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几何证明(一) 对于几何中等量关系的证明第一部分：基本问题示例一、证明边相等1应用全等：1.已知：如图，四边形ABCE中，AC为对角线，ADBC于D，且AC2=AE2+EC2，BD=CE，AD=AE.求证：AB=AC证明： AC2=AE2+EC2 AEC为直角三角形 AEC=90 在RtADB与RtAEC中 ADBAEC(SAS) AB=AC借较基本的问题关注常见的几种证明等边的方法，并在其中积累.解决几何问题的一般策略：明确任务判定方法分析条件.积累：从已知入手，AC2=AE2+EC2出现直角；标注已知条件；要证AB=AC，从哪儿来？直观观查和从已知条件入手.2应用平行四边形性质：2.已知：ABC中，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，且四边形AEDF是菱形，试判断ABC的形状.解：在ABC中 D为BC中点， E为AB中点， DEAC且 同理：DFAB，且 又 四边形AEDF为菱形 DE=DF AC=AB ABC为等腰三角形.积累：多个中点中位线平行平行四边形(从已知看)；菱形相等的线段、角；ABC形状怎么判断？从角：等角，直角；从边：等边，两条边的平方和=第三边的平方等；由结合直观找到目标.二、证明角相等3如图，ABC各角的平分线，AD、BE、CF相交于O，过O作OGBC于G.求证：BOD=COG.分析：本题难点：各角平分线条件杂乱；欲证两角相距较远，直观上没有三角形全等.切入点：相等角较多，方便表示； 建立联系.证明： AD为ABC角平分线 同理： 1+2+3= BOD=2+3=90-1又 OGBC于G COG=90-1 BOD=COG积累：条件分散时如何集中？可用其它条件表示；利用等式性质.第二部分 综合问题思路探求1(06北京) 如图(a)，OP是MON的平分线，请利用该图画一对OP所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题. (1)如图(b)，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请判断并写出FE与FD之间的数量关系.(2)如图(c)，在ABC中，若ACB不是直角，而(1)中其他条件不变，请问，在(1)中所得结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.解答：(1) FE=FD.(2)证明：在AC上截取AG=AE，连结FG 在AFE与AFG中 AFEAFG(SAS)EF=FG，AFE=AFG(即1=2) B=60 BAC+BCA=180-B=120 FAC+FCA=(即3+4) 1=2=CFD=60 CFG=60在CFD与CFG中 CFDCFG(ASA) DF=FG EF=DF. 即FE=FD.2(07北京)等对边四边形：一组对边相等的四边形. (1)举例.(2)如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若A=60， DCB=EBC=，请写出一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；(3)在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且DCB=EBC=.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.分析：本题难点：DCB=EBC=怎么使用？可能发现不到证等对边四边形，实质是证一组线段相等.该由何方法证明线段相等？选哪种好？突破点：考虑作双垂直(条件少，直角三角形中可用定理多)；直观看到BDMCEN，但条件仍少；多用角找相等，及等量的传递.解：(1)略；(2)A=BOD=COE，四边形DBCE为等对边四边形.(3)过B作BMCD延长线于M，作CNBE于点N BCMCBN(AAS) BM=CN BDM=DBC+DCB(外角) =DBO+OBC+DCB(分开向已知等角靠) =1+2OBC 又 CEN=BAE+ABE(外角) =1+A BDM=CEN BDMCEN(AAS) BD=CE 四边形DBCE为等对边四边形.另证：如图，以C为顶点作FCB=DBC，CF交BE于点F. BCDCBF(ASA) BD=CF， BDC=CFB CEF=A+ABE(外角) 又 CFE=FBC+FCB(外角) =OBC+OCB+OCF(拆) =A+ABE(换) CEF=CFE CF=CE BD=CE 四边形DBCE为等对边四边形. 几何证明（二）和、差、倍、半 一、证“和、差”1如图，在四边形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分ABC.求证：A+C=180.分析：通过合理的转化，使这类问题回归到上面已积累的“证相等”问题中去.题中可用条件少，关键是角分线怎么用？相等线段如何配合？和为180从哪儿证？切入点1：从角平分线想到构造含相等线段的全等形.由角平分线定理想到做垂线，也可由AD=DC及待证互补角想到旋转.法.过D作DEBA交其延长线于点E，作DFBC于F BD平分ABC DE=DF 可证RtEADRtFCD(HL) C=EAD 又 EAD+BAD=180 BAD+C=180切入点2：围绕AD=DC考虑构造等腰三角形(集中条件)，构造依托于角平分线的常见辅助线.法.在BC上截取BE=AB，连结DE，则ABDEBD AD=DE=DC，A=BED C=DEC 又BED+DEC=180 A+C=180法.延长BA到E，使BE=BC，连结ED，则BDEBDC DE=DC=AD，E=C E=EAD 又BAD+EAD=180 BAD+C=180.2已知如图，在ABC中，B=2C，AD是A平分线，求证：AB+BD=AC. 法：在AC上截取AB=AB，可证ADBADB(SAS)(BDC为等腰三角形) AB+BD=AB+BC=AC法：延长AB到C，使AC=AC，可证ADCADC(BDC为等腰三角形) AB+BD=AB+BC=AC=AC.积累：倍半角处理方法；证“和”的方法，常为截长补短.3正方形ABCD中，M为BC上任一点，AN是DAM平分线，交DC于点N.求证：DN+BM=AM.证：延长MB到E，使BE=DN，可证RtADNRtABE MAE=BAN=AND=E AM=EM=EB+BM=DN+BM点评：可从常见策略看也可从旋转看.4在梯形ABCD中，ADBC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE.若BC=CD+AD，判断四边形ABED的形状，并加以证明.证：由对称易知CDECDE CD=CD，CE=CE，CDE=CDE ADBC CDE=CED CD=CE又 BC=CD+AD BE=AD又 BCAD 四边形ABED为平行四边形.5已知ABCD，BAC与ACD的平分线交于点O，过O作直线交AB于M，交CD于N.求证：AM+CN=AC.证：易知AOC=90在AC上截取AP=AM，可证AOPAOM(SAS) 1=2，AM=AP又 2+3=90，1+4=90 3=4，可证OCPOCN(ASA) CP=CN AC=AP+CP=AM+CN.小结：解决和差问题关键是通过截长补短等方法回归“证相等”.二、证倍、半6已知，正方形ABCD的对角线交于O点，BAC的平分线交OB于E，交BC于F.求证：.证：取AF中点P，连结OP 四边形ABCD为正方形 AO=CO，ABO=ACB=45 OPCF且(须证OP=OE) AOP=BOP=45=ABD又 1=CAF+452=FAB+45 1=2 OP=OE. 几何证明（三）位置关系 1已知等腰RtABC，E为AC上一点，以AE为直角边作等腰RtAED，如图所示，请问BE与CD的关系，并证之.证：ABEACD(SAS)BE=CD延长BE交CD于点H，由全等知1=2，又3=4 CHE=CAB=90 BECD于H.点评：“关系”不仅指数量关系，也包括位置关系.2在ABC中，AB=AC，E在CA延长线上，AEF=AFE.求证：EFBC.证明：法 作BC边上高ADBC于D.法 过A作AGEF.