江苏大学线代数习题详解(4).docx

线性代数习题详解（4） (3) 解：2-14-21-13-2322-12-15-61-345 r2-2r1r3-r1r4-r12-1001-13-45-400004-5-2-452 r3+r2r4-r22-1001-13-45-4000000-6006 r4+r32-1001-13-45-4000000-6000 r3(-6)r2+4r3r1-3r32-1001-10-4500000001000 r2(-4)r1-r22-10001401-5400000001000 r121-120001801-5400000001000(4) 解：12116767714117123659791625225r2-r1r3-r1r4-3r1120-1676717500000-1212-2424r4-2r3r3-1120-16767175000001-2-12000r2-r3r1-6r3120-1019139096200001-2-12000r1+2r2r2(-1)10010372630-9-6200001-2-12000习题3.21. (1) 解：(A)“没有等于0的r-1阶子式”不符合定义，只要并 非所有的r-1阶子式均为0即可。 (B) 正确 (C) “有等于0的r阶子式”不符合定义，“有一个不等于零的 r 阶子式”不等于“有等于0的r阶子式” (D) “任何r阶子式均不为0”不符合定义，“有一个不等于零的 r 阶子式”不等于“任何r阶子式均不为0” 故填B (2) 解：转置、初等变换、乘一个可逆方阵均不可能改变其秩（证明见相应的定理），只有乘一个不可逆方阵可能改变其秩。乘一个不可逆方阵改变其秩的反例：A=1001 B=1000 BA=1000R(A)=2, B是一个不可逆方阵, R(BA)=1 乘一个不可逆方阵不改变其秩的反例： A= B=1000 BA=1000R(A)=1, B是一个不可逆方阵, R(BA)=1 故填D2. 解：141261046821291776353034115205 r3r1r3-2r1r4-5r1766104341129170000000000可见R(A)2又12934=48-27=210 R(A)=2, 12934即为一个最高阶非零子式。3. 解：|A|=n-1x+111x11xxx1 =n-1x+110x1-x00x01-x =(n-1)x+1(1-x)n-1 当x11-n 和x1时，|A|0 , R(A)=n; 当x=11-n时，由于Mn1=xx1xxxxxx=x111x1xxxx =x1001x-1x-1x1-x000x-1x-100x00x00001-x0 =xx-1x-11-x0x-1x-1000000001-x0 =x001-x00x-1000000001-x0 =x(-1)1+(n-1)(x-1)(1-x)n-2= x(-1)2n-2(x-1)n-1= x(x-1)n-1=11-n(n1-n)n-10 R(A)=n-1; 当x=1时 A=111111111110010000 R(A)=1习题3.31. 解: (1) 由于x=0一定是Ax=0的解，所以该命题正确。 故填 (2) 由于mn，所以R(A)=R(A b)时，方程组有无穷多个解； R(A)R(A b)时，方程组无解。 这就是说：mn时，R(A)=R(A b)未必成立，此时方程组未必有解。 R(A)R(A b)的反例：100111x1x2=124 R(A)=2, R(A b)=3, R(A)R(A b) 故填 2. 解：A=3468-57-10144113-13-131614-13r2-2r1r3-r1r4-r13400-5700170-17-8919-20r1-3r3r1r31700-89000-170-1719-2019-20r4-r3r2r3170-17-8919-2000000000r2(-17)r1-7r21001-3171317-1917201700000000于是，与原方程组同解的方程组为： x1-317x3+1317x4=0x2-1917x3+2017x4=0由此可得：x1=317x3-1317x4x2=1917x3-2017x4令x3=c1、x4=c2，得该齐次线性方程组的通解为： x1x2x3x4=c1317191710+c2-1317-201701 (c1、c2R)3. (1) 解：B=112323152-33-135-1-2-42-2-10 R4-r3r2-2r1r3-3r111012311-4-50-406-7-11-730-6r43r1-r2r3+2r410011761-4-50002-3-27-2710-2r4-2r2r3(-3)10011761-4-50000199-188r1+r4r2+r4r3r41001015140430000-188199r3-1r4-r310010151404300001-8-801717r41710010151404300001-8-8011r3+8r4r2-4r4r1-15r4100100-100-10000100011 R(A)=R(B)=4 所给非齐次线性方程组有唯一解，解为：x1x2x3x4=-1-101 (2) 解：B=1-2121-147-51-11-1-12-5-733-1-318-51-10-5-50 r3-2r2r2-2r1r5-r11-2105-305-31-11-310-3-5-13-1-3010-61-10-6-40 r4-3r11-2105-305-31-11-310-3-5-105-6010-6-22-3-6-4-1 r3-r2r4-r2r5-2r21-2105-30001-11-3100-6-100-300011-30-6-1 r3r4r5-r41-2105-300-31-11-31011-30000000-6-1000 r4-6r3-r4r2-r4r1+r41-2105-300-31076-30-1610-1960000000116000 r2-r3r3(-3)r1-r31-210500011076-403-13019180000000116000 r25r1+2r2101010001-3507130-45035-13019180000000116000 r1-r3100010001-41505945-45035-13019180000000116000R(A)=R(B)=45所给方程组有无穷多个解。令x4=c，则方程组的解为 x1x2x3x4x5=c415451310+59453519180164解：a111b112b1=a111b10b0=-ba111=b(1-a) 当a1及b0时有唯一解； 当b=0时： B=a11101101434a11101000431 R(A)=2 R(B)=3 R(A)R(B) 此时所给方程组无解； 当a=1时： B=1111b112b14341110b-1002b-104-10 故当a=1且2b-1=0，即：a=1，b=12时： B=1110-1200004-10 R(A)=R(B)=2,此时方程组有无穷多个解, B=1110-1200004-10101010000220 故解为：x1x2x3=c-101+220; 又当a=1且2b-10，即：a=1，b12时： B=1110000104-10111010000401 R(A)=2 R(B)=3 R(A)R(B) 此时所给方程组无解；习题3.41. (1) 解：02-1112-1-1-1100010001 r3+r2r1r211202-1001010100011 r2+r3r1-2r31100200010-1-2111011 r22r1-r2100010001-12-32-52121212011 A-1=-12-32-52121212011(2) 解：103015000-41060120000001000200001 r3r4r2-3r4r1+2r410301500201000100020-300100020010 r32r4210301500101000100020-30012000100120 r2-5r3r1-3r31000100010100010002-32-3-52012000100120 A-1=1001002-32-3-52012001202. 解：251311-101325-1011130-1-1031 1301-10-3-1100183-3-1 X=83-3-13. 解：5011-3-2-521-800-5-30-2-60105-2-3112-500-80-3-50-6-2100-2-31112-1000-80-3-50-6-2 100-21111-23-1000-801-502-2c1+2c2c3-11c2100010-13-23-8300-821-1