第十二章选 考 部 分(理)12-2坐标系与参数方程

重点难点重点 坐标系的概念 不同坐标系中坐标的互化 直线与圆的极坐标方程 参数方程的概念 直线 圆 圆锥曲线的参数方程 难点 直线与圆的极坐标方程 参数方程中参数的几何意义 解决实际问题时参数的选择 2 极坐标系 1 极坐标系的概念 在平面内取一个定点O为极点 引一条射线Ox为极轴 再选定一个长度单位和角度单位及正方向 通常取逆时针方向 就建立了一个极坐标系 对于极坐标系内任意一点M 用 表示线段OM的长度 用 表示从Ox到OM的角度 叫做点M的极径 叫做点M的极角 有序实数对 就叫做点M的极坐标 如无特别说明时 0 R 在极坐标 中 通常限定 0 当 0时 与极点重合 此时 不确定 给定点的极坐标时 在平面上就唯一确定了一个点 但是给定平面上的一个点 它可以有无穷多个极坐标 一般地 2k k Z与 代表同一个点 有时为了使极坐标与平面上的点 极点除外 建立一一对应关系 规定 0 0 2 如果允许 0 则当 0时 点P 的找法是 先找到点P 再找P 关于极点的对称点即为点P 因此 与 表示同一个点 除事先说明的情况下 一般都是 0 3 求曲线的极坐标方程f 0的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤完全相同 特别注意的是求极坐标方程时 常常要解一个三角形 3 柱坐标系 1 如图 空间直角坐标系O xyz中 设P是空间任意一点 它在xOy平面上的射影为Q 用 0 0 2 来表示点Q在平面Oxy上的极坐标 则点P的位置可用有序数组 z z R 表示 把建立了空间的点与有序数组 z 之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系 有序数组 z 叫做点P的柱坐标 记作P z 其中 0 0 2 z 4 球坐标系 1 如图空间直角坐标系O xyz中 设P是任意一点 连结OP 记 OP r OP与Oz轴正向所夹的角为 设P在xOy平面上的射影为Q Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为 则点P用有序数组 r 表示 把空间的点与有序数组 r 之间建立的这种对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系 有序数组 r 叫做点P的球坐标 其中r 0 0 0 2 注 教材上使用的球坐标是 r 与一般用法不吻合 通用记法为 r 也不是 夹角 这可能是教材编排的失误 这时 参数t的几何意义是 以直线l上点M x0 y0 为起点 任意一点N x y 为终点的有向线段的数量为MN且 t MN 2 化普通方程为参数方程 引入参数 即选定合适的参数t 先确定一个关系x f t 或y t 再代入普通方程F x y 0 求得另一关系y t 或x f t 误区警示1 在极坐标系中 如无特别说明时 0 R 点的极坐标不惟一 若规定 0 0 2 则极坐标系中的点与点的极坐标形成一一对应关系 极点除外 例2 O1和 O2的极坐标方程分别为 4cos 4sin 1 把 O1和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过 O1 O2交点的直线的直角坐标方程 解析 1 当以极点为原点 极轴为x轴正半轴时 有x cos y sin 由 4cos 得 2 4 cos 所以x2 y2 4x 即x2 y2 4x 0为 O1的直角坐标方程 同理得 O2的直角坐标方程x2 y2 4y 0 2010 广东理 在极坐标系 0 0 cos 0 答案 x 1 2 y2 2 解析 由题意知圆的方程为x2 y 1 2 1 直线方程为y 1 故交点为 1 1 1 1 答案 1 1 1 1 答案 B 答案 B 点评 求解参数方程表示的圆的有关问题 可以直接从参数方程找出圆心 半径 结合其它条件讨论 也可先化为直角坐标方程 答案 B 分析 由于直线l过椭圆内点A 交椭圆于M N两点 且 AM AN A为MN中点 故对直线l的点角式参数方程 应有t1 t2 从而求得l的方程 要使 MNQ面积最大 因为MN的长度一定 只需点Q到直线MN距离最大 可用参数法及点到直线距离公式转化为三角函数极值 例7 如图所示 OA是圆C的直径 且OA 2a 射线OB与圆交于Q点 和经过A点的切线交于B点 作PQ OA PB OA PQ与PB相交于P点 试求点P的轨迹方程 一 选择题1 2010 北京理 5 极坐标方程 1 0 0 表示的图形是 A 两个圆B 两条直线C 一个圆和一条射线D 一条直线和一条射线 答案 C 解析 原方程等价于 1或 前者是半径为1的圆 后者是一条射线 答案 C 答案 C 答案 2 5 2010 揭阳市质检 在极坐标系中 若过点A 4 0 的直线l与曲线 2 4 cos 3有公共点 则直线l的斜率的取值范围为 9 2010 江苏文 在极坐标系中 已知圆 2cos 与直线3 cos 4 s