材料力学(静不定)

第十一章静不定结构 概述 已有的基础 什么是超静定 求解超静定问题的基本方法 超静定结构的性质 现在的问题是 怎样利用对称性和反对称性减少未知力的个数 能量原理如何应用 用于写变形协调方程 求方程中的位移量 能量原理在求解超静定问题上的应用 11 1超静定问题的解法 静定问题 若未知力 外力或内力 的个数等于独立的平衡方程的个数 仅用静力平衡方程即可解出全部未知力 这类问题称为静定问题 相应的结构称静定结构 静定与超静定的概念 超静定问题 若未知力 外力或内力 的个数多于独立的平衡方程的个数 仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力 这类问题称为超静定问题或静不定问题 引例 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠静力平衡方程无法求得约束反力的例子 两个和尚抬水吃 三个和尚没水吃 恐怕是最早说到超静定问题的例子了 多余约束 在静定结构上加上的一个或几个约束 对于维持平衡来说是不必要的约束 但对于特定地工程要求是必要的 称多余约束 对应的约束力称多余约束反力 B 固端约束 由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形 在工程上 如桥梁等 应用非常广泛 超静定次数 未知力个数与平衡方程数之差 也等于多余约束数 相应的结构称超静定结构或静不定结构 根据结构及其约束的特点 超静定结构分为三类 二 超静定问题分类 外力超静定结构 外部约束存在多余约束 如 为一次外力超静定 3 内 外超静定结构 内力超静定结构 仅在内部存在多余约束 如 封闭刚架在一般的横截面上有三种内部约束力N Q及M 内力超静定结构 三 拉 压 杆超静定问题的解法 1 比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解 但必须满足原结构的变形约束条件 1 选取基本静定结构 静定基如图 B端解除多余约束 代之以约束反力 解 例1 杆上段为铜 下段为钢杆 杆的两端为固支 求两段的轴力 3 比较两次计算的变形量 其值应该满足变形相容条件 建立方程求解 2 求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移 解 1 画A结点受力图 建立平衡方程 未知力个数2个 平衡方程数1个 故为一次超静定 2 几何分析法 例2 结构如图 解超静定问题的关键是找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程 结构变形后各部分间必须象原来一样完整 连续 满足约束条件 即满足变形相容条件 3 代入物理关系 建立补充方程 2 如图三杆铰结 画A节点位移图 列出变形相容条件 要注意所设的变形性质必须和受力分析所中设定的力的性质一致 由对称性知 4 联立 求解 三 拉 压 杆超静定问题解法的讨论 1 解拉 压 超静定问题必须正确地画出结构的变形图 2 然后分析结构特点 找出结构变形前后的不变量或者等量关系 3 再用数学方法刻画它 从而给出补充方程 观察问题的角度不同所采用的方法也会有很大差异 同一题 不同的解法难 易 繁 简也相去甚远 我们必须仔细分析找出最恰当的办法来 1 比较变形法 常用于结构较为简单 一些特定节点位移已知且计算也较为简单的问题 2 几何法分析变形 是求解超静定杆系的基本方法 常用于各杆的变形关系较为简单 超静定次数较低的杆系的求解 但是 一般情况下分析变形寻找等量关系较为困难 11 2用力法解静不定系统 力法是一种直接求解未知反力的方法 基本思想 是以未知约束反力X 反力偶M 为未知数建立变形方程 变形比较法 是一种求解静不定梁的直接通过几何关系建立补充方程的方法 1 对于弹性体 变形量与外力成正比2 未知力产生的变形量 是单位力产生变形量的X M 倍 3 而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解 通过计算这些变形量 最终求解出未知约束反力 基本原理 简支梁中点有支撑并受均布载荷作用的力法分析 例 一取基本结构 去多余约束 补多余反力 在基本结构中 C点的挠度由q及X1载荷产生 用叠加法 二求C点的总变形 1 由外载荷q作用引起的沿X1方向的位移 1P 符号中 第1个下脚标 1 表示该位移在X1作用点处沿着X1方向发生 第2个下脚标 P 表示该位移是由实际载荷P引起的 2 由多余约束反力X1作用引起的沿X1方向的位移 1X1 C点的总位移 1P 1X1 1X1需要寻找新算法 符号中 第1个下脚标 1 表示该位移在X1作用点处沿着X1方向发生 第2个下脚标 X1 表示该位移是由多余约束反力X1引起的 若以 1表示基本结构在外力 q 及多余约束反力 X1 的共同作用下C点沿X1方向的位移 则C点的总位移 1 1P 1X1 1 又由于C点是绞支座 则 1沿X1方向的实际位移为零 即 1 1P 1X1 0 由于实际载荷P已知 故 1P可用单位力法求出 而多余约束反力X1未知 故 1X1需要考虑如何计算 三计算 1X1 X1引起的沿X1方向的位移 直接计算 1X1较困难 先在X1作用处沿X1方向假想施加一个单位力 求出仅在该单位力作用下的变形 11 即 1X1 11 X1 由 1P 1X1 0 式中 11及 1P均可用单位力法求出 则X1可求得 1P 11 X1 0 约束反力X1是单位力的X1倍 可根据 弹性体的变形与力成正比 这一特点考虑 根据 弹性体的变形与力成正比 这一特点 单位力的X1倍的约束反力X1产生的变形 1X1也是 11的X1倍 1 1P 仅在外载荷作用下 中点的挠度 2 11 仅在单位力作用下 中点的挠度 1P 5qL4 384EI 1P 11 X1 0 单位力的方向取与X1方向相同 1P 11 X1 0 力法的基本思想是 以未知约束反力X 反力偶M 为未知数建立变形方程 对于弹性体 变形量与外力成正比 未知力产生的变形量 是单位力产生变形量的X M 倍 而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解 通过计算这些变形量 最终求解出未知约束反力 力法可以写成标准形式的正则方程 11 X1 1P 0 当未知力较多时 可以写成一个线性代数方程组 而解线性方程组的算法有很多 计算很容易 所以 力法适合于解未知力较多的静不定结构 特别适合于计算机求解 参考例题 三次静不定刚架 一 取基本结构 二 分别计算载荷作用下的变形 三 变形计算 1 11 X1 12 X2 13 X3 1P 0 2 21 X1 22 X2 23 X3 2P 0 3 31 X1 32 X2 33 X3 3P 0 X1方向的变形 X2方向的变形 X3方向的变形 11 X1 12 X2 13 X3 1P 0 21 X1 22 X2 23 X3 2P 0 31 X1 32 X2 33 X3 3P 0 成为三阶线性方程组 写为矩阵形式 由位移互等定理 ij ji 系数矩阵中只有六个独立的系数 且是关于主对角线的对称矩阵 先分别计算出系数矩阵及非齐次项的列向量 即可求出未知量列向量X 计算 1P 计算 11 类推出其它系数 系数矩阵已知 非齐次项已知 未知量矩阵可得 将 等计算量代入矩阵 超静定问题力法正则方程 例题悬臂梁AB如图所示 A B端固支 问题为三次超静定 除掉A端固支 得到包含未知反力的静定结构 称为静定基 利用叠加原理 分别画出外载荷 图b 支反力X1和X2 图b和图c 单独作用图 式中 分别表示外载荷在静定基中X1和X2方向上产生的位移 按照归一化要求 改写 式中 为Xi方向上的总位移 为外载荷 P 在静定基中在Xi方向上的位移 为未知反力Xj 1在静定基中作用在Xi方向上的位移 上式称为力法正则方程 称为柔度系数 利用莫尔积分 正则方程中的柔度系数写为 提问 对二次静不定问题要作几个弯矩图 用莫尔图乘法 要作几次图乘 三次静不定问题呢 提问 运用前面的知识 证明柔度系数具有对称性dij dji 例题悬臂梁AB如图所示 A B端固支 求支反力 解 画静定基 图a 分别画弯矩图b d 代入力法正则方程 得 解联立方程组得 例题内力为一次静不定桁架如图6 15 a 所示 设各杆EI相同 求两种情况下的各杆轴力 1 在力P的作用下 2 P 0 但杆5升温 T 已知材料膨胀系数 解 1 断开杆5 加一对约束内力X1即得静定基如图6 15 b 所示 2 仅有杆5升温 正则方程为 11X1 1T 0 1T l5 T是因杆5升温而引起的相对位移 由表中数据计算 得到 代入正则方程 11X1 1P 0得 其余各杆的内力请读者自行算之 提问 在既受到外载荷作用 又有温度变化时 如何求解此问题 二 用卡氏定理解超静定问题的方法 解除多余约束 代之以多余未知力X1 X2 Xm 将应变能U表示为原载荷P1 P2 Pn 及多余未知力的函数U U P1 P2 Pn X1 X2 Xm 利用多余约束处的位移条件及卡氏定理得 Ci为Xi方向的广义位移 i 1 2 m 三 有时 利用对称 反对称性可以简化超静定问题的计算 结论 对对称结构 几何图形对称 约束对称 刚度对称 而言 若受对称载荷作用 指按对称轴对折后重合 则在对称截面上只有对称的内力 即只可能有M N 而Q 0 Mt 0 若受反对称荷载作用 则在对称截面上只有反对称内力 即只可能有Q和Mt 而N 0 M 0 有时还可将问题分解成对称 反对称问题求解 如 aMMNN2Pa分解为PPa对称QQPP反对称 五 内力超静定系统的解法特点 相对位移为0 例四 用能量法求图示刚架A B C三处的约束力 已知各杆的EI相同 不计N Q的影响 解 此为对称结构受反对称荷载 因此在对称截面C处只有反对称内力Qc 如图 b P A B L L L L L L P C 各段弯矩如下 LCF段 QcFD段 DA段 由得 解得 P A 对图 b 易求出A处的反力 再由图 a 的反对称性易求处B的反力 略 F D M QCL M QCL Px C 如系非对称问题要注意转化为对称与反对称问题 3 解析法分析变形 对于变形较为复杂 几何分析较为困难的问题可以把结构放到坐标系中 给出变形后各节点的坐标 根据约束条件 就重要节点的共线 共面 共圆以及直线和圆的共点等特征 用解析几何的方法刻画变形相容关系 1