn，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，TnM都成立，则M的最小值是.解析：an为等差数列，由a4a28，a3a526，可解得Sn2n2n，Tn2，若TnM对一切正整数n恒成立，则只需Tn的最大值M即可.又Tn22，只需2M，故M的最小值是2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求数列an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值.解：(1)设an的公差为d，由已知条件得，所以ana1(n1)d2n5.(2)Snna1dn24n4(n2)2.所以n2时，Sn取到最大值4.18.(本小题满分12分)已知数列an满足：a1，a2，an12anan1(n2，nN*)，数列bn满足b10,3bnbn1n(n2，nN*)，数列bn的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项an；(2)求证：数列bnan为等比数列.解：(1)证明2anan1an1(n2，nN*)，an是等差数列.又a1，a2，an(n1)，(2)证明：bnbn1(n2，nN*)，bn1an1bnbn(bn)(bnan).又b1a1b10，bnan是以b1为首项，以为公比的等比数列.19.(本小题满分12分)(2010苏北三市联考)已知数列an是等差数列，a23，a56，数列bn的前n项和是Tn，且Tnbn1.(1)求数列an的通项公式与前n项的和Mn；(2)求数列bn的通项公式.解：(1)设an的公差为d，则：a2a1d，a5a14d.a12，d1an2(n1)n1.Mnna1d.(2)证明：当n1时，b1T1，由T1b11，得b1.当n2时，Tn1bn，Tn11bn1，TnTn1(bn1bn)，即bn(bn1bn).bnbn1.bn是以为首项，为公比的等比数列.bn()n1.20.(本小题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%，若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列an，故a110020000.01120(万元)，a2100(2000100)0.01119(万元)，a3100(20001002)0.01118(万元)，a4100(20001003)0.01117(万元)，an1002000100(n1)0.01120(n1)121n(万元)(1n20，nN*).因此an是首项为120，公差为1的等差数列.故a1012110111(万元)，a2012120101(万元)，20次分期付款的总和为S202210(万元).实际要付30022102510(万元).即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2510万元.21.(本小题满分12分)已知数列an的每一项都是正数，满足a12且aanan12a0；等差数列bn的前n项和为Tn，b23，T525.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)比较与2的大小；(3)理若c恒成立，求整数c的最小值.解：(1)由aanan12a0，得(an12an)(an1an)0，由于数列an的每一项都是正数，an12an，an2n.设bnb1(n1)d，由已知有b1d3,5b1d25，解得b11，d2，bn2n1.(2)由(1)得Tnn2，当n1时，12.当n2时，.122.(3)理记Pn.Pn，两式相减得Pn3.Pn递增，Pn3，P42，最小的整数c3.22.(本小题满分14分)已知等差数列an的前n项和为Sn且满足a23，S636.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn是等比数列且满足b1b23，b4b524.设数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)数列an是等差数列，S63(a1a6)3(a2a5)36.a23，a59，3da5a26，d2，又a1a2d1，an2n1.