2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理教学案理北师大版.docx

第3讲定积分与微积分基本定理一、知识梳理1定积分的概念在f(x)dx中，a，b分别叫作积分下限与积分上限，区间a，b叫作积分区间，f(x)叫作被积函数，x叫作积分变量，f(x)dx叫作被积式2定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)3微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式其中F(x)叫作f(x)的一个原函数为了方便，常把F(b)F(a)记作F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a)常用结论1定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零2若函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx0.二、教材衍化1设f(x)则f(x)dx的值是()A.x2dxB2xdxC.x2dx2xdx D2xdxx2dx解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质，得f(x)dx2xdxx2dx.故选D.2 dx_解析：dxln(x1)|ln eln 11.答案：13若(sin xacos x)dx2，则实数a等于_解析：由题意知(cos xasin x)1a2，a1.答案：14汽车以v(3t2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是_m.解析：s(3t2)dt14410(m)答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)设函数yf(x)在区间a，b上连续，则f(x)dxf(t)dt.()(2)若f(x)是偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.()(3)若f(x)是奇函数，则f(x)dx0.()(4)曲线yx2与直线yx所围成的区域面积是(x2x)dx.()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏(1)误解积分变量致误；(2)不会利用定积分的几何意义求定积分；(3)f(x)，g(x)的图象与直线xa，xb所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错1定积分(t21)dx_解析：(t21)dx(t21)x|2(t21)(t21)3t23.答案：3t232.dx_解析：dx表示以原点为圆心，为半径的圆的面积，故dx()2.答案：3如图，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是_解析：由得x10，x22.所以S(x22x11)dx(x22x)dx4.答案：学生用书P53定积分的计算(多维探究)角度一利用微积分基本定理求定积分 计算下列定积分：(1)dx；(2)cos xdx；(3)dx.【解】(1)因为(ln x)，所以dx2dx2ln x2(ln 2ln 1)2ln 2.(2)因为(sin x)cos x，所以cos xdxsin xsin sin 00.(3)因为(x2)2x，所以dx2xdxdxx2.角度二利用定积分的几何意义求定积分 计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x34sin x)dx.【解】(1)根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x1)2y21的面积的(如图中阴影部分)故dx.(2)设yf(x)3x34sin x，则f(x)3(x)34sin(x)(3x34sin x)f(x)，所以f(x)3x34sin x在5，5上是奇函数所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx.所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx0. 计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和 提醒当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线xa，xb，y0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分1.e|x|dx的值为()A2B2eC2e2 D2e2解析：选C.e|x|dxexdxexdxexexe0(e)(ee0)1ee12e2，故选C.2.dx_解析：dxdxxdx，xdx，dx表示四分之一单位圆的面积，为，所以结果是.答案：利用定积分求平面图形的面积(师生共研) (一题多解)求由抛物线y22x与直线yx4围成的平面图形的面积【解】如图所示，解方程组得两交点的坐标分别为(2，2)，(8，4)法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即S2dx(x4)dx18.法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积Sdy18.设阴影部分的面积为S，则对如图所示的四种情况分别有： (1)Sf(x)dx.(2)Sf(x)dx.(3)Sf(x)dxf(x)dx.(4)Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.1已知曲线C：yx22x在点(0，0)处的切线为l，则由C，l以及直线x1围成的区域的面积等于_解析：因为y2x2，所以曲线C：yx22x在点(0，0)处的切线的斜率ky|x02，所以切线方程为y2x，所以由C，l以及直线x1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S(x22x2x)dxx2dx.答案：2.已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为_解析：f(x)3x22axb，因为f(0)0，所以b0，所以f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a0)S阴影(x3ax2)dxa4，所以a1.答案：1定积分在物理中的应用(师生共研) (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2(2)一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_J.【解析】(1)令v(t)0得，3t24t320，解得t4.汽车的刹车距离是dt7tt225ln(t1)425ln 5.(2)由题意知，力F(x)所做的功为WF(x)dx5dx(3x4)dx521036(J)【答案】(1)C(2)36定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx. 1物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3 B4C5 D6解析：选C.因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，因为(t3t5t2)3t2110t，所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t25，整理得(t5)(t21)0，解得t5.2设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_J(x的单位：m；力的单位： N)解析：变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx，因为x21，所以原式342(J)答案：342学生用书P274(单独成册)基础题组练1定积分(3xex)dx的值为()Ae1BeCe De解析：选D.(3xex)dxe1e.2若f(x)f(f(1)1，则a的值为()A1 B2C1 D2解析：选A.因为f(1)lg 10，f(0)3t2dtt3a3，所以由f(f(1)1得a31，所以a1.3若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A1 BC. D1解析：选B.因为f(x)x22f(x)dx，所以f(x)dx|2f(x)dx，所以f(x)dx.4设f(x)则f(x)dx的值为()A. B3C. D3解析：选A.f(x)dxdx(x21)dx12，故选A.5.由曲线yx2和曲线y围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为()A. BC. D解析：选A.由解得或所以阴影部分的面积为(x2)dx.故选A.6定积分(x2sin x)dx_解析：(x2sin x)dxx2dxsin xdx2x2dx2.答案：7.(x2tan xx31)dx_解析：因为x2tan xx3是奇函数所以(x2tan xx31)dx1dxx|2.答案：28一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)exx的作用，则它从x0运动到x1时F(x)所做的功等于_解析：由题意知Wdx.答案：9求下列定积分：(1)dx；(2)(cos xex)dx.解：(1)dxxdxx2dxdxln xln 2ln 2.(2)(cos xex)dxcos xdxexdxsin xex1.10已知函数f(x)x3x2x1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)x2围成的图形的面积解：因为(1，2)为曲线f(x)x3x2x1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k，则kf(1)(3x22x1)|x12，所以过点(1，2)处的切线方程为y22(x1)，即y2x.y2x与函数g(x)x2围成的图形如图中阴影部分所示，由可得交点A(2，4)，O(0，0)，故y2x与函数g(x)x2围成的图形的面积S(2xx2)dx4.综合题组练1由曲线xy1，直线yx，x3所围成的封闭平面图形的面积为()A. B4ln 3C4ln 3 D2ln 3解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数由曲线xy1，直线yx，x3所围成的封闭的平面图形如图所示：由得或由得故阴影部分的面积为dx4ln 3.2设函数f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_解析：f(x)dx(ax2c)dxacf(x0)axc，所以x，x0.又因为0x01，所以x0.答案：3.(ex1)dx_解析：(ex1)dxdx(ex1)dx.因为dx表示单位圆的上半部分的面积，所以dx.而(ex1)dx(exx)(e11)(e11)e2，所以(ex1)dxe2.答案：e24若函数f(x)在R上可导，f(x)x3x2f(1)，则f(x)dx_解析：因为f(x)x3x2f(1)，所以f(x)3x22xf(1)所以f(1)32f(1)，解得f(1)3.所以f(x)x33x2.故f(x)dx(x