自动控制原理课件1

第八章采样控制系统 本章主要内容 8 1采样过程及采样定理 8 2保持器 8 3差分方程 8 4z变换 8 5脉冲传递函数 8 6采样控制系统的时域分析 8 7用MATLAB分析采样控制系统小结 本章主要内容本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后 学习了采样过程及采样定理 保持器的作用和数学模型 z变换的定义和求法 基本定理和z反变换的求法 线性差分方程的建立及其解法 脉冲传递函数的概念及求取方法等 本章重点学习本章 需要掌握离散系统的相关基本概念 特别是采样过程和采样定理 z变换和z反变换及其性质 差分方程和脉冲传递函数等概念 在此基础上了解利用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应 离散系统稳定性和稳态性能计算等内容 概述 与连续系统显著不同的特点是 在离散系统中的一处或数处的信号不是连续的模拟信号 而是在时间上离散的脉冲序列 称为离散信号或采样信号 相应的离散系统也称为采样系统 典型的采样系统如图8 0 1所示 图8 0 1采样系统 在上述系统中 采样误差信号是通过采样开关对连续误差信号采样后得到的 如图8 0 2 图8 0 2模拟信号的采样 图8 0 2中 T称为采样周期 而 及 分别称为采样频率和采样角频率 由图可见 若采样频率太低 包含在输入信号中的大量信息通过采样就会损失掉 在采样系统中 当离散信号为数字量时 称为数字控制系统 最常见的时计算机控制系统 图8 0 3为一典型计算机控制系统的框图 图8 0 3计算机控制系统框图 在计算机控制系统中 通常时数字 模拟混合结构 因此需要设置数字量和模拟量相互转换的环节 图8 0 3中 模拟信号e t 经模拟 数字转换器 A D转换器 转换成离散信号e t 并把其值由十进制数转换成二进制数 编码 输入计算机进行运算处理 计算机输出二进制的控制脉冲序列u c t 经过数字模拟转换器 D A转换器 转换成模拟信号uc t 去控制对象 8 1采样过程及采样定理 采样过程 采样过程 按照一定的时间间隔对连续信号进行采样 将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称之为采样过程 用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关 采样器可以用一个按一定周期闭合的开关来表示 采样周期为T 每次闭合时间为 通常采样持续时间 远小于采样周期T 也远小于系统中连续部分的时间常数 因此 在分析采样控制系统时 可以近似认为 0 理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序列发生器 能产生单位脉冲序列 T t 如图8 1 1所示 图8 1 1单位脉冲序列 单位脉冲序列 T t 的数学表达式为 8 1 1 式中T 采样周期 n 整数 脉冲调制器 采样器 的输出信号e t 可表示为 8 1 2 在控制系统中 通常当t 0时 e t 0 因此上式可改写为 8 1 3 上式的拉普拉斯变换式为 8 1 4 综上所述 采样过程相当于一个脉冲调制过程 采样开关的输出信号e t 可表示为两个函数的乘积 其中载波信号 T t 决定采样时间 而采样信号的幅值则由输入信号e nT 决定 如图8 1 2所示 图8 1 2采样信号的调制过程 采样定理 理想单位脉冲序列 T t 是一个以T为周期的函数 展开成傅立叶级数 复数形式为 8 1 5 式中为傅立叶系数 对于 T t 将An代入式 8 1 5 得 8 1 6 将式 8 1 6 代入式 8 1 2 并考虑式 8 1 3 可得 8 1 7 由于e t 的拉普拉斯变换式为 8 1 8 上式表明 E 是s的周期性函数 通常E s 的全部极点均位于s平面的左半部 因此 可以用代入上式 得到采样信号e t 的傅立叶变换 8 1 9 设采样器输入连续信号的频谱E j 为有限带宽的图形 其最大频率为 m 如图8 1 3所示 则采样后得到的离散信号的频谱如图8 1 4所示 图8 1 3连续信号频谱 图8 1 3离散信号频谱 图8 1 4a对应于的情况 而8 1 4b对应于的情况 由图8 1 4可见 相邻两部分频谱不重叠的条件是 8 1 10 而2 m 为连续信号的有限频率带宽 综上所述 只有在的条件下 才能将采样后的离散信号无失真地恢复为原来的连续信号 这就是香农 Shannon 采样定理 8 2保持器 零阶保持器 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器 它将前一采样时刻nT的采样值e nT 保持到下一采样时刻 n 1 T 其输入信号与输出信号的关系如图8 2 1所示 图8 2 1零阶保持器的输入和输出信号 由图可见 零阶保持器的输出信号是阶梯形的 包含高次谐波 与要恢复的连续信号有区别的 若将阶梯波输出信号的各中点连接起来 可以得到一条比连续信号滞后T 2的曲线 反映了零阶保持器的相位滞后特性 零阶保持器的单位脉冲响应如图8 2 2所示 它可以表示为 上式的拉普拉斯变换式为 8 2 1 图8 2 2零阶保持器的单位脉冲响应 单位脉冲响应的拉普拉斯变换 就是零阶保持器的频率特性 8 2 2 或 8 2 3 式中 8 2 4 零阶保持器的幅频特性如图8 2 3所示 由图可见 它的幅值随角频率 的增大而衰减 具有明显的低通滤波特性 图8 2 3零阶保持器的幅频特性 若将零阶保持器传递函数展开为下列级数形式 8 2 5 只取级数的前两项 可得 8 2 6 这就是说 零阶保持器可以近似地用RC网络实现 若取级数的前三项 则 这可用图8 2 4所示的无源网络实现 图8 2 4无源网络 8 3差分方程 设采样系统的框图如图8 3 1所示 在第k个采样时间间隔中 零阶保持器的输出为 考虑到积分环节的作用 在该周期内输出c t 由下式决定 式中 图8 3 1采样控制系统 由此可得 或简写为 8 3 1 考虑到 上式可改写为 8 3 2 这就是图8 3 1所示采样系统的差分方程 根据式 8 3 2 可得 8 3 3 一般n阶线性常系数差分方程的形式为 8 3 4 8 4Z变换 Z变换的定义 连续函数f t 的拉普拉斯变换式为 设f t 的采样信号为f t 8 4 1 其拉普拉斯变换式为 8 4 2 上式中是s的超越函数 不便于直接运算 因此引入一个新的复变量 8 4 3 将上式代入式 8 4 2 得 8 4 4 式 8 4 4 被定义为采样函数f t 的z变换 它和式 8 4 2 是互为补充的两种变换形式 前者表示z平面上的函数关系 后者表示s平面上的函数关系 Z变换的方法 1 级数求和法 将离散函数f t 展开如下 8 4 5 然后逐项进行拉普拉斯变换 得 8 4 6 或 上式即为离散函数的z变换的展开形式 上式写成闭合形式 即 例8 4 1求单位阶跃函数1 t 的z变换 解单位阶跃函数的采样函数为 8 4 7 例8 4 2求的z变换 解 根据式 8 4 6 可得 上两式相减 可以求得 8 4 8 2 部分分式法 设连续函数f t 的拉普拉斯变换式为有理函数 可以展开为部分分式的形式 即 8 4 9 8 4 10 例8 4 3设连续函数f t 的拉普拉斯变换式为 试求其z变换 解将F s 展开为部分分式 由例8 4 1和例8 4 2可知 例8 4 4求的z变换 解将F s 展开为部分分式 3 留数计算法 设连续函数f t 的拉普拉斯变换式F s 及其全部极点 为已知 则可用留数计算法求其z变换 8 4 11 8 4 12 若f s 具有q阶重复极点 则响应的留数为 8 4 13 例8 4 5求的z变换 解 由此可得 8 4 14 例8 4 6求f t t的z变换 f t 0 t 0 解 它在s 0处有两阶重极点 其留数为 8 4 15 例8 4 7求f t t2的z变换 f t 0 t 0 解 它在s 0处有三个重极点 其留数为 8 4 16 常见函数及其相应的拉普拉斯变换和z变换参见教材的表8 4 1 Z变换的性质 1 线性定理 设函数为 则 8 4 17 2 滞后定理 负偏移定理 设在t 0时连续函数f t 为零 其z变换为F z 则 8 4 18 证明 根据z变换定义 图8 4 1滞后定理 3 初值定理 设函数f t 的z变换为F z 并且 8 4 19 证明 4 终值定理 证明离散函数f nT 的z变换为 8 4 20 而f n 1 T 的z变换为 上面两式相减可得 5 超前定理 正偏移定理 8 4 21 8 4 22 证明根据z变换定义可知 6 复数偏移定理 设函数f t 的z变换为F z 则 8 4 23 证明根据z变换定义可知 7 卷积和定理 设 8 4 24 8 4 25 证明根据z变换定义可知 将式 8 4 24 代入上式 得 由于k n时 g k n T 0 上式可改写为 和拉普拉斯反变换相类似 z反变换可表示为 Z反变换 8 4 26 下面介绍三种比较常用的z反变换方法 1 长除法 8 4 27 8 4 28 上式的z反变换为 例8 4 8 解用长除法可以求得 上式的z反变换为 2 部分分式法 例8 4 9用部分分式法求出上例中F z 的反变换式 解 根据表8 1可知 其对应的时间函数为 或 3 留数计算法 根据z变换的定义 由复变函数理论可知 8 4 29 8 4 30 对于一阶极点的留数为 8 4 31 对于q阶重极点的留数为 8 4 32 例8 4 10 解F z 在z 1处有二重极点 因此 由此可得 例8 4 11 解 由此可得 式中t nT n 0 1 2 8 5脉冲传递函数 基本概念 传递函数 在线性连续系统理论中 把初始条件为零的情况下系统输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比 定义为传递函数 脉冲传递函数 在线性采样系统理论中 把初始条件为零的情况下系统的离散输出信号的z变换与输入信号的z变换之比 定义为传递函数 对于图8 5 1a所示的采样系统 脉冲传递函数为 8 5 1 由上式可求采样系统的离散输出信号 在实际上 许多采样系统的输出信号是连续信号 如图8 5 1b所示 在这种情况下 为了应用脉冲传递函数的概念 可以在输出端虚设一个采样开关 并令其采样周期与输入端采样开关的相同 8 5 1采样系统 脉冲传递函数的推导由线性连续系统的理论已知 但线性部分的输入信号为单位脉冲信号时 其输出信号称为单位脉冲响应 以g t 表示 当输入信号为如下的脉冲序列时 根据叠加原理 输出信号为一系列脉冲响应之和 即 在t kT时刻 输出的脉冲值为 由于系统的单位脉冲响应是从t 0才开始出现的信号 当tk时 上式中的g k n T 0 因此 上式可写成 根据卷积和定理 可得上式的z变换 由此可见 系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应g t 经过采样后离散信号的z变换 可表示为 8 5 2 上式表明 系统的响应速度越快 即其单位脉冲响应g t 衰减越快 则响应的脉冲传递函数G z 的展开式中包含的项数越少 开环系统脉冲传递函数串联各环节之间有采样器的情况 图8 5 2两种串联结构 如图8 5 2a所示的开环系统 8 5 3 串联各环节之间无采样器的情况 图8 5 2两种串联结构 注意式 8 5 3 和式 8 5 4 的区别 如图8 5 2a所示的系统 这时系统的开环脉冲传递函数为 8 5 4 采样开关分隔的两个环节串联时 其脉冲传函等于两个环节的脉冲传函之积 没有采样开关分隔的两个线性环节串联时 其脉冲传函为这两个环节的传函相乘之积的Z变换 例8 5 1设在图8 5 2中 求系统的开环脉冲传递函数 解 图8 5 2a所示系统的开环脉冲传递函数为 图8 5 2b所示系统的开环脉冲传递函数为 采样系统的闭环脉冲传递函数 图8 5 3采样控制系统 由图8 5 3知 求上式采样信号的拉普拉斯变换 得 写成z变换形式 即得闭环脉冲传递函数 或 考虑到输出信号采样后的拉普拉斯变换为 8 5 5 以及脉冲传递函数 对于单位反馈系统H s 1 则有 8 5 6 8 5 7 8 5 8 采样系统中有数字控制器D s 时 系统的框图如图8 5 4所示 图8 5 4具有数字控制器的采样系统 由图8 5 4可见 由此可得 Z变换得 或 采样系统中有干扰信号时 系统的框图如图8 5 5所示 图中N s 为干扰信号的拉普拉斯变换 图8 5 5有干扰信号的采样系统 由图可见 由以上两式得 或 典型采样系统的框图及其输出离散信号的z变换参见教材表8 5 1 8 6采样控制系统的时域分析 采样控制系统的稳定条件 1 s平面与z平面的映射关系 复变量z与s的关系为 式中T 采样周期 由以上分析可知 s平面的虚轴在z平面上的映射曲线是以坐标原点为圆心的单位圆 参见图8 6 1 图8 6 1s平面上虚轴在z平面上的映象 由此可见 s平面虚轴左半部在z平面上的映象为以原点为圆心的单位圆的内部区域 2 线性采样系统稳定的充要条件 讨论图8 5 3所示闭环采样系统的稳定性 此系统之闭环脉冲传递函数已由式 8 5 5 给出 即 相应的特征方程式为 根据以上的分析可知 闭环采样系统稳定的充分和必要条件是 系统特征方程的所有根均位于z平面上以原点为圆心的单位圆之内 劳斯稳定判据 对于线性采样系统 不能直接应用劳斯稳定判据 因为劳斯判据只能判断系统特征方程式的根是否在s平面虚轴的左半部 因此 必须采用一种变换方法 使z平面上的单位圆 映射为新坐标系的虚轴 这种坐标变换称为双线性变换 又称w变换 根据复变函数的双线性变换方法 设 上式中z和w均为复变量 可以用下式表示 8 6 1 则 8 6 2 将上两式代入 8 6 2 得 对于w平面上的虚轴 实部u 0 即 上式即为z平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程 图8 6 2z平面与w平面的映射关系 综上所述 令代入闭环采样系统的特征方程 进行w变换之后 即可应用劳斯判据 例8 6 1设采样系统的框图如图8 6 3 其中 采样周期T 0 25s 求能使系统稳定的k1值范围 图8 6 3采样系统 解系统的开环脉冲传递函数为 和特征方程 根据上式可求系统的闭环脉冲传递函数 根据上式列出劳斯表 为了使此系统稳定工作 必须使劳斯表中的第一列各项均大于零 这就要求 稳态误差终值的计算 由此可见 为使系统稳定 增益k1应在0 17 3之间取值 设图8 6 3所示的单位反馈采样控制系统的开环脉冲传递函数为G z 由式 8 5 8 可得 设闭环系统稳定 根据z变换的终值定理可以求出在输入信号作用下采样系统的稳态误差终值 8 6 3 上式表明 采样系统的稳态误差决定于系统的脉冲传递函数G z 和输入信号的形式 下面讨论三种典型输入信号的情况 1 输入信号为单位阶跃信号 这时 将R z 代入式 8 6 3 得 8 6 4 2 输入信号为单位斜坡信号 这时 将R z 代入式 8 6 3 得 8 6 5 3 输入信号为单位抛物线信号 这时 将R z 代入式 8 6 3 得 8 6 6 表8 6 1不同类型系统的稳态误差终值 表8 6 1中列出了以上三种输入信号作用下之稳态误差终值 采样系统的暂态响应与脉冲传递函数极点 零点分布的关系 设闭环采样系统的脉冲传递函数为 8 6 7 式中N z M z 分子 分母多项式 设闭环脉冲传递函数的极点为假设没有相重的极点 8 6 8 对上式进行z变换 可以求出某一采样时刻的输出值 8 6 9 上式中第一项为系统输出采样信号的稳态分量 第二项为输出采样信号的暂态分量 由此可见 极点 图8 6 4各种闭环极点对应的暂态分量 8 6 10 这时 闭环极点在z平面不同位置时对应的暂态响应分量如图8 6 4所示 综上所述 闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质与特点 当闭环极点位于单位圆内时 其对应的暂态分量是衰减的 极点距z平面坐标原点愈近 则衰减速度愈快 若极点位于单位圆内的正实轴上 则对应的暂态分量按指数函数衰减 单位圆内一对共轭复数 极点所对应的暂态分量为衰减的振荡函数 其角频率为 若闭环极点位于单位圆内的负实轴上 其对应的暂态分量也为衰减振荡函数 其振荡角频率 为了使采样控制系统具有比较满意的暂态响应性能 闭环脉冲传递函数的极点最好分布在单位圆内的右半部 并尽量靠近z平面的坐标原点 若闭环脉冲传递函数的极点位于单位圆