2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第7章 第46讲 导数综合应用

第七章 导数及其应用 导数的综合应用 第46讲 与利润及其成本有关的最值问题 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 利用导数解决科技 经济 生产和生活中的最值问题 是新课程高考要求考生必须掌握的内容 在解决导数与数学建模问题时 首先要注意自变量的取值范围 即考察问题的实际意义 在应用问题的设计上 高考多设置为单峰函数 以降低要求 点评 变式练习1 某工厂生产某种产品 已知该产品的月产量x 吨 与每吨产品的价格P 元 吨 之间的函数关系为P 24200 1 5x2 且生产x吨该产品的成本为R 50000 200 x元 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大 最大利润是多少 利润 收入 成本 因为f x 在 0 内只有一个极值点x 200 故它就是最大值点 于是f x 的最大值为f 200 1 5 2003 24000 200 50000 3150000 元 答 每月生产200吨产品时 利润达到最大 最大利润为315万元 效率最值问题 例2 如图 某地有三家工厂 分别位于矩形ABCD的两个顶点A B及CD的中点P处 已知AB 20km BC 10km 为了处理这三家工厂的污水 现要在该矩形区域上 含边界 且与A B等距的一点O处 建造一个污水处理厂 并铺设三条排污管道AO BO PO 记铺设管道的总长度为ykm 1 设 BAO rad 将y表示成 的函数 2 请你确定污水处理厂的位置 使铺设的污水管道的总长度最短 解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数 本题求解的切入点在于根据图形 分析各已知条件之间的关系 借助图形的特征 合理选择这些条件间的联系方式 适当选定变元 构造相应的函数关系 通过求导的方法求出函数的最小值 便可确定点C的位置 点评 变式练习2 如图 用宽为a 长为b的三块木板 做成一个断面为梯形的水槽 问斜角为多大时 水槽的流量最大 最大流量是多少 几何模型的最优化问题 例3 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形 再将四边向上折起 做成一个无盖长方体铁盒 要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t t 0 试问当x取何值时 容积V有最大值 利用导数解决生活中的优化问题 关键是要建立恰当的数学模型 把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式 这需要通过分析 联想 抽象和转化完成 函数的最值要由极值和端点的函数值确定 当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时 这个极值就是它的最值 点评 变式练习3 要建一个圆柱形无盖的粮仓 要求它的容积为500m3 问如何选择它的直径和高 才能使所用材料最省 4 将一段长为100cm的铁丝截成两段 一段弯成正方形 一段弯成圆 问如何截才能使正方形与圆的面积之和最小 5 有甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边A处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位于离河岸40km的B处 乙厂到河岸的垂足D与A相距50km 两厂要在此岸边合建一个供水站C 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元 问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省 1 利用导