选修4- 4坐标系与参数方程 第一讲 坐标系

选修4 4坐标系与参数方程第一讲坐标系 教材知识整合回归教材1 极坐标系 1 极坐标系的概念在平面内取一个定点O 叫作极点 从O点引一条射线Ox 叫作极轴 选定一个单位长度和角的正方向 通常取逆时针方向 这样就确定了一个平面极坐标系 简称为极坐标系 对于平面内任意一点M 用 表示线段OM的长 表示以Ox为始边 OM为终边的角度 叫作点M的极径 叫做点M的极角 有序实数对 叫做点M的极坐标 记作M 当点M在极点时 它的极径 0 极角 可以取任意值 说明 建立极坐标系的要素 极点 极轴 单位长度 角的正方向 四者缺一不可 当点M在极点时 它的极径 0 极角 可以取任意值 点M 的位置这样确定 先以极轴Ox为始边作出角 再在 角的终边上截取 OM 点M即为所求 极坐标系中 当k Z时 2k 2k 1 表示同一个点 如果规定 0 0 2 或 那么除极点外 平面内的点和极坐标是一一对应的 2 点的极坐标与直角坐标的互化在平面直角坐标系中 把平面直角坐标系的原点作为极点 x轴的正半轴作为极轴 建立极坐标系 并在两种坐标系中取相同的单位长度 则将点M的极坐标 化为直角坐标 x y 的关系式为 曲线方程两种形式互化也可根据点的坐标互化完成 2 曲线的极坐标方程 1 直线的极坐标方程若直线经过点M 0 0 且极轴到此直线的角为 则直线l的极坐标方程为 sin 0sin 0 特殊情况 当直线l过极点 即 0 0时 方程为 当直线l过点M a 0 且垂直于极轴时 l的极坐标方程是 cos a 当直线l过点且平行于极轴时 l的极坐标方程是 sin b 2 圆的极坐标方程若圆心的坐标为M 0 0 圆的半径为r 则圆的极坐标方程为特殊情况 圆心位于极点的极坐标方程为 r 圆心位于M r 0 半径为r的圆的极坐标方程为 2rcos 圆心位于半径为r的圆的极坐标方程为 2rsin 3 圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义 与一个定点的距离和一条定直线 定点不在定直线上 的距离的比等于常数e的点的轨迹 若以定点F为极点 过定点F作定直线l的垂线 垂足为K 以FK的反向延长线Fx为极轴 建立极坐标系 其中 KF p MF 得圆锥曲线统一的极坐标方程 当01时 方程只表示双曲线的右支 定点是它的右焦点 定直线是它的右准线 基础自测 1 2010 北京 极坐标方程 1 0 0 表示的图形是 A 两个圆B 两条直线C 一个圆和一条射线D 一条直线和一条射线答案 C 2 2010 湖南 极坐标方程 cos 和参数方程 t为参数 所表示的图形分别是 A 圆 直线B 直线 圆C 圆 圆D 直线 直线 解析 极坐标方程 cos 化为普通方程为 x2 y2 x x2 y2 x为圆的方程 参数方程化为普通方程为 3x y 1 0 3x y 1 0为直线的方程 故选A 答案 A 3 2010 广东 在极坐标系 0 2 中 曲线 cos sin 1与 cos sin 1的交点的极坐标为 解析 转化为直角坐标系下x y 1与y x 1的交点 该交点 0 1 在极坐标系下表示为 答案 4 在极坐标系中 过圆 6cos 的圆心 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 解析 由题意可知圆的标准方程为 x 3 2 y2 9 圆心为 3 0 所求直线标准方程为x 3 则极坐标方程为 cos 3 答案 cos 3 重点难点突破题型一极坐标与直角坐标的互化 例1 2010 广东 在极坐标系 0 2 中 曲线 2sin 与 cos 1的交点的极坐标为 题型二求曲线的方程 例2 求经过极点且圆心的极坐标为的圆C的极坐标方程 解 设圆C上的任意一点P的极坐标 过OC的直径的另一端点为B 连接PO PB 则在直角三角形OPB中 从而有 点评 同直角坐标系中一样 求曲线的极坐标方程即是找出曲线上的动点P 的极径和极角 的相互关系 设法用 和 的方程表示这种关系 变式2 在极坐标系中 和极轴垂直且相交的直线l与圆 4相交于A B两点 若 AB 4 则直线l的极坐标方程为 解析 4表示圆心在极点 半径为4的圆 设直线AB与极轴垂直 且交极轴于点C 极点为O 则 AB极坐标方程为 答案 题型三综合应用 例3 2010 江苏 在极坐标系中 已知圆 2cos 与直线3 cos 4 sin a 0相切 求实数a的值 解 由 2cos 可得 2 2 cos 普通方程为x2 y2 2x 即 x 1 2 y2 1 直线3 cos 4 sin a 0的普通方程为3x 4y a 0又圆与直线相切 所以解得a 2或a 8 点评 本题主要考查曲线的极坐标方程的基本知识 一般都要先把极坐标方程转化为普通方程再求解 变式3 在极坐标系中 已知两点A B的极坐标分别为则 AOB 其中O为极点 的面积为 解析 由题意可知 AOB的面积为答案 3 解题方法拾遗 例4 已知椭圆C的极坐标方程为点F1 F2为其左 右焦点 直线l的参数方程为 t为参数 t R 1 求直线l和曲线C的普通方程 2 求点F1 F2到直线l的距离之和 考向精测 2 在极坐标系中 过圆 4s