1.1.1集合的含义与表示

1 1 1集合的含义与表示 康托尔与集合 发疯了的数学家康托尔 GeorgCantor 1845 1918 是德国数学家 集合论的创始者 1845年3月3日生于圣彼得堡 1918年1月6日病逝于哈雷 康托尔11岁时移居德国 在德国读中学 1862年17岁时入瑞士苏黎世大学 翌年入柏林大学 主修数学 1866年曾去格丁根学习一学期 1867年以数论方面的论文获博士学位 1869年在哈雷大学通过讲师资格考试 后在该大学任讲师 1872年任副教授 1879年任教授 在1874 1876年期间 不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战 成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应 也能和空间中的点一一对应 集合论是现代数学的基础 康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣 康托尔肯定了无穷数的存在 并对无穷问题进行了哲学的讨论 最终建立了较完善的集合理论 为现代数学的发展打下了坚实的基础 引例 1 圆的定义 2 线段垂直平分线的定义 3 1 20以内的所有质数 4 我国从1991 2003年的3年内所发射的所有人造卫星 元素 把研究对象统称为元素 集合 把一些元素组成的总体叫做集合 简称集 集合的有关概念 把以内的每一个质数作为元素 这些元素的全体就是一个集合 集合中元素的特性 1 确定性 集合中的元素必须是确定的 2 互异性 集合中的元素没有重复 3 无序性 集合中的元素没有一定的顺序 集合相等 1 4 5 的元素的全体能构成集合 元素与集合的关系 1 属于 如果a是集合A的元素 就说a属于A 记作a A 2 不属于 如果a不是集合A的元素 就说a不属于A 记作 元素与集合表示 用大写字母A B C 表示集合用小写字母a b c 表示集合中的元素 例 用A表示1 20以内的所有质数 常用数集及记法 1 非负整数集 自然数集 2 正整数集 3 整数集 4 有理数集 5 实数集 集合的表示 方法一 列举法 把集合中的元素一一列举出来 并用花括号 括起来表示集合 例如 由方程x2 1 0的所有解组成的集合 可以表示为 1 1 例1 用列举法表示下列集合 1 小于10的所有自然数组成的集合 2 方程x2 2x 1 0的所有实数根组成的集合 3 由1 20以内的所有质数 注 1 有些集合亦可如下表示 从51到100的所有整数组成的集合 所有正奇数组成的集合 2 a与 a 小试身手 尝试用列举法表示N N Z 51 52 53 100 1 3 5 7 a表示一个元素 a 表示一个集合 该集合只有一个元素 不同 思考 你能用自然语言描述集合 2 4 6 8 吗 你能用列举法表示不等式x 7 3的解集吗 集合的表示 方法二 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 格式 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 如不等式x 7 3的解集可记作 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 集合的分类 空集 不含任何元素的集合 记作 请分别举例 例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合 1 方程x2 4 0的所有实数根组成的集合 2 由大于10小于20的所有整数组成的集合 注 在不致混淆的情况下 可以省去竖线及左边部分 如 变式 阅读下列用描述法表示的集合 并用列举法进行表述 学有所思 何时用列举法 何时用描述法 有些集合的公共属性不明显 难以概括 不便用描述法表示 只能用列举法 如 集合 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来 或者不便于 不需要一一列举出来 常用描述法 如 集合 集合 1000以内的质数 思考1 已知集合S a b c 中的三个元素可构成 ABC的三条边长 那么 AB