等时圆的妙用.ppt

牛顿运动定律的应用 等时圆的妙用 问题1 如图所示 处在半径为R的竖直圆内的任一光滑细杆OB 一端B在圆周上 另一端O在圆的最高点 OB与竖直方向的夹角为 质点m沿杆从O点由静止开始下滑 求它在杆上运动的时间 一 等时圆的性质 解 一 等时圆的性质 mg FN Gy Gx 质点沿杆下滑所需的时间跟杆与竖直方向的夹角 无关 仅由半径R决定 且等于质点从圆的最高点O到最低点A做自由落体运动的时间 这个圆就是重力场中的 等时圆 这个性质叫做圆的自由弦的等时性 结论 一 等时圆的性质 问题2 若杆时粗糙的 上述规律还成立吗 一 等时圆的性质 mg Gx Gy FN 解 问题3 若杆时粗糙的 上述规律还成立吗 Ff 结论 同理 如图所示情形 从圆周上不同点沿光滑斜面滑到圆周上的最低点O 所需的时间也相等 一 等时圆的性质 问题4 如果像图所示 光滑直杆AD BD CD 处在竖直平面内 杆的三个端点均在同一圆周上 CD杆过圆心 若从A B C三点同时静止释放套在杆上的小球 则它们滑到D点的时间相等吗 一 等时圆的性质 等时圆中的端点应是几何空间中的最高点或最低点 结论 tCD tBD tAD 一 等时圆的性质 问题4 例1 如图所示 在同一竖直平面内固定三根光滑的细杆 细杆的一个端点均在d点 另一端点a b c处于同一水平线上 三环分别从a b c处由静止释放 t1 t2 t3分别表示各环到达d点的时间 下列判断正确的是 t1 t2 t3t1t2 t3D 无法比较运动时间的长短 二 等时圆 的应用 一 比较运动快慢 t1 t2 t3 二 等时圆 的应用 一 比较运动快慢 例1 例2 如图所示 一倾角为 的传送带上方P点为原料输入口 在P点与传送带之间建立一光滑管道 使原料沿管道能在最短时间内到达传送带上 则管道与竖直方向的夹角 应为多大 二 等时圆 的应用 二 确定运动路径 二 等时圆 的应用 二 确定运动路径 解 以p点为等时圆的最高点 作出等时圆与皮带相切 如图所示 设切点为B 圆心为O 连接OB 由几何知识可得 二 等时圆 的应用 二 确定运动路径 例2 例3 如图所示 有一条水渠的底部是半径很大的圆弧 一位同学用下列方法估算该圆弧的半径 所用器材有 光滑小球 秒表和长木板 下面是具体的操作步骤 请将所缺的内容填写在横线上 a 用小球找出底部的最低点 b 将长木板 C 将光滑小球从长木板上端由静止滑下 d e 求出圆弧半径R 二 等时圆 的应用 三 测定圆周半径 例3a 用小球找出底部的最低点 b 将长木板 C 将光滑小球从长木板上端由静止滑下 d e 求出圆弧半径R 二 等时圆 的应用 三 测定圆周半径 放在圆弧上 使木板下端放在O点 用秒表测出小球从上端滑到O点的时间tAO 二 等时圆 的应用 三 测定圆周半径 例4 如图所示 在离坡底15m的山坡上 竖直地固定长为15m的直杆AO A端与坡底B间连有一纲绳 一个穿于绳上的小球从A点由静止开始无摩擦地滑下 求其在绳上滑行的时间t g取10m s2 二 等时圆 的应用 三 测定圆周半径 例4 如图所示 在离坡底15m的山坡上 竖直地固定长为15m的直杆AO A端与坡底B间连有一纲绳 一个穿于绳上的小球从A点由静止开始无摩擦地滑下 求其在绳上滑行的时间t g取10m s2 小节 一 比较运动快慢 三 测定圆周半径 二 确定运动路径 应用 四 计算运动时间 等时圆 性质 通过空间任一点A可作无限多个斜面 将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下 那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是 A 球面B 抛物面C 水平面D 无法确定 解析 由 等时圆 可知 同一时刻这些小物体应在同一 等时圆 上 所以A正确 课堂练习 作业1 如图 位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点 与竖直墙相切于点A 竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600 C是圆环轨道的圆心 D是圆环上与M靠得很近的一点 DM远小于CM 已知在同一时刻 a b两球分别由A B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点 c球由C点自由下落到M点 d球从D点静止出发沿圆环运动到M点 则 A a球最先到达M点B b球最先到达M点 C c球最先到达M点D d球最先到达M点 解析 设圆轨道半径为R 据 等时圆 理论 c做自由落体运动 d球滚下是一个单摆模型 摆长为R 所以c球最先到达M点 作业2 如图所示 在同一竖直线上有A B两点 相距为h B点离地高度为H 现在要在地面上寻找一点P 使得从A B两点分别向点P安放的光滑木板 满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等 求O P两点之间的距离 解析 由 等时圆 特征可知 当A B处于等时圆周上且P点处于等时圆的最低点时 即能满足题设要求如图所示 此时等时圆的半径为 所以 作业3 如图 圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板ao bo co 其下端都固定于底部圆心o 而上端则搁在仓库侧壁 三块滑块与水平面的夹角依次为300 450 600 若有三个小孩同时从a b c处开始下滑 忽略阻力 则 A a处小孩最先到O点B b处小孩最先到O点C c处小孩最先到O点D