第四章拉普拉斯变换及S域分析.ppt

第四章拉普拉斯变换与S域分析 第一节引言 以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于 它给出的结果有着清楚的物理意义 但也有不足之处 傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号 而有些信号是不满足绝对可积条件的 因而其信号的分析受到限制 另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难 傅里叶变换的局限性 拉氏变换的优点 把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换 经求解再还原为时间函数 拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具 应用拉氏变换 1 求解方程得到简化 且初始条件自动包含在变换式里 2 拉氏变换将 微分 变换成 乘法 积分 变换成 除法 即将微分方程变成代数方程 拉氏变换将时域中卷积运算变换成 乘法 运算 利用系统函数零点 极点分布分析系统的规律 第二节拉氏变换的定义 收敛域 一 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 则 1 拉普拉斯正变换 2 拉氏逆变换 3 拉氏变换对 二 拉氏变换的物理意义 拉氏变换是将时间函数f t 变换为复变函数F s 或作相反变换 时域 t 变量t是实数 复频域F s 变量s是复数 变量s又称 复频率 拉氏变换建立了时域与复频域 s域 之间的联系 看出 将 频率变换为复频率s 且 只能描述振荡的重复频率 而s不仅能给出重复频率 还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率 三 拉氏变换的收敛域 收敛域 使F s 存在的s的区域称为收敛域 记为 ROC regionofconvergence 实际上就是拉氏变换存在的条件 例题及说明 1 阶跃函数 2 指数函数 全s域平面收敛 3 单位冲激信号 四 一些常用函数的拉氏变换 4 tnu t 作业 P2504 1 第三节拉氏变换的基本性质 一 线性 已知 则 同理 例题 推广 证明 二 原函数微分 电感元件的s域模型 应用原函数微分性质 设 三 原函数的积分 证明 电容元件的s域模型 四 延时 时域平移 证明 例题4 3 1 已知 证明 五 s域平移 例4 6 时移和尺度变换都有时 证明 六 尺度变换 七 初值 初值定理证明 由原函数微分定理可知 八 终值 证明 根据初值定理证明时得到的公式 终值存在的条件 例如 九 卷积 时域卷积定理 频域卷积定理 证明 交换积分次序 第四节拉氏逆变换 一 系统的s域分析方法 1 部分分式展开法 2 长除法 用拉氏变换方法分析系统时 最后还要将象函数进行拉氏反 逆 变换 求解拉氏逆变换的方法有 3 留数法 二 部分分式展开法 ai bi为实数 m n为正整数 部分分式展开法 举例4 8 举例4 2 举例4 2 举例4 2 部分分式展开法 共轭极点出现在 求f t 例题 F s 具有共轭极点 不必用部分分式展开法 求下示函数F s 的逆变换f t 解 求得 另一种方法 部分分式展开法 部分分式展开法 部分分式展开法 举例 举例4 4 举例4 4 三 留数法 留数法 2 含e s的非有理式 作业 P2514 4 第五节拉氏变换法分析电路 一 用拉氏变换法分析电路的步骤 列s域方程 可以从两方面入手 列时域微分方程 用微积分性质求拉氏变换 直接按电路的s域模型建立代数方程 求解s域方程 得到时域解答 二 微分方程的拉氏变换 我们采用0 系统求解瞬态电路 简便起见 只要知道起始状态 就可以利用元件值和元件的起始状态 求出元件的s域模型 三 利用元件的s域模型分析电路 1 电路元件的s域模型 电阻元件的s域模型 电感元件的s域模型 利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型 电容元件的s域模型 电流源形式 S域电路分析 举例4 16 举例4 16 举例4 16 举例4 16 举例4 16 第六节系统函数 网络函数 H s 1 定义 系统函数 系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 2 H s 的几种情况 策动点函数 激励与响应在同一端口时 策动点导纳 策动点阻抗 转移导纳 转移阻抗 电压比 电流比 转移函数 激励和响应不在同一端口 系统函数求响应 利用网络的s域元件模型图 列s域方程 系统函数求响应 例4 6 1 解 1 于是得到 作业 P2544 18 第七节由系统函数零 极点分布决定时域特性 4 7由系统函数零 极点分布决定时域特性 序言H s 零 极点与h t 波形特征H s E s 的极点分布与自由响应 强迫响应特性的对应 一 序言 冲激响应h t 与系统函数H s 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性 在s域分析中 借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究 可以简明 直观地给出系统响应的许多规律 系统的时域 频域特性集中地以其系统函数的零 极点分布表现出来 主要优点 1 可以预言系统的时域特性 2 便于划分系统的各个分量 自由 强迫 瞬态 稳态 3 可以用来说明系统的正弦稳态特性 二 H s 零 极点与h t 波形特征的对应 在s平面上 画出H s 的零极点图 极点 用 表示 零点 用 表示 1 系统函数的零 极点 极点 零点 画出零极点图 H s 零 极点分布与h t 的对应图解 1 极点在原点 为单极点 则系统冲激响应为阶跃函数 为多重极点 则系统为增长函数 为不稳定系统 H s 零 极点分布与h t 的对应图解 2 极点在s的左半平面 系统为衰减系统 为稳定系统 H s 零 极点分布与h t 的对应图解 3 极点在s的虚轴上 单极点 一定为一对共轭极点 则系统为振荡系统 则系统为临界稳定系统 若系统为多重极点 系统为增长系统 则系统为不稳定系统 H s 零 极点分布与h t 的对应图解 4 极点在s的右半平面 系统为增长函数 则系统为不稳定系统 几种典型情况 有实际物理意义的物理系统都是因果系统 即随 表明的极点位于s左半平面 由此可知 收敛域包括虚轴 均存在 两者可通用 只需将即可 若H s 极点落在s左半平面 则h t 波形为衰减形式 若H s 极点落在s右半平面 则h t 增长 落于虚轴上的一阶极点对应的h t 成等幅振荡或阶跃 而虚轴上的二阶极点将使h t 呈增长形式 三 H s E s 的极点分布与自由响应 强迫响应特征的对应 激励 系统函数 响应 X 自由响应分量 强制响应分量 几点认识 自由响应的极点只由系统本身的特性所决定 与激励函数的形式无关 然而系数都有关 响应r t 由两部分组成 系统函数的极点 自由响应分量 激励函数的极点 强迫响应分量 定义系统行列式 特征方程 的根为系统的固有频率 或称 自然频率 自由频率 H s 的极点都是系统的固有频率 H s 零 极点相消时 某些固有频率将丢失 因此H s 只能研究系统的零状态响应 暂态响应和稳态响应 瞬态响应是指激励信号接入以后 完全响应中瞬时出现的有关成分 随着t增大 将消失 稳态响应 完全响应 瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应 例4 7 2 教材习题2 6 1 给定系统微分方程 试完全响应 并指出其零输入响应 零状态响应 自由响应 强迫响应各分量 暂态响应分量和稳态响应分量 解 方程两端取拉氏变换 零输入响应 零状态响应 则 稳态响应 暂态响应 自由响应 强迫响应 极点位于s左半平面 极点位于虚轴 暂态响应 稳态响应 H s 的极点 E s 的极点 自由响应 强迫响应 举例4 19 举例4 19 举例4 19 举例4 19 举例4 19 作业 P2564 27 4 30 4 31 第八节由系统函数零 极点分布决定频响特性 一 H s 零 极点分布与频响特性的对应 H s 零 极点分布与频响特性的对应 可以求得 上式的逆变换为 系统正弦稳态全响应 系统频响特性 二 举例 滤波网络的频响特性 滤波网络的频响特性 滤波网络的频响特性 滤波网络的频响特性 三 S平面几何分析法 S平面几何分析 当沿虚轴移动时 各复数因子 矢量 的模和辐角都随之改变 于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线 S平面几何分析 S平面几何分析 讨论H s 极点位于s平面实轴的情况 包括一阶与二阶系统 S平面几何分析 举例4 20 举例4 20 举例4 20 举例4 20 此点为高通滤波器的截止频率点 举例4 20 频响特性分析 X 例4 21 研究下图所示RC低通滤波网络的频响特性 写出网络转移函数表达式 解 频响特性 举例4 22 举例4 22 举例4 22 举例4 22 举例4 22 举例4 22 举例4 22 举例4 22 频响特性 第十节全通函数与最小相移函数的零 极点分布 所谓全通是指它的幅频特性为常数 对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过 零 极点分布 极点位于左半平面 零点位于右半平面 零点与极点对于虚轴互为镜像 一 全通函数的定义 频率特性 幅频特性 常数相频特性 不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性 只改变信号的相位频谱特性 在传输系统中常用来进行相位校正 例如 作相位均衡器或移相器 由于N1N2N3与M1M2M3相消 幅频特性等于常数K 即 例4 23 系统函数如下 其零 极点分布互为镜像 因此为一个全通网络 其频率特性 二 最小相移网络 若网络函数在右半平面有一个或多个零点 就称为 非最小相移函数 这类网络称为 非最小相移网络 非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联 非最小相移网络 最小相移网络 全通网络 三 级联 作业 P2614 41 4 42 4 11线性系统的稳定性 由H s 的极点位置判断系统稳定性定义 BIBO 证明 稳定性是系统自身的性质之一 系统是否稳定与激励信号的情况无关 冲激响应h t 和H s 系统函数从两方面表征了同一系统的本性 所以能从两个方面确定系统的稳定性 一 由H s 的极点位置判断系统稳定性 1 稳定系统 若H s 的全部极点位于s平面的左半平面 不包括虚轴 则可满足 系统是稳定的 例如 系统稳定 系统稳定 2 不稳定系统 如果H s 的极点位于s右半平面 或在虚轴上有二阶 或以上 极点 系统是不稳定系统 3 临界稳定系统 如果H s 极点位于s平面虚轴上 且只有一阶 为阶跃或等幅振荡 线性系统的稳定性 三 证明 对任意有界输入e t 系统的零状态响应为 充分性 充分性得证 必要性 必要性得证 例4 24 已知两因果系统的系统函数 激励信号分别为 求两种情况的响应 并讨论系统稳定性 例4 24 解 激励信号的拉氏变换为 系统响应的拉氏变换为 例4 24 系统响应的时域表达式 看出 激励信号有界 而产生无界信号的输出 说明 系统属不稳定 从系统函数的极点看 系统在虚轴上有一阶极点 属临界稳定系统 二 系统稳定性在电路中的具体体现 稳定系统 通常不含有受控源的RLC电路 一定为稳定系统 振荡系统 只有LC元件构成的电路会出现H s 极点位于虚轴的情况 h t 呈等幅振荡 以上两种情况都是无源网络 它们不能对外部供给能量 响应函数幅度有限的 属稳定或临界稳定系统 含受控源的反馈系统可出现稳定 临界稳定和不稳定几种情况 实际上由于电子器件的非线性 电路可从不稳定状态逐步调整至临界稳定状态 利用它可产生自激振荡 举例4 25 举例4 25 举例4 25 举例4 26 举例4 26 举例4 26 4 13拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系 引言 傅氏变换与拉氏变换的关系 一 二 衰减函数 傅氏变换是存在 三 例如 当初求阶跃函数的傅氏变换 不是用经典法 定义式 而是用取极限的方法 矩形脉冲的周期为无穷大 引入了冲激函数而得到的 对于极点位于虚轴 4 162 则 证明 根据变换