2021版高考数学第三章导数及其应用第2讲导数的应用第4课时利用导数研究不等式的恒成立问题教学案理北师大版.docx

第4课时利用导数研究不等式的恒成立问题策略一：分离参数法 (2020南昌质检)已知f(x)xln x，g(x)x3ax2x2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x(0，)，2f(x)g(x)2恒成立，求实数a的取值范围【解】(1)因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1.令f(x)0，得ln x10，解得0x0，得ln x10，解得x，所以f(x)的增区间是.综上，f(x)的减区间是，增区间是. (2)因为g(x)3x22ax1，由题意得2xln x3x22ax1恒成立因为x0，所以aln xx在x(0，)上恒成立设h(x)ln xx(x0)，则h(x).令h(x)0，得x11，x2(舍)当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，)h(x)0h(x)极大值所以当x1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)maxh(1)2，所以若ah(x)在x(0，)上恒成立，则ah(x)max2，即a2，故实数a的取值范围是2，)(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将 参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”转化关通过分离参数法，先转化为f(a)g(x)(或f(a)g(x)对任意的xD恒成立，再转化为f(a)g(x)max(或f(a)g(x)min)求最值关求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题(2020石家庄质量检测)已知函数f(x)axex(a1)(2x1)(1)若a1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当x0时，函数f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解：(1)若a1，则f(x)xex2(2x1)即f(x)xexex4，则f(0)3，f(0)2，所以所求切线方程为3xy20.(2)由f(1)0，得a0，则f(x)0对任意的x0恒成立可转化为对任意的x0恒成立设函数F(x)(x0)，则F(x).当0x0；当x1时，F(x)0，a1)(1)求函数f(x)的极小值；(2)若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围解：(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.因为当a1时，ln a0，函数y(ax1)ln a在R上是增函数，当0a1时，ln a1或0a0的解集为(0，)，f(x)0)，因为g(a)10，所以g(a)a2ln a在(0，)上是增函数而g(1)0，故当a1时，g(a)0，即f(1)f(1)；当0a1时，g(a)0，即f(1)1时，f(1)f(0)e1，即aln ae1.由函数yaln a在(1，)上是增函数，解得ae；当0a1时，f(1)f(0)e1，即ln ae1，由函数yln a在(0，1)上是减函数，解得00可得x(1，)，由g(x)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)2xk(x1)成立，求k的取值范围解：(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，)因为f(x)a，所以f(1)1a0，所以a1，所以f(x)1，令f(x)0得0x1，令f(x)1，所以f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)(2)不等式f(x)2xk(x1)可化为ln xxk(x1)令g(x)ln xxk(x1)(x1)，则g(x)x1k，令h(x)x2(1k)x1，x1，h(x)的对称轴为x.当1时，即k1，易知h(x)在(1，x0)上是减少的，所以h(x)h(1)1k，若k1，则h(x)0，所以g(x)0，所以g(x)在(1，x0)上是减少的，所以g(x)g(1)0，不合题意若1k0，所以必存在x0使得x(1，x0)时，g(x)0，所以g(x)在(1，x0)上是增加的，所以g(x)g(1)0恒成立，符合题意当1时，即kh(1)1k0，所以g(x)0，所以g(x)在(1，x0)上是增加的所以g(x)g(1)0恒成立，符合题意综上，k的取值范围是(，1)6设f(x)xex，g(x)x2x.(1)令F(x)f(x)g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x21，)，且x1x2，有mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，求实数m的取值范围解：(1)因为F(x)f(x)g(x)xexx2x，所以F(x)(x1)(ex1)，令F(x)0，解得x1，令F(x)0，解得xx2，有mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，所以mf(x1)g(x1)mf(x2)