2021版高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第7讲二项分布及其应用教学案理北师大版.docx

第7讲二项分布及其应用3二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1p；(3)各次试验是相互独立的用X表示这n次试验中成功的次数，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为XB(n，p)常用结论1“二项分布”与“超几何分布”的区别有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理2两个概率公式(1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B).注意其与P(B|A)的不同(2)若事件A1，A2，An相互独立，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)二、教材衍化1天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为_解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB，所以P(AB)P(A)P(B) P(A)P()P()P(B)0.20.70.80.30.38.答案：0.382已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为_解析：设A第一次拿到白球，B第二次拿到红球，则P(AB)，P(A)，所以P(B|A).答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)对于任意两个事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.()(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)条件概率公式套用错误；(2)相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误；(3)独立重复试验公式应用错误1由0，1组成的三位数编号中，若事件A表示“第二位数字为0”，事件B表示“第一位数字为0”，则P(A|B)_解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)，第一位数字为0且第二位数字也为0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)，所以P(A|B).答案：2计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，在操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格相互之间没有影响则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为_解析：甲获得“合格证书”的概率为，乙获得“合格证书”的概率是，两人中恰有一个人获得“合格证书”的概率是.答案：3设随机变量XB，则P(X3)_解析：因为XB，所以P(X3)C.答案：条件概率(典例迁移) (1)(一题多解)现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为()A.BC.D(2)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A. B C. D【解析】(1)法一：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，P(B|A).故选C.法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为.故选C.(2)P(A)，P(AB)，由条件概率公式，得P(B|A).【答案】(1)C(2)B【迁移探究】(变条件)将本例(2)中的“和”改为“积”，求P(B|A)解：事件A：“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，所以P(A).事件B：“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2，4)，所以P(AB)，所以P(B|A).条件概率的两种求解方法 1(2020珠海模拟)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)0.15，P(AB)0.05，所以P(B|A).答案：2将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)_，P(B|A)_解析：P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有66655591种情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有C5460种情况，所以P(A|B).P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有654120种情况，所以P(B|A).答案：相互独立事件的概率(师生共研) (2020福州四校联考)某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元、2万元、3万元现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆以这100位客户所采用的分期付款方式的频率估计1位客户采用相应分期付款方式的概率(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X(单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与数学期望【解】(1)设“采用A种分期付款方式购车”为事件A，“采用B种分期付款方式购车”为事件B，“采用C种分期付款方式购车”为事件C，由柱状图得，P(A)0.35，P(B)0.45，P(C)0.2，所以甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P1P(A)P(A)P(B)P(B)P(C)P(C)0.635.(2)由题意知，X的所有可能取值为2，3，4，5，6，P(X2)P(A)P(A)0.350.350.122 5，P(X3)P(A)P(B)P(B)P(A)0.350.450.450.350.315，P(X4)P(A)P(C)P(B)P(B)P(C)P(A)0.350.20.450.450.20.350.342 5，P(X5)P(B)P(C)P(C)P(B)0.450.20.20.450.18，P(X6)P(C)P(C)0.20.20.04.所以X的分布列为X23456P0.122 50.3150.342 50.180.04EX0.122 520.31530.342 540.1850.0463.7.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件(3)代入概率的积、和公式求解 1(2019高考全国卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲获胜”的概率解：(1)X2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.2为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为P1，两人都付40元的概率为P2，两人都付80元的概率为P3，则两人所付费用相同的概率为PP1P2P3.(2)设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0，40，80，120，160，则：P(0)；P(40)；P(80)；P(120)；P(160).的分布列为04080120160P独立重复试验与二项分布(师生共研) 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)Cp2(1p)18.因此f(p)C2p(1p)1818p2(1p)172Cp(1p)17(110p)令f(p)0，得p0.1.当p(0，0.1)时，f(p)0；当p(0.1，1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验(1)独立重复试验的特点每次试验中，事件发生的概率是相同的；每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例(2)判断随机变量X服从二项分布的条件(XB(n，p)X的取值为0，1，2，n；P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n，p为试验成功的概率)提醒在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布 1一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现音乐，要么不出现音乐设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立设每盘游戏出现音乐的次数为X，则P(X1)_玩三盘游戏，则恰有两盘出现音乐的概率是_解析：由题意XB，所以P(X1)1P(X0)1C，或P(X1)P(X1)P(X2)P(X3)CCC，故每盘游戏出现音乐的概率为，所以玩三盘游戏，恰有两盘出现音乐的概率PC.答案：2(2020合肥模拟)师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)记录了他们的幸福度分数(1)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人的幸福度是“极幸福”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望解：(1)设事件Ai(i0，1，2，3)表示所取3人中有i人的幸福度是“极幸福”，至多有1人的幸福度是“极幸福”记为事件A，结合茎叶图得P(A)P(A0)P(A1).(2)的可能取值为0，1，2，3，由样本估计总体得任选1人，其幸福度为“极幸福”的概率为，则P(0)；P(1)C；P(2)C；P(3).所以的分布列为0123P所以E()01230.75.二项分布与超几何分布的辨别方法写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？(1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数；(2)X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2枚骰子的点数之和；(3)有一批产品共有N件，其中次品有M件(NM0)，采用有放回抽取方法抽取n次(nN)，抽出的次品件数为X3；(4)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(NMn0)【解】(1)X1的分布列为X1012nPCCCCX1服从二项分布，即X1B.(2)X2的分布列为X223456789101112PX2既不服从二项分布也不服从超几何分布(3)X3的分布列为X3012nPCCX3服从二项分布，即X3B.(4)X4的分布列为X401knPX4服从超几何分布综上，(1)(3)服从二项分布，(4)服从超几何分布，(2)既不服从二项分布也不服从超几何分布超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是独立的，各次抽取相互独立当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动公园甲乙丙丁获得签名人数45603015然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品(1)求此活动中各公园幸运之星的人数；(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列解：(1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为103，104，102，101.(2)根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为C，所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为C.(3)由题意，知X的所有可能取值2，3，4，服从超几何分布，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列为X234P 基础题组练1(2020马鞍山一模)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A0.75B0.6C0.52D0.48解析：选A.设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P(AB)0.6，P(A)0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)0.75，故选A.2设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为()A0.25B0.30C0.31 D0.35解析：选C.设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)0.6，P(B)P(C)0.5，P(D)0.4，恰好3人使用设备的概率P1P(BCDACDABDABC) (10.6)0.50.50.40.6(10.5)0.50.40.60.5(10.5)0.40.60.50.5(10.4)0.25，4人使用设备的概率P20.60.50.50.40.06，故所求概率P0.250.060.31.3某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时间/天10202130314041505160个数1040805020若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为()A. BC. D解析：选D.由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为，则所求概率为C.4(2020河南中原名校联盟一模)市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是()A. BC. D解析：选A.因为大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为，所以某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为，又实体店里的家用小电器的合格率约为，所以某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P.5某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，P(X4)P(X6)，则p()A0.7 B0.6C0.4 D0.3解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6)，得Cp4(1p)6Cp6(1p)4，即(1p)2p2，所以p0.5，所以p0.6.6投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_解析：该同学通过测试的概率PC0.620.40.630.4320.2160.648.答案：0.6487小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)_解析：小赵独自去一个景点共有4333108种情况，即n(B)108，4个人去的景点不同的情况有A432124种，即n(AB)24，所以P(A|B).答案：8某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为_，该选手回答了5个问题结束的概率为_解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P0.80.20.820.20.20.8210.20.820.128.依题意，设答对的事件为A，可分第3个正确与错误两类，若第3个正确则有AA或A两类情况，其概率为：0.80.20.80.20.20.20.80.20.025 60.006 40.032 0.该选手第3个问题的回答是错误的，第1，2两个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P0.2320.20.80.20.0080.0640.072.所以，所求概率为0.032 00.0720.104.答案：0.1280.1049(2020湖南两市联考)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况一个运动员出线记1分，未出线记0分假设甲、乙、丙出线的概率分别为，他们出线与未出线是相互独立的(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分数之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望E解：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)1P()1.(2)的所有可能取值为0，1，2，3.P(0)P()；P(1)P(A)P(B)P( C)；P(2)P(AB)P(AC)P(BC)；P(3)P(ABC).所以的分布列为0123P故E0123.10(2020河北“五个一名校联盟”模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300以上为严重污染一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为，求的分布列解：(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，所以该样本中空气质量为优良的频率为，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为3018.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，且B.所以P(0)，P(1)C，P(2)C，P(3).的分布列为0123P综合题组练1(2020南昌模拟)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是()A. BC. D解析：选D.记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i1，2，3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i1，2，3)相互独立，则P(Ai)，P(Bi)，P(Ci)，i1，2，3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是PAP(AiBiCi)6.2箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为()A. BC. DC解析：选B.由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为.3甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号)P(B)；P(B|A1)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关解析：由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|A3)，而P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3).故正确的为.答案：4已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否之间没有影响(1)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是_；(2)若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是_解析：(1)记“甲在第i次试跳成功”为事件Ai，“乙在第i次试跳成功”为事件Bi，“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.法一：P(C)P(A11)P(1B1)P(A1B1) P(A1)P(1)P(1)P(B1)P(A1)P(B1)0.70.40.30.60.70.60.88.法二：由对立事件的概率计算公式得P(C)1P(11)1P(1)P(1)10.30.40.88.(2)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi，“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni，所以所求概率PP(M1N0)P(M2N1)P(M1)P(N0)P(M2)P(N1)C0.70.30