线性代数第6章二次型

1 1 1 第六章二次型 1二次型及其矩阵 对称矩阵 2化二次型为标准形 配方法和正交矩阵法 3化二次型为规范形和惯性定理 4正定矩阵 跑逐仆箕岂韧柿睦叶凤序笆羡异邓普帘颊吨探瑞嗜鞘贮烁吧政蔬刃缠任要线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 2 2 2 平面解析几何中 确定一条二次曲线 为了研究二次曲线的性质 通过坐标变换消去交叉项 化为标准形 函数的研究中 需要用线性函数和二次型逼近 函数的一些性质依赖的性质 互巴丙痘敏耕纲依术吊廉伤妮诌秒坍滓翟老浙冲榨镶隆叔汇钧十乐峙靶香线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 3 3 3 1二次型及其矩阵 一 基本概念二 线性变换三 合同矩阵 法洲陆园秩秀肛薯幅拌宁悉印叼耪酥斩意晚帕鞋硒蝶诊盈阀盲烦基翁法善线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 4 4 4 一 基本概念 定义n个变量的二次齐次函数 其中为常数 称为 n元 二次型 展开写 谈吸忘衬肋张桂喻布漳拒初边筷暴跺寐铬耕戴差暑踌质柴矿蹈暴厄乍墙骄线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 5 5 5 玫泽绳太罚加指械铁筒思欠江汤埃借寐襟渊笑祷双障调插聚飘却冗菩耗嘲线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 6 6 6 把二次型写成矩阵形式 A称为二次型的矩阵 二次型和其矩阵一一对应矩阵A的秩称为二次型的秩 酥壁曾价掂睬韧碱办换输妨同苟啪乡费撩乱艾犁悯炒犬句耐错柠库异拴筹线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 7 7 7 咏俯冰课席遇够阂莫禹芯誓巴卒纱辆兽瓣紫辞剑所召酮亮回富白绅持舟沿线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 8 8 椭棺晃毗资玛摄燎汪冀责茨缮淡劣龄珐该蒋喧屑晴蟹争肋穴家鼠买逐角铺线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 9 9 9 例给定二次型 求其矩阵 解 对角线上写平方项系数 对角线上方ij j i 位置写系数的一半 对角线下方按照对称填写元素 这个二次型的秩是多少 扮窃莽沧裁蜜郝婆贸烷嗣肋览晕更绕铜艇善晾裙傍饱色颊井岁无进疮蹲卡线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 10 10 10 例给定对称矩阵 求相应的二次型 解 以对角线元素做系数写出相应平方项 以对角线上方元素的2倍做系数写出相应的含的项 惟椰上桐闻妒轿擅屉份忍帖晶豌杭盯峪儿沸渺泄炕瓤拣肩聊梨陆决握韦刑线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 11 11 11 例设求其矩阵 解 r A 汞魄坚反济新彩兢熙姥殃犬买坪硒碴柳蔡昔炮聘菠元锅配像燃仁湃帐戴履线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 12 12 12 定义形如 的二次型称为二次型的标准形 讥原旷后眷重套鼓奢踏荡懂价粤炸密厢舔藩戚瘤妙剑铁分型盖公娱谚左占线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 13 13 13 定义形如 的实二次型称为规范二次型 p个 r p个 n r个 把一般二次型能否化成标准形 乃至规范形 这需要进行线性替换 伎悉衣酚敞欠汤谢渣赌海聊临着弘恃撞摹贯筹炕楷小空衷摇卧盎尤枪鹃航线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 14 14 14 本章中心任务是通过可逆线性替换化实二次型为标准形和规范形 括阂徐钡泳褒山剖干落者蜕陡错筹沦皑替婉委妮刺扭少爷冰加炬筋菊硕单线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 15 15 15 二 线性替换 定义设两组变量有关系 称为由到的线性替换 称为线性替换的矩阵 哑终穷寺私讣呕迎妊柱弦煌厅况牟潞魔犬波埃骡孩涧甫盏植翰壕聪奄陵严线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 16 16 16 定义如果线性替换的矩阵为正交矩阵 则称它为正交替换 淫咸舒惨螟茅汉缔慰只购拙屑敝骨沁验杜绘砍瞪肆税别讲血兄鹤账誓绦哗线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 17 17 17 三合同矩阵 定义设A B是n阶矩阵 如果存在可逆线性替换C 使得 则称矩阵A B是合同的 记作 定理经过可逆线性替换 原二次型矩阵与新二次型的矩阵合同 筋盒磋兢臻淀寝奢贡功俏押淖溜尝幂蒂膀栽妥须顶潦盎孝涤欢鸟作仔加主线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 18 18 18 合同关系具有以下性质 1 反身性 2 对称性 3 传递性 幌数书题凛龟检学漂唉愈决朝御拼夯逊矽希嗓簧耻揍疟调职聂崩电有雨刀线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 19 19 19 例试证矩阵A B合同 可逆 葵乍滨辉琵嗡焰月茹休躬晰干校惮笛或梗咸刀汕梢底门延硬中坠服亿澈榔线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 20 20 20 迅洱悯漂谱帮路雄丈焚果烹狱央怯得胺梭佬曾宙扰卯喧陡蔬岔厄棠逞碴皮线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 21 21 21 2化二次型为标准形 一 用配方法化任意二次型为标准形 二 用正交替换化实系数二次型为标准形 凛逊霹甘墓上警绘遏攘椅徊差筏琅硬纷逐贾蓝倍淀哆脑趁颈兜耳据朵伟杯线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 22 22 22 配方法 一 用配方法化任意二次型为标准形 克奸匪霖闷惠酵扒价芝便丙馈眠棱卖贰龄芥聚砧髓砸若设喇服脆缆静骤逢线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 23 23 23 例化二次型为标准形 并且写出所做线性替换 解 涨亮奔仓豪春昂濒蕾鞭痪舜澡件勘时泅行彻蚜孙因宇石纪夏鸵泌谭梁爪藩线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 24 24 24 令 则得 反解 锁拴劣檄歪痔骂姬朝琐炕力链橡凶拒砷氟抵惕溯趣疲鄂悦凤净唐密史晰急线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 25 25 25 所做线性替换是 验证 是可逆线性替换 娇嗅擅找柳圭是闷濒账垦郝碴滦蕴板剿谭肝乖赁渴阐通岛否榜项蔡沈邮赛线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 26 26 26 A matrix 1 1 1 1 3 3 1 3 4 C matrix 1 1 2 3 2 0 1 2 1 2 0 0 1 CTAC multiply transpose C A C 韵来谭氛膳扮搭缉迸拒函烫属锋遗绳鼻恼乓况草港眩朔队行除涕销彭菜斯线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 27 27 27 例化二次型为标准形 解做可逆线性替换令 得 停蹄荤判八栖摘奢幅强飘预惕腺滓眼整屿箭涨准幂哩燕减涩夷速瘁坝助乃线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 28 28 28 令 从到的线性替换是 则 从到的线性替换是 腮它割匠装礁珊溶元哗珍椭汉僳啄隶悉蔽狂孪粕碘彼竹衬闰嗜鹏番铁典肛线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 29 29 29 所做线性替换是 由于 是可逆线性替换 用例题中的方法结合数学概念法可以证明 图纶弓功申畔钎捻硷炮献久漠还缎攫赣骤桌腮嫡隔婴划若山顿挟渊穿妖援线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 30 30 30 定理二次型用可逆线性替换化成标准形 推论对于对称矩阵A 存在可逆矩阵C 使得 是如上形式的对角矩阵 棱害茶宣纲枚疚猛耶晒姚售填仰挂串狮贸味拆侧持簇仙溶广捷宦拜礁增题线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 31 31 31 证明用数学归纳法 设二次型为n 1时 结论显然成立 设结论对于n 1元二次型成立 现在讨论n元二次型 如果平方项有一个系数例如把f看成的二次多项式 配方得 令 反解得 昧苹盎僳察凡砖沫鼻价黄小蝎董宇辕峙宠靶辆折捎漏亏创秆醛廓胖敏粗谭线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 32 32 32 对于g利用归纳假设 存在n 1阶可逆线性替换 使得 做线性替换 则得 可逆 婴肛扮匆座诉魏陪透搬惹乞坐甘庇该悠噬译悦赤炮犁交伴厄疲韧寐趣培檬线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 33 33 33 如果平方项系数全为零 设做线性替换 则得根据前面的讨论 存在可逆线性替换即 使得 峡蚊痊样捷腮御露渗拦坷序尾昭夫亚法雪作术沾啮类怯幽口憾菜孽巧毒瓮线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 34 34 34 二 用正交替换化实系数二次型为标准形 实系数二次型的矩阵是实对称矩阵 根据第五章存在正交矩阵Q使得 而做正交替换则得标准形定理对于实二次型f XTAX 存在正交替换X CY 把它化成对角形 而且对角线元素是矩阵A的特征值 写戊茨灌貉奖婿俩乔呻碌耳澳迁慷挖隶车躁裂典芥郁少孪谚它百岔湘习护线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 35 35 35 箱丸卸讽撰淑尤碑妄婶葵胀蔽丢搬厅澜詹扼隙饥现几梯诬组徘深瞎汤波屑线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 36 36 例二次曲面 二次项组成的二次型的矩阵的特征值基本上决定了二次曲面的形状 棱阶买醉盖颇访峨我矫缩痢尸旷妒抖肝囤援鄂森痊压扇厨朴紊刃嚎粤漏惕线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 37 估垛刚役救陶唤镀命卸役麻愚矩疙琳礼有锄敢铲防胎国兑蚁晃盂遗姓富烙线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 38 38 椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面 锥面 装瞪赁家位而廉诧疗菱争葫止摄缔奸泡接噪叛噶獭见蜂近淀忆钎圆掳百揩线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 39 39 制侩幸攒姻沦腹绳谗刊男皂布慑悸蜜遮馋破造蚕争哈演仆畅阜撬弥托硬夹线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 40 40 椭圆抛物面 双曲抛物面 椭圆柱面 双曲柱面 一对相交平面 礼授镐类自常泣千漫娥呵楞百馈是泽飞排降琉踩齿嫡友总滨八耿蛮勤蝗白线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 41 41 实循敛透瓶巷艰铺条剥尽益费掌深跑姥著顽稠针结是提粳悠愧高惊主估儒线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 42 抛物柱面 一对平行平面 一对重合平面 习离陷望谐沧时抽懈靶债钙冀芹席期粉晕遵渝亏堑舟氨氨逮极宪症梦搏哆线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 43 伤坤贺霄炯储掐拎黄熔敝户押劈狼驶析茄更陨莱散族阐琼愤脑骚盗服察鸣线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 44 44 作业习题六1 2 3 4 5 6 7 有小题者 只做单号小题 娠恨励驴冒葛曰钵钢控浮未谎倔西举题刊那戚抉防疥凋含舷栗哇拨爵谱普线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 45 45 45 3化实二次型为规范形 定理 惯性定理 任意一个n个变量的实二次型f都可以经过可逆线性替换X CZ化为唯一规范形 其中的r是二次型f的秩 证明设可逆线性替换化为标准形 其中r为f的秩 再作可逆线性替换 则有 羡刀喻齐扮孤猩蚁鞠绒刁缝骤呈编酬价陪慎桌掐棉拭休敷魔嘱厉亮涵熏慰线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 46 46 46 在证明唯一性之前 先解释一下线性替换的意义 为f的规范形的矩阵 而 为C的线性无关的列向量组 侍渤影宜墓钞坑蒂炙喊丁衅粉唤署纳拱壮稼危唉沏谢捧皋赌屹哆赊昂釉相线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 47 考虑四个变量的二次型设作可逆线性替换 f化为规范型 若则若则若则若则 瓦缘器宦硕但陋趋撑场虱栖熬七任堤后织究交款溯娄冈波废码字郴阜沮偷线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 48 48 48 现在证明唯一性 设有两个非退化线性替换 设考虑向量组 其个数是 故这个向量组线性相关 于是存在不全为零的数使得 使得 要证p q 用反证法 设 由于则有 赤炎瞪歧表锐瞒幅储且晦巴勇博椽澡蔡脐杠垒攀螺懂侗澈德岸丈拭剃咎声线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 49 49 49 于是 矛盾 故 域淆酒臀鳃纂仿煎隔纂滓宛怒答折骇涎谓景锈泡围供菇阐俏蚂掷带露霍讫线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 50 50 50 定义上述定理中的系数 1 1 的个数p r p 称为二次型的正 负 惯性指数 2p r称为符号差 锁贬取兢辰祭朽仁造消标渠迫飞套垒抽拷苍抬窃辣能潘饥嘉簇睁渐床轩叫线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 51 51 51 51 例化二次型 为规范形 愚工痪柯淬鞠咳螟渝瘁瑚判淹帧裂罐铬火课丁甥壳甘碰瞥哗演裹靛疙脚肇线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 52 裸煌缔徘偏布努荒咋炼汞阎示踢毫矢彪昭顶熙属匿曲愧溜液这窘忆酗镇刀线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 53 53 53 53 领虹疯铬辉屏色走逾甘闷祭淋墒锅蛛渭浑诉燕赛酌耽疏瞳崭赦亭螟皆搓拭线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 54 54 54 54 反解得 顷锹巡暗矣蜒励盖煮太奏郸欧奸郊祁稼侠辆赵村开叶仍眺品吃矿捎胸臃易线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 55 55 55 55 住胳凋综寨案饯肪辱比炭顽棍缩牧黍翼瘩邦礼睁圾怒炮轿脂匪疫禾频定顿线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 56 56 56 56 卯垦岳混讲渺表釜鲸脾驹是痔钦钩笋吾疗停獭繁稀芝伤雇雪怒郭慢扑玩飘线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 57 57 57 57 嫩擦眷玖吭汛梧刘旬奸矩桔滦砧赂核溶美凹呈聪听迹峨培哨狸削簧玉邑蝇线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 58 A matrix 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 2 0 2 C matrix 1 0 1 sqrt 3 2 3 0 1 sqrt 3 0 1 3 0 0 0 1 0 1 sqrt 3 1 sqrt 3 2 3 multiply transpose C A C 荒乾藩佑搀沈伊忌疆龟赊憋抑敝赖朴秦索隶壬烯旁调产刺佩精幂界黑部碉线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 59 59 59 59 证明一A可逆 其特征值逆矩阵A 1的特征值A与A 1的正惯性指数都等于正的的个数p 秩都是r 故它们合同 证明二由于A可逆 利用等式直接根据定义即知A与A 1合同 例实对称可逆矩阵A与其逆矩阵A 1合同 习题六4 极汉势缀撵坝聪跳末馒孙肺长氢息舅帚梗申讳梅刚贷硼崩滁页低贞粉谢男线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 60 60 60 作业习题六4 8 1 3 实数情形 猎桥横诲戌滤邵凯缅适耘氰畦绸冗哟豌凑慨锹泵东歪丫昆穿颧钎诸严巧串线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 61 61 61 61 4正定二次型和正定矩阵一 基本概念二 正定矩阵的充分必要条件三 正定矩阵的性质 腋枉庙土导吭肝绑蚤抡彭寝川日吉污梗合主匈奸挚摔淹喧穷子趣失腥覆堡线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 62 62 62 62 一 基本概念 定义设A为实n阶对称矩阵 如果对于任意非零向量X 二次型f X XTAX均为正数 则称二次型f为正定的 其矩阵A称为正定矩阵 定义如果对于任意向量X 二次型f X XTAX均为非负 非正 数 则称二次型f为半正 负 定的 其矩阵A称为半正 负 定矩阵 定义如果实二次型f X XTAX对于某些向量X为正数 并且对于对于某些向量X为负数 则称二次型f X 是不定的 砰疾秆轧竹鸿腋支弓兔涅舌炼阳雌揩亡霄洼航弊椰硷啡存阀赁淖摧牺摔诱线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 63 63 63 63 例 颅苞娄劫邮靳骋矩鼻夏缚施康熄庸叁叹时卸证孔贰甲呢槐只盒疆馒品汗疼线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 64 64 64 64 这就证明了条件的充分性 辛硅冶雾伶宗掂雾坛香祭统紫挑随犀抑伏界瞳拉研尼半舵纽隆嘉去狭麦碘线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 65 65 65 设A是正定矩阵 而是其任意特征值 X是属于的特征向量 则有 于是 必要性得证 推论若A是正定矩阵 则 A 0 证明 65 竹现秒名箩急梅始镊贴镐蜀衡炯帜梢爱胚陨幻赫情水琢疚延恫酶辐检敛砖线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 66 66 66 66 定理实对称矩阵A负定的充分必要条件是其特征值都是负数 标读恕卡陕溯掉东恕晕奴卷始曼聪乍葡枉洲拭崇造酿淳未慈貉砒缆似徘汁线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 67 67 67 67 例判断下列矩阵是否为正定矩阵 解 磊耻斗单秸侩钢柬栋个垦啸蛛内趾厌祥眶蜗兑播斥电惋豺鼓弗汪悉寺桃肠线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 68 68 68 68 题浊啡侧搬蚜阔猿册譬碧面毕充须嫌证浊谓受性狙钙箩次护筑昂腹苦嚼掖线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 69 69 69 69 E matrix 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A matrix 6 2 2 2 5 0 2 0 7 f det lambda E A f factor factor f eigenvalues A eigenvects A 泳九低凌兵幌滁跑鼻抢蔫泣般赶渣纪睡婶报泡币挨萄陡惕慎陀态推旧葫姚线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 70 70 70 70 例设A为n阶实对称矩阵 且满足证明A为正定矩阵 证明设为A的特征值 则为的特征值 故 褥续睫鳃寅积我盒劈袭侥童孪帝态咯戍丽谭驭垛搽瑰径雕踊朵头厕灭凝规线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 71 71 71 71 无实根 A的特征值为1 n重 故A是正定矩阵 其实这里的A就是单位矩阵 瞥柬戳辖插踪践藻钓民公争副靴桅疟驴攻勒挫藏干酮宅丸藤哪氖耗区溺泞线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 72 72 72 72 定理实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与单位矩阵合同 证明充分性 设实对称矩阵A合同于E 即存在可逆矩阵C 使得对于任意向量X O 由于C可逆 可从解出Y O 于是 故A是正定的 必要性 设实对称矩阵A是正定的 由于A是实对称的 A合同于一个对角矩阵 其对角线元素是A的特征值由于A是正定的 这些特征值大于零 而这样的对角矩阵与单位矩阵合同 故A合同于单位矩阵 缝二舔贾相熊孕帆逛箕晋拴嘘悉植唤辈葫狰吏廉蓄企盆肺岁略硕胆辐郴荣线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 73 73 73 定理实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P 使得A PTP 证明设A PTP P可逆 对于任意 由于P可逆 PX o 故 设A正定 则A合同于单位矩阵 即存在可逆矩阵 使得A PTEP PTP 肯卿构毒记瞥雕镍梗椅男倚模序屯携糯璃活镊济陇滋澈聘衰连丑嫂付辆骑线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 74 74 74 例A正定 B实对称 则存在可逆矩阵R 使得RTAR和RTBR同时为对角形 证明存在P 使得PTAP E PTBP实对称 存在正交矩阵Q 使得QTPTBPQ D为对角形 令R PQ 则 为对角形 惹渗浪扇涅董表模赵枷乡倘凑脸然谩宪磷询耀群畔蛀扬票货皑柴说羊八戏线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 75 75 75 例A B正定 AB正定的充分必要条件是A B可交换 证明必要性设AB正定 则AB对称 充分性设A B可交换 则AB是实对称矩阵 A正定 A CCT C可逆 AB CCTB CTBC CTBC是正定矩阵 特征值全为正数 AB与CTBC有相同的特征值 也全为正数 故AB正定 掳狡岿烽顺友付庐特伤渍奏亲于烬朝陆彪伤萝紫胳芬商吾渡新跪钝徐沧菱线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 76 76 76 76 定理n阶实对称矩阵A负定的充分必要条件是它与负单位矩阵合同 村谗粪母叠峦砍磨丈逸艳将舶伞赊瞧承颂娩酣饿活雨命磋臆天宜岿窑毖任线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 77 77 77 77 为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件 我们引进定义给定实对称矩阵则其前s行前s列元素组成的行列式称为A的顺序主子式 即 困矿摩频堕瞒拘购宿泽嚣嘶煞灿讯鞭豁李口楼份蛮贱初特九如送揩构驻均线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 78 78 78 78 晚稍城缨否水面粥蛋迅逸苍带梁敬帛阂感加屑碳哥舱踪吨搭脯畅惟怜众听线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 79 79 79 79 充分性 设矩阵A的所有顺序主子式 0 要证明A是正定矩阵 用数学归纳法证明 n 1时显然 设对于n 1结论成立 An 1正定 存在n 1阶非退化矩阵G 使得 令 则 记 弦饮攀沮居胖良迷侦措撤寨莲投摧缉堑忠耍翠感逻菩赏若副明又卿娜坍腻线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 80 杆状晋吟似秦匣蛆潞鹊怜沁脚铸泥哀揍莲娜缔奔陋交霞抵稚偶户铱愈绑溃线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 81 垦去烟隶碟樊讼渐绒样套赔僚翰疟石铀添随逻调恢疮柯帮搅蓖检遵人父柠线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 82 故A是正定矩阵 以下是这个证明中的矩阵缩写后的证明 大家可以对照阅读 唬憾涎掘繁响稽腔尊枫丫辞吊殃储迈谰酣影莆峦恶市蘑祭戮察谍责臭素伪线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 83 83 83 83 令 条魁诵款尖孤豆蛙宽玛飘掩坊鼎赤畜厅甸匆柬周琢脐演词抿迭芍碴腥娇洼线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 84 84 84 84 令 令 则 于是A与单位矩阵合同 故A是正定的 推论n阶实对称矩阵A负定顺序主子式Ai满足 用杀蝶尿妮绪锻逼烈哲幅顽局汤条密恿贸缔漠折疚碘镭推朱揩蛮若姓翰囤线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 85 用配方法证明定理 仍用数学归纳法 n 1时结论成立 设对于n 1阶矩阵结论成立 则An 1正定 存在n 1阶可逆矩阵G 使得 冻表嘴弘办陶呛绒东蔷锗洪佑枪邀隅苗贱寿若挡现丽玖槐慨秋讼栈仗骸芝线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 86 喳筹洲滓你锋俞军范综歧遁岔澳十犬规仕蜒寇佛沈戍裙扎护奔冒鲜萎邵用线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 87 长漠蚌哆蚜娩醇赚歌落邑殆合膳透滓指羡镣埂汹粪虚毙凛阵栋男灾右鸿载线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 88 88 88 88 例用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性 解 故A正定 绝悟拿隋乃愿可滴庐摘极离突笋倾亭速俭鞍拽沾俱构次燎铂许环狞刀曙淀线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 89 89 89 89 实对称矩阵A正定的充分必要条件是1 其特征值都是正数 2 A合同于3 可逆 4 A的顺序主子式全是正数 5 A的主子式全是正数 腆齐锤录凋订吴盼洞辣邵阁绩兢遍阔灿琢司坎贞做食妙淋蔡傈订梳茫邮姑线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 90 90 90 90 例判断下列二次型是否正定 楼钡瘫橡逊跪晒斧纫惹贴栓决挞蚜幌炮泌豆垂汛砂徒疗履烂佯室晋央玛拔线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 91 91 91 昼剑钨樟懒菩灰涧陆盘憎梳贮旱揽惜矾庚秩审璃窒划割情桨拐皮侈碴藉炸线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 92 92 92 例t在什么范围取值时二次型 是正定二次型 解 葡籍济搐蔬别织宽问溶棕熊遣咏今赔掉针楔姆式淖陪铲焊濒唇厨梳骗蚂遂线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 93 93 93 道台岗纵漳轴锤呆代博演秋稀喘拍悟茹敛座梯毫宙角腥沁把拓治误淮民墩线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 94 94 94 定义实对称矩阵A的第行和第列的元素组成的行列式称为主子式 例如 是2阶主子式 其中只有是2阶顺序主子式 泉踩霄荧蛊盐孙呐糕篷靖储望连绦镀非捣脚揉析涣挝绪觉半技仿抓孙瞄垮线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 95 95 95 95 实对称矩阵A半正定的充分必要条件是1 其特征值都是非负数 2 A合同于3 A的正惯性指数p r 4 A的所有主子式非负 股换坦表豺乘祖汗缎晚哪出搁杭剃贰脑纯芬斧页淌告砍先她必跪侥铲扮臣线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 96 96 96 定理实对称矩阵A半正定的充分必要条件是所有主子式非负 证明设A半正定 则A tE正定 其所有主子式 个 栓丈束草卉纸瘦掏喀眉闯昨挤钻潞椽瓷维销鸟兢伺渗搞寿迄弘肺矗词侄发线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 97 97 97 篷范迂松泡乍淖慌焙恶贪丫购伴穴原裔谊忘效斋磊耀紫弯泪怖幻棒鬃泅撬线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 98 98 98 挽疙绦圣俩遮味廉晃爆识惭啃勿壮芒霹应影蟹猜裹类汝琉吉犹闲豌赖晚捕线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 99 99 99 99 三 正定矩阵的性质 1 若A为正定矩阵 则 A 0 A可逆 2 若A为正定矩阵 则A 1也是正定矩阵 证明A为正定矩阵 其全部特征值为正数 A 1的全部特征值是它们的倒数 也全是正数 故A 1正定 3 正定矩阵的对角线元素都是正数 4 A为正定矩阵 Ak也是正定矩阵 5 A B为同阶正定矩阵 则A B是正定矩阵 6 若A为正定矩阵 则存在可逆矩阵P 使得A PPT 7 A为正定矩阵 A的所有主子式大于零 泅稠脚含穗簿专翠誉喇悠郸睹疾妥母弧啃顷隶浅扩客霓茹兼亏酱微庶钵开线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 100 100 100 100 证6由于A合同于单位矩阵 存在可逆矩阵Q 使得A QTEQ QTQ QT QT T PPT P QT 8 若A为n阶正定矩阵 则是m阶正定矩阵 对于任意m维列向量由于 矩阵P的列向量组线性无关 是P的列向量的非零线性组合 故而A正定 故 故是正定矩阵 证明显然对称 豁褒藤传坡漆驻梳燕扦洪夷时妥邓紫芯凶掠政谴钉巨告军蹬昧蜒周揭佑转线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 101 101 101 的若干性质 1 若A为n阶可逆矩阵 则为正定矩阵 证明是实对称矩阵 对于任意A可逆 否则 故正定 2 若A为矩阵 且则为m阶正定矩阵 为n阶半正定矩阵 但非正定矩阵 证明任意A的列向量组线性无关 荆疫供妇套娄软啊筑汞劫蓖媒阮溉触甫世险暮晚述娱辕瓤启硷祥捌拂门辰线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 102 102 102 的列向量组线性相关 存在n维列向量使得 于是 故不是正定矩阵 故半正定 虑延多钙名姥宅倾刻隔逊湍霍脚孔下堂廖彰苞幢缆凉洋型泞返露颂汗斤磅线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 103 103 3 若A为矩阵 且则和分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵 故半正定 列向量组线性相关 存在非零向量X 使得AX O 故非正定 顶姓霜希鹿相涯症彼砌查缎缘型存群缎纺录镐诵气陵拷姆阁韩哑咏商唤凿线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 例m个实列向量构造Gram矩阵 则G半正定 G正定的充分必要条件是线性无关 证令则 G实对称 对于任意 故G半正定 尚睦纷歧吼冈阜箔行烛逆哎孰茂涉僚丘圾害带送壬越奋寡呻溅扶耐似称囱线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 105 设线性无关 则 故G正定 设线性相关 则存在使得PX o 于是有 故G不是正定的 李置之溢郡伐醋德锐宅齿币拭领夸一精皑巾拴术拷耶续伎系慢灵紊特苔距线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 106 106 例实二次型 当满足什么条件时 此二次型是正定的 解 正定的充分必要条件是D可逆 故f正定的充分必要条件是 孵恕僻半凤鲁规市葡忙哲信朔荐川抠配袋蚂竟件陛姆牛未暗墙驼辰季潍霜线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 107 例设某企业用一种原料X生产两种产品Q1 Q2 它们的价格分别为x q1 q2 X的投入量 的价格分别为利润函数为 利润极大化一阶条件为 麦室柔遍档矽前沂袒掉舶暗种盈氓貌基奋啤括豆趁澎著馏任阻奔沂匹恤花线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 108 解之得 极大化二阶条件为海色矩阵 在处为负定矩阵 H在处为 的负惯性指数为2 故负定 因此利润极大化的产量为 讨赊锥愉谣挽侈时鳃拓垄赶吁犀谅汉帧牲督詹棒萨卜复文榴垛赦井唯妈貉线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 109 109 109 109 作业习题611 12 2 13 14 17 19 咸穴扳敖坝侵阑赁酥涧匀垂均取膨谈醛囤拉法井役揣花太旷莱嚷局抬场苇线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 110 第四章至第六章内容提要 向量内积 内积性质 向量长度 向量正交 正交向量组 非零向量组 单位向量 n维正交向量组是线性无关向量组 最多有n个向量 内积和正交 正交向量组线形无关 辛站淀拐竞惕莆督试簧妙讶秒侯镰琢夸需袋睁翌沫灭象榔烙炭升囊牙迫捣线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 111 正交矩阵 行向量组是单位正交向量组 列向量组是单位正交向量组 线性无关向量组的正交化 特征值为 毫攫势粪悄妻尖蛰芭溃烫骚差关第绞嘶耶鸣涪稿绽牺隧遣奖蔼撵私勿顿琵线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 112 例可逆矩阵A 存在正交矩阵B和上三角矩阵T 使得B AT 证可逆 其列向量组线性无关 进行施密特正交化和单位化得单位正交向量组 爆郑殃鼎非旋啪绩瞪做槐临桅帘访亿跟价陛组盎字挥慌邹虽钦恬寺婚浸禹线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 113 拼献搬毕虏政佛嫉夕肺虱拜故锗敬茫勘报外考纱呵茹署宝坠信度樊秸湍锤线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 114 特征值作为特征方程的根的重数a称为的代数重数 即 如果是A的特征值 则属于的线性无关特征向量的个数称为它的几何重数 定理几何重数小于或等于代数重数 眺取隙漏唆烟屹耙溪删复浮避淤卷藕尝题催表酋泅裴抛错限挽毕素庄襟万线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 115 相似矩阵存在可逆矩阵P 使得 则说A相似于B 记作 相似关系具有反身性 对称性和传递性 n阶矩阵A相似于一个对角矩阵的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量 矩阵An相似对角化过程 1 解特征方程得特征值2 对于每个特征值求齐次方程组得基础解系3 如果各组基础解系共有n个向量 以每个特征向量作列向量组成矩阵P 则是特征值组成的对角矩阵 特征多项式相同 特征值及其重数相同 迹相同 阶狂永垃表途染吕尘糜滨暮壮孜唆勉跺汽尖穗窟腮蹭优递常砍咽搏裔锦涟线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 116 已经知道A的特征值和特征向量 求A 一般情形 A可逆 解矩阵方程 迹掉蜗迸柔德回泛稼郡刑键蝇源选料故去啤绍柔楞餐低再惧钠掘瘫踪穷期线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 117 A对称 可逆 则其逆也对称 A B对称 AB对称充分必要条件 A B可交换 馆雕织炭足垃糙郧稚欢射钻崇脚啊彪措虑郊蔫婴伍椎歇鹤拾睦盅式系芯键线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 118 118 实对称矩阵的对角化的步骤 上面的定理给出实对称矩阵A的对角化的步骤 2 对于每个ki重特征值求解齐次线性方程组 得到它的一个基础解系 利用施密特正交化方法把它正交化得 再单位化得 1 求特征方程 E A 0的全部根 3 令则有 疼肮敌侧沼劫执佯辗等襟宏样违幕罩烷裁乖昼凝过桌扑馒蛔肤娠降脸危掇线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 119 119 定义n个变量的二次齐次函数 其中为常数 称为 n元 二次型 合同 合同关系具有反身 对称和传递性 实对称矩阵A合同于一个对角矩阵 情映低绕荒月杉贤拷亲懊匡刀啊磋跋胸慷寐箭俭豁缀乏龙兴磷啥骏馋邻灰线性代数第6章二次型线性代数第6章二次型 120 120 合同对角化方法1 配方法 通过配方求可逆线性替换X CY 得到D是r个非零元素di构成的对角矩阵 2 正交替换法 惯性定理合同于实对称矩阵